1.4　平面向量 命題角度1平面向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理　 高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向 1.(2018全國(guó)Ⅰ·6)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB=(　　) A.34AB-14AC B.14AB-34AC C.34AB+14AC D.14AB+34AC 答案　 A 解析　如圖,EB=-BE =-12(BA+BD) =12AB-14BC =12AB-14(AC-AB) =34AB-14AC. 2.(2017全國(guó)Ⅲ·12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD,則λ+μ的最大值為(　　) A.3 B.22 C.5 D.2 答案　A 解析　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 則A(0,1),B(0,0),D(2,1). 設(shè)P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|BC|·|CD||BD|=2×15=255, 即圓的方程是(x-2)2+y2=45. 易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0). 由AP=λAB+μAD, 得x=2μ,y-1=-λ,所以μ=x2,λ=1-y, 所以λ+μ=12x-y+1. 設(shè)z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0. 因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在圓(x-2)2+y2=45上, 所以圓心C到直線12x-y+1-z=0的距離d≤r, 即|2-z|14+1≤255,解得1≤z≤3, 所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故選A. 3.(2015全國(guó)Ⅰ·7)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),BC=3CD,則(　　) A.AD=-13AB+43AC B.AD=13AB-43AC C.AD=43AB+13AC D.AD=43AB-13AC 答案　A 解析　如圖: ∵AD=AB+BD,BC=3CD, ∴AD=AB+43BC=AB+43(AC-AB) =-13AB+43AC. 4.(2015全國(guó)Ⅱ·13)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=　　　　　.  答案　12 解析　由題意知存在常數(shù)t∈R,使λa+b=t(a+2b),得λ=t,1=2t,解之得λ=12. 典題演練提能·刷高分 1.已知兩個(gè)非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b與n=2a+λb共線,則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) A.5 B.3 C.2.5 D.2 答案　C 解析　∵向量m=4a+5b與n=2a+λb共線, ∴存在實(shí)數(shù)t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb), 又向量a,b互相垂直,故a,b不共線. ∴2t=4,tλ=5,解得t=2,λ=52.故選C. 2.在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),BE與AC的交點(diǎn)為F,設(shè)AB=a,AD=b,則向量BF=(　　) A.13a+23b B.-13a-23b C.-13a+23b D.13a-23b 答案　C 解析　BF=23BE=23(BC+CE)=23(b-12a)=-13a+23b,故選C. 3.(2019寧夏平羅中學(xué)高三期中)已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列,在△ABC中,BD=tBC(t∈R),若AD=a3AB+a5AC,則a3a5的最大值為(　　) A.1 B.12 C.14 D.18 答案　C 解析　∵BD=tBC,故B,C,D三點(diǎn)共線. ∵AD=a3AB+a5AC, ∴a3+a5=1,數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列, 故a3>0,a5>0, ∴1=a3+a5≥2a3a5,解得a3a5≤14,故選C. 4.(2019山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校高三聯(lián)考)如圖Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D,設(shè)AB=a,AC=b,則向量AD=(　　) A.a+b B.12a+b C.a+12b D.a+23b 答案　C 解析　設(shè)圓的半徑為r,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,所以∠BAC=π3,∠ACB=π6,∠BAC平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6,則根據(jù)圓的性質(zhì)有BD=CD=AB.又因?yàn)樵赗t△ABC中,AB=12AC=r=OD,所以四邊形ABDO為菱形,所以AD=AB+AO=a+12b.故選C. 5.已知在△ABC中,D為邊BC上的點(diǎn),且BD=3DC,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),BE=mAB+nAC,則m+n=　　　　.  