(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 階段自測(cè)卷(六)(含解析)
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1、階段自測(cè)卷(六) (時(shí)間:120分鐘 滿分:150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2019·四川診斷)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( ) A. B.(0,1) C.(1,0) D. 答案 C 解析 拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為, 由拋物線y2=4x得2p=4,解得p=2, 則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),故選C. 2.(2019·撫州七校聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)(2,1)且與直線3x-2y=0垂直的直線方程為( ) A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-7=0 C.3x-2y-4=0 D.3x+2y-8=0 答案 B 解析 設(shè)要求的直線方程為
2、2x+3y+m=0, 把點(diǎn)(2,1)代入可得4+3+m=0,解得m=-7. 可得要求的直線方程為2x+3y-7=0,故選B. 3.(2019·陜西四校聯(lián)考)直線ax-by=0與圓x2+y2-ax+by=0的位置關(guān)系是( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定 答案 B 解析 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得 2+2=, ∴圓心坐標(biāo)為,半徑r=, ∵圓心到直線ax-by=0的距離 d===r, ∴圓與直線的位置關(guān)系是相切.故選B. 4.(2018·山西四校聯(lián)考)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0),右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為2,點(diǎn)F到原點(diǎn)的距離為3,則雙曲線C的離心率
3、e為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 ∵右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為2,∴F(c,0)到y(tǒng)=x的距離為2,即=2,又b>0,c>0,a2+b2=c2,∴=b=2.∵點(diǎn)F到原點(diǎn)的距離為3,∴c=3, ∴a==,∴離心率e===. 5.(2019·涼山診斷)已知雙曲線E的漸近線方程是y=±2x,則E的離心率為( ) A.或2 B. C. D.或 答案 D 解析 當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí),依題意得=2, 故雙曲線的離心率為e===. 當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí),依題意得=2,即=, 故雙曲線的離心率為e===.故選D. 6.(2019·河北衡水中學(xué)模擬)已知橢圓C
4、:+=1(a>b>0)的離心率為,且橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之和為6,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1 答案 D 解析 由橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,得=, 橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之和為6,即2a+2c=6, 解得a=2,c=1,則b=, 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1,故選D. 7.若雙曲線-=1(a>0,b>0)上存在一點(diǎn)P滿足以|OP|為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由條件,得|OP|2=2ab,又P為雙曲線上一點(diǎn),
5、 從而|OP|≥a,∴2ab≥a2,∴2b≥a, 又∵c2=a2+b2≥a2+=a2,∴e=≥. 8.(2019·唐山模擬)已知F1,F(xiàn)2為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A,若AF1⊥AF2,=2,則橢圓C的方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案 A 解析 由題意,過(guò)原點(diǎn)O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A, 且AF1⊥AF2,且=2,則可知|OA|=c, 設(shè)A(x,y),則x=ccos30°=c,y=csin30°=c, 即A, 代入橢圓的方程可得+=1, 又
6、由=2,得S=×2c×c=c2=2, 解得c2=4,且c2=a2-b2, 所以a2=6,b2=2, 所以橢圓的方程為+=1,故選A. 9.(2019·新鄉(xiāng)模擬)已知點(diǎn)M(x,y)是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),則+的最小值為( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 A 解析 因?yàn)楸硎军c(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F(1,0)的距離,即點(diǎn)M(x,y)到拋物線y2=4x的準(zhǔn)線x=-1的距離,因?yàn)楸硎军c(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)A(2,1)的距離,所以+的最小值為點(diǎn)A(2,1)到拋物線y2=4x的準(zhǔn)線x=-1的距離3,即(+)min=3.故選A. 10.(2019·河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知y2=4x的準(zhǔn)
7、線交x軸于點(diǎn)Q,焦點(diǎn)為F,過(guò)Q且斜率大于0的直線交y2=4x于A,B,兩點(diǎn)∠AFB=60°,則|AB|等于( ) A. B. C.4 D.3 答案 B 解析 設(shè)A(x1,2),B(x2,2),x2>x1>0, 因?yàn)閗QA=kQB,即=,整理化簡(jiǎn)得x1x2=1, |AB|2=(x2-x1)2+(2-2)2, |AF|=x1+1,|BF|=x2+1, 代入余弦定理 |AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos60°, 整理化簡(jiǎn)得,x1+x2=, 又因?yàn)閤1x2=1,所以x1=,x2=3, |AB|==,故選B. 11.(2019·成都七中診斷)設(shè)拋物線C
8、:y2=12x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)M在C上,點(diǎn)N在l上,且=λ(λ>0),若|MF|=4,則λ等于( ) A. B.2 C. D.3 答案 D 解析 如圖,過(guò)M向準(zhǔn)線l作垂線,垂足為M′,根據(jù)已知條件,結(jié)合拋物線的定義得==, 又|MF|=4,∴|MM′|=4, 又|FF′|=6, ∴==,∴λ=3. 故選D. 12.(2019·長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)調(diào)研)已知橢圓+=1(a>b>0)與雙曲線-=1(m>0,n>0)具有相同焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,且在第一象限交于點(diǎn)P,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,若∠F1PF2=,則e+e的最小值是( ) A. B.2+ C. D.
9、 答案 A 解析 根據(jù)題意,可知|PF1|+|PF2|=2a, |PF1|-|PF2|=2m, 解得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m, 根據(jù)余弦定理,可知 (2c)2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos, 整理得c2=, 所以e+e=+=+ =1+≥1+= (當(dāng)且僅當(dāng)a2=m2時(shí)取等號(hào)),故選A. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)若橢圓C的方程為+=1,則其離心率為________. 答案 解析 根據(jù)橢圓方程得到a=2,b=,c=1,e==. 14.(2019·南昌八一中學(xué)、洪都中學(xué)聯(lián)考)
10、若F1,F(xiàn)2是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng),則|PF1|·|PF2|的最大值是________. 答案 5 解析 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓+=1上, 由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a=2, 又|PF1||PF2|≤2=()2=5, 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào), 所以|PF1||PF2|的最大值為5. 15.(2018·蘭州調(diào)研)點(diǎn)P在圓C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,點(diǎn)Q在圓C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,則|PQ|的最小值是________. 答案 3-5 解析 把圓C1、圓C2的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式,得 (x-4)2+(y-2)
11、2=9,(x+2)2+(y+1)2=4. 圓C1的圓心坐標(biāo)是(4,2),半徑是3; 圓C2的圓心坐標(biāo)是(-2,-1),半徑是2. 圓心距d==3. 所以|PQ|的最小值是3-5. 16.(2019·廣東六校聯(lián)考)已知直線l:y=kx+t與圓C1:x2+(y+1)2=2相交于A,B兩點(diǎn),且△C1AB的面積取得最大值,又直線l與拋物線C2:x2=2y相交于不同的兩點(diǎn)M,N,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______________. 答案 (-∞,-4)∪(0,+∞) 解析 根據(jù)題意得到△C1AB的面積為r2sinθ,當(dāng)角度為直角時(shí)面積最大,此時(shí)△C1AB為等腰直角三角形,則圓心到直線的距離為
12、d=1,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到=1?1+k2=(1+t)2?k2=t2+2t,直線l與拋物線C2:x2=2y相交于不同的兩點(diǎn)M,N,聯(lián)立直線和拋物線方程得到x2-2kx-2t=0,只需要此方程有兩個(gè)不等根即可,Δ=4k2+8t=4t2+16t>0,解得t的取值范圍為(-∞,-4)∪(0,+∞). 三、解答題(本大題共70分) 17.(10分)(2018·重慶朝陽(yáng)中學(xué)月考)已知直線l1:ax+2y+6=0,直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)求a為何值時(shí),l1∥l2; (2)求a為何值時(shí),l1⊥l2. 解 (1)∵l1∥l2,∴ 解得a=-1或a=2(舍去), ∴
13、當(dāng)a=-1時(shí),l1∥l2. (2)∵l1⊥l2,∴a·1+2·(a-1)=0, 解得a=,∴當(dāng)a=時(shí),l1⊥l2. 18.(12分)已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. (1)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)m,直線l恒過(guò)定點(diǎn)且與圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn); (2)求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的方程. (1)證明 直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化為m(2x+y-7)+(x+y-4)=0, 由解得 所以直線l恒過(guò)點(diǎn)P(3,1),而點(diǎn)P(3,1)在圓C內(nèi), 所以對(duì)任意實(shí)數(shù)m,直線l恒過(guò)點(diǎn)P(3,1)且與圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)