答案　-12 解析　如圖所示, BE=BD+DE=BD-12AD =BD-12(AB+BD)=12BD-12AB =12·34BC-12AB=38BC-12AB =38(AC-AB)-12AB=-78AB+38AC. 又BE=mAB+nAC, 所以mAB+nAC=-78AB+38AC, 所以m+78AB+n-38AC=0. 又因?yàn)锳B與AC不共線, 所以m=-78,n=38,所以m+n=-12. 6. 在平面向量中有如下定理:設(shè)點(diǎn)O,P,Q,R為同一平面內(nèi)的點(diǎn),則P、Q、R三點(diǎn)共線的充要條件是:存在實(shí)數(shù)t,使OP=(1-t)OQ+tOR.試?yán)迷摱ɡ斫獯鹣铝袉?wèn)題:如圖,在△ABC中,點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)F在AC邊上,且CF=2FA,BF交CE于點(diǎn)M,設(shè)AM=xAE+yAF,則x+y=　　　　　　　.  答案　75 解析　∵B,M,F三點(diǎn)共線, ∴存在實(shí)數(shù)t,使得AM=(1-t)AB+tAF, 又AB=2AE,AF=13AC, ∴AM=2(1-t)AE+13tAC, 又E,M,C三點(diǎn)共線, ∴2(1-t)+13t=1,解得t=35. ∴AM=2(1-t)AE+tAF=45AE+35AF, ∴x=45,y=35,x+y=75. 命題角度2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算　 高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向 1.(2019全國(guó)Ⅱ·3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則AB·BC=(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案　C 解析　由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,則BC=(1,0).所以AB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故選C. 2.(2016全國(guó)Ⅲ·3)已知向量BA=12,32,BC=32,12,則∠ABC=(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案　A 解析　由題意得 cos∠ABC=BA·BC|BA||BC|=12×32+32×121×1=32, 所以∠ABC=30°,故選A. 3.(2018全國(guó)Ⅲ·13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=　　　　　.  答案　12 解析　2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ), 由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12. 4.(2016全國(guó)Ⅰ·13)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=　　　　　.  答案　-2 解析　∵|a+b|2=|a|2+|b|2, ∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2. 典題演練提能·刷高分 1.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+tb),則t=(　　) A.0 B.12 C.-2 D.-3 答案　C 解析　因?yàn)閍-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因?yàn)?a-b)∥(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),∴t=-2,故選C. 2.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=a-tb,若b⊥c,則實(shí)數(shù)t=(　　) A.1 B.-1 C.2 D.2 答案　A 解析　由題意得c=a-tb=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4-t), ∵b⊥c,∴b·c=(-1,1)·(2+t,4-t)=-(2+t)+(4-t)=2-2t=0, 解得t=1.故選A. 3.已知a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b,則|c|=(　　) A.26 B.32 C.10 D.6 答案　B 解析　∵a=(1,2),b=(-1,1),∴c=2a-b=(3,3), ∴|c|=9+9=32,故選B. 4.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=λb+μc,則λμ=　　　　.  答案　-3 解析　由a=λb+μc可知(-1,1)=λ(2,-1)+μ(1,2)=(2λ+μ,-λ+2μ), ∴2λ+μ=-1,-λ+2μ=1,解得λ=-35,μ=15,∴λμ=-3. 5.向量BA=(1,2),CA∥BA,且|CA|=25,則BC的坐標(biāo)為　　　　　　.  答案　(3,6)或(-1,-2) 解析　∵CA∥BA,∴CA=tBA=(t,2t). 又|CA|=25,∴t2+4t2=5t2=20,解得t=±2. 當(dāng)t=2時(shí),BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2); 當(dāng)t=-2時(shí),BC=BA+AC=(1,2)+(2,4)=(3,6). 命題角度3計(jì)算平面向量的數(shù)量積　 高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向 1.(2018全國(guó)Ⅱ·4)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 答案　B 解析　a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3. 2.(2018全國(guó)Ⅰ·8)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則FM·FN=(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　D 解析　易知F(1,0),過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線方程為y=23(x+2).聯(lián)立拋物線方程y2=4x,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4. 不妨設(shè)M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FM·FN=8. 3.(2017全國(guó)Ⅱ·12)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA·(PB+PC)的最小值是(　　) A.-2 B.-32 C.-43 D.-1 答案　B 解析　 以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖. 可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0). 設(shè)P(x,y),則PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y). 所以PB+PC=(-2x,-2y). 所以PA·(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32≥-32. 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,32時(shí),PA·(PB+PC)取得最小值為-32,故選B. 4.(2016天津·7)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為(　　) A.-58 B.18 C.14 D.118 答案　B 解析　設(shè)BA=a,BC=b,則DE=12AC=12(b-a),DF=32DE=34(b-a),AF=AD+DF=-12a+34(b-a)=-54a+34b.故AF·BC=-54a·b+34b2=-58+34=18,應(yīng)選B. 5.(2017天津·13)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為　　　　　.  答案　311 解析　∵BD=2DC,∴AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB. 又AE=λAC-AB,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD·AE=-4. ∴AB·AC=3×2×12=3,23AC+13AB·(λAC-AB)=-4, 即2λ3AC2-13AB2+λ3-23AB·AC=-4, ∴2λ3×4-13×9+λ3-23×3=-4,即113λ-5=-4,解得λ=311. 典題演練提能·刷高分 1.點(diǎn)B是以線段AC為直徑的圓上的一點(diǎn),其中|AB|=2,則AC·AB=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由圓的性質(zhì)知∠ABC=90°,所以cos∠BAC=BAAC=|BA||AC|, 所以AC·AB=|AC|·|AB|·cos∠BAC=|AC|·|AB|·|AB||AC|=|AB|2=4,故選D. 2.在△ABC中,已知|AB+AC|=|AB-AC|,AB=1,AC=3,M,N分別為BC的三等分點(diǎn),則AM·AN=(　　) A.109 B.209 C.89 D.83 答案　B 解析　∵|AB+AC|=|AB-AC|,∴∠BAC=90°. 又M,N分別為BC的三等分點(diǎn), AM·AN=AB+13BC·AC+13CB=AB·AC+13AB·CB+13BC·AC+19BC·CB=0+13×1×10×110+13×10×3×310-19×10×10=13+3-109=209.故選B. 3. 如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠BAD=60°,E,F分別為BC,CD的中點(diǎn),則AE·EF=(　　) A.12 B.-32 C.32 D.-12 答案　D 解析　在菱形ABCD中邊長(zhǎng)為2,∠BAD=60°, ∴AB·AD=2×2×cos60°=2, 又∵AE=AB+BE=AB+12AD,EF=12BD=12(AD-AB), ∴AE·EF=(AB+12AD)·12(AD-AB) =1212AD2+12AB·AD-AB2 =1212×4+12×2-4=-12,故選D. 4.(2019河北棗強(qiáng)中學(xué)高三一模)已知△ABC中,|BC|=2,BA·BC=-2.點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則PC·(PA+PB+PC)的最小值為(　　) A.2 B.-34 C.-2 D.-2512 答案　D 解析　以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖的直角坐標(biāo)系. 可得B(-1,0),C(1,0),設(shè)P(a,0),A(x,y),由BA·BC=-2,可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y≠0, 則PC·(PA+PB+PC)=(1-a,0)·(x-a-1-a+1-a,y+0+0)=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3a-162-2512,當(dāng)a=16時(shí),PC·(PA+PB+PC)的最小值為-2512.