14、. (2)解 由(1)得,直線l恒過(guò)圓C內(nèi)的定點(diǎn)P(3,1),設(shè)過(guò)點(diǎn)P的弦長(zhǎng)為a,過(guò)圓心C向直線l作垂線,垂足為弦的中點(diǎn)H,則2+|CH|2=25,弦長(zhǎng)a最短,則|CH|最大,而|CH|≤|CP|,當(dāng)且僅當(dāng)H與P重合時(shí)取等號(hào),此時(shí)弦所在的直線與直線CP垂直,又過(guò)點(diǎn)P(3,1), 所以,當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí),弦所在的直線方程為2x-y-5=0. 19.(12分)(2019·湛江調(diào)研)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,且右焦點(diǎn)為(2,0),斜率為1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),以AB為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(-3,2). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求△
15、PAB的面積. 解 (1)由已知得c=2,=,解得a=2. b2=a2-c2=4, 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,代入橢圓方程得 4x2+6mx+3m2-12=0,(*) 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為E(x0,y0), 則x0==-,y0=x0+m=, 因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊,所以PE⊥AB. 所以PE的斜率為k==-1,解得m=2, 此時(shí)方程(*)為4x2+12x=0. 解得x=0或-3,所以y=2或-1,所以|AB|=3, 此時(shí),點(diǎn)P(-3,2)到直線AB:x-y+2=0的距離 d==, 所以△
16、PAB的面積S=|AB|·d=.
20.(12分)(2019·四川診斷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-2,0),上頂點(diǎn)B(0,2).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M,N,且線段MN的中點(diǎn)G在圓x2+y2=1上,求m的值.
解 (1)由題意可得c=2,b=2,
由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=2,
故橢圓C的方程為+=1.
(2)設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
線段MN的中點(diǎn)G(x0,y0),
由消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,
則Δ=96-8m2>0,所以-2 17、
且x0==-,y0=x0+m=,
因?yàn)辄c(diǎn)G(x0,y0)在圓x2+y2=1上,
所以2+2=1,
解得m=±,滿足-2 18、=k(x+1),
由
消去y得(2+3k2)x2+6k2x+(3k2-6)=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
∴|AB|=
=
==
==
=,
原點(diǎn)O到直線AB的距離d=,
∴S△AOB=|AB|d=××
=,
由S△AOB=,得k2=2,故k=±,
∴直線AB的方程為y=(x+1)或y=-(x+1),
即x-y+=0或x+y+=0.
22.(12分)(2019·新鄉(xiāng)模擬)如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,|F1F2|=2,過(guò)點(diǎn)F1的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),延長(zhǎng)BF2交橢圓C于點(diǎn)M,△ABF2的周長(zhǎng)為8.
19、
(1)求橢圓C的離心率及方程;
(2)試問:是否存在定點(diǎn)P(x0,0),使得·為定值?若存在,求出x0;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)由題意可知,|F1F2|=2c=2,則c=1,
又△ABF2的周長(zhǎng)為8,所以4a=8,即a=2,
則e==,b2=a2-c2=3.
故橢圓C的方程為+=1.
(2)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得·為定值.
若直線BM的斜率不存在,
則直線BM的方程為x=1,B,M,
則·=(x0-1)2-.
若直線BM的斜率存在,設(shè)BM的方程為y=k(x-1),
設(shè)點(diǎn)B(x1,y1),M(x2,y2),聯(lián)立
得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=,
x1x2=,
由于=(x2-x0,y2),=(x1-x0,y1),
則·=x1x2-(x1+x2)x0+x+y1y2
=(k2+1)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+k2+x
=,
因?yàn)椤槎ㄖ担裕剑?
解得x0=,故存在點(diǎn)P,且x0=.
11
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