故選D. 5.在△ABC中,∠C=90°,|AB|=6,點(diǎn)P滿足|CP|=2,則PA·PB的最大值為(　　) A.9 B.16 C.18 D.25 答案　B 解析　取AB的中點(diǎn)D,連接CD.設(shè)PC與CD的夾角為α,則 PA·PB=(PC+CA)·(PC+CB)=PC2+PC·(CA+CB)+CA·CB=PC2+PC·(CA+CB)=22+PC·2CD=4+2PC·CD=4+2|PC|·|CD|cosα=4+2×2×3cosα=4+12cosα, 所以當(dāng)α=00時(shí),PA·PB的最大值為16.故選B. 6.已知菱形ABCD的一條對(duì)角線BD長(zhǎng)為2,點(diǎn)E滿足AE=12ED,點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),若AD·BE=-2,則CD·AF=　　　　.  答案　-7 解析　如圖,建立平面直角坐標(biāo)系, 設(shè)C(t,0),A(-t,0),B(0,-1),D(0,1),E-23t,13,Ft2,12,AD=(t,1),BE=-23t,43,CD=(-t,1),AF=3t2,12, ∵AD·BE=-2,∴-23t2+43=-2,解得t2=5,CD·AF=-32t2+12=-7. 命題角度4平面向量數(shù)量積的應(yīng)用　 高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向 1.(2019全國(guó)Ⅰ·7)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為(　　) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案　B 解析　因?yàn)?a-b)⊥b, 所以(a-b)·b=a·b-b2=0, 所以a·b=b2. 所以cos<a,b>=a·b|a|·|b|=|b|22|b|2=12, 所以a與b的夾角為π3,故選B. 2.(2019全國(guó)Ⅲ·13)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,則cos<a,c>=. 答案　23 解析　∵a,b為單位向量,∴|a|=|b|=1. 又a·b=0,c=2a-5b, ∴|c|2=4|a|2+5|b|2-45a·b=9,∴|c|=3. 又a·c=2|a|2-5a·b=2, ∴cos<a,c>=a·c|a|·|c|=21×3=23. 3.(2017山東·12)已知e1,e2是互相垂直的單位向量,若3e1-e2與e1+λe2的夾角為60°,則實(shí)數(shù)λ的值是　　　　　.  答案　33 解析　∵e1,e2是互相垂直的單位向量, ∴可設(shè)a=3e1-e2=(3,-1),b=e1+λe2=(1,λ). 則<a,b>=60°. ∴cos<a,b>=cos60°=a·b|a||b|=3-λ2λ2+1=12, 即3-λ=λ2+1,解得λ=33. 典題演練提能·刷高分 1.如圖,在△ABC中,N為線段AC上靠近A的三等分點(diǎn),點(diǎn)P在BN上且AP=m+211AB+211BC,則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A.1 B.12 C.911 D.511 答案　D 解析　∵N為線段AC上靠近A的三等分點(diǎn), ∴AN=13AC. 設(shè)BP=λBN,AP=AB+BP=AB+λBN=AB+λ(AN-AB)=(1-λ)AB+λAN=(1-λ)AB+λ3AC. ∵AP=m+211AB+211BC=mAB+211(AB+BC)=mAB+211AC, ∴1-λ=m,λ3=211,∴m=1-611=511. 2.已知向量a,b滿足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影為-2,則|a|=(　　) A.2 B.23 C.4 D.12 答案　A 解析　由|a-b|=3,即|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9, 所以a·b=-9-a2-b22=|a|2+|b|2-92=|a|2-82, 由向量a在向量b方向上的投影為-2,則a·b|b|=|a|2-82=-2, 即|a|2=4,所以|a|=2,故選A. 3.在△ABC中,若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,則△ABC是(　　) A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.直角三角形 答案　D 解析　∵在△ABC中,AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB, ∴AB2=AB·AC-AB·BC+CA·CB=AB·(AC-BC)+CA·CB, ∴AB2=AB2+CA·CB, ∴CA·CB=0,∴∠C=90°, ∴△ABC為直角三角形,故選D. 4.已知向量a,b滿足|b|=5,|2a+b|=53,|a-b|=52,則|a|=　　　　.  答案　563 解析　由已知有4a2+4a·b+b2=75,a2-2a·b+b2=50,將b2=|b|2=25代入方程組, 解得|a|=563. 5.在△ABC中,AB=3,BC=2AC=2,滿足|BA-tBC|≤3|AC|的實(shí)數(shù)t的取值范圍是　　　　.  答案　0,32 解析　△ABC中,AB=3,BC=2AC=2,即AC=1. ∵AB2+AC2=BC2, ∴△ABC為直角三角形,∠A=90°,∠B=30°. ∴由|BA-tBC|≤3|AC|得BA2-2tBA·BC·cos<BA,BC>+t2BC2≤3AC2, ∴3-2t·23·32+4t2≤3,整理,得2t2-3t≤0,解得0≤t≤32.∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是0,32. 19