《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 第30講 平面向量應(yīng)用練習(xí) 文（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 第30講 平面向量應(yīng)用練習(xí) 文（含解析）新人教A版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第30講　平面向量應(yīng)用 夯實基礎(chǔ)　【p69】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 平面向量在平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等方面的綜合應(yīng)用． 【基礎(chǔ)檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，則這個三角形是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 【解析】∵＝(2，－2)，＝(6，6)， ∴·＝12－12＝0， ∴⊥，又||≠|(zhì)|，∴△ABC為直角三角形． 【答案】B 2．河中水流自西向東以每小時10 km的速度流動，小船自南岸A點出發(fā)，想要沿直線駛向正北

2、岸的B點，并使它的實際速度達(dá)到每小時10 km，該小船行駛的方向和靜水速度分別為(　　) A．西偏北30°，速度為20 km/h B．北偏西30°，速度為20 km/h C．西偏北30°，速度為20 km/h D．北偏西30°，速度為20 km/h 【解析】由題意得v靜水＝＝20，方向為北偏西30°，選B. 【答案】B 3．已知函數(shù)f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分圖象如圖所示，點B，C是該圖象與x軸的交點，過點C的直線與該圖象交于D，E兩點，則(＋)·(－)＝________． 【解析】(＋)·(－)＝(＋)·＝2·＝2||2，顯然||的長度為半個周期，周期T＝＝2，∴

3、||＝1，所求值為2. 【答案】2 4．已知點A(3，3)，O 為坐標(biāo)原點，設(shè)點P(x，y)，且x，y滿足 則向量在向量方向上的投影的取值范圍是____________. 【解析】如圖所示，作出P的可行域△OMN，設(shè)z＝x＋y，由直線y＝－x＋z過點M(2，4)時zmax＝6，當(dāng)過點N(－2，0)時zmin＝－2，即x＋y∈(－2，6)，向量在向量方向上的投影為：||cos〈，〉＝||×＝＝∈(－，3)． 【答案】 【知識要點】 1．向量應(yīng)用的常用結(jié)論 (1)兩個向量垂直的充要條件． 向量表示：a⊥b?__a·b＝0__． 坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，

4、y2)，則a⊥b?__x1x2＋y1y2＝0__． (2)兩個向量平行的充要條件． 向量表示：若a∥b，且b≠0，則__?λ∈R，使a＝λb__； 坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?__x1y2－x2y1＝0或__ (3)夾角公式：cos θ＝____(0°≤θ≤180°)． (4)模長公式：|a|＝＝. (5)數(shù)量積性質(zhì)：|a·b|≤|a|·|b|. 2．向量應(yīng)用的分類概述 (1)應(yīng)用平面向量解決函數(shù)與不等式的問題，是以函數(shù)和不等式為背景的一種向量描述．它需要掌握向量的概念及基本運算，并能根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造合適的向量，利用向量的“數(shù)”“形”兩重性解決

5、問題． (2)平面向量與三角函數(shù)的整合，仍然是以三角題型為背景的一種向量描述. 它需要根據(jù)向量的運算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)化為三角的相關(guān)知識來解答，三角知識是考查的主體． (3)平面向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)運算，將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識來解答，坐標(biāo)的運算是考查的主體． (4)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用，是以平面幾何中的基本圖形(三角形、平行四邊形、菱形等)為背景，重點考查平面向量的線性運算(三角形法則，平行四邊形法則)和幾何圖形的基本性質(zhì)． (5)平面向量在物理力學(xué)等實際問題中的應(yīng)用，是

6、以實際問題為背景，考查學(xué)科知識的綜合及向量的方法． 典 例 剖 析　【p70】 考點1　用向量解決平面幾何問題 (1)P為四邊形ABCD所在平面上一點，＋＋＋＝＋，則P為(　　) A．四邊形ABCD對角線交點 B．AC的中點 C．BD的中點 D．CD邊上一點 【解析】∵＝＋，＝＋，＋＋＋＝＋， ∴＋＝＋，∴＋＝0. ∴點P為線段AC的中點．故選B. 【答案】B (2)在△ABC中，若·＝·＝·，則點O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“內(nèi)心”“外心”)． 【解析】∵·＝·， ∴·(－)＝0， ∴·＝0， ∴OB⊥CA，即OB為△ABC底邊CA上的高

7、所在直線． 同理·＝0，·＝0，故O是△ABC的垂心． 【答案】垂心 【小結(jié)】利用向量知識解決平面幾何問題的一般方法，即所謂的“三部曲”： (1)建立起平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； (2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如平行、垂直、平分等問題； (3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 考點2　用向量解決解析幾何問題 (1)設(shè)O為坐標(biāo)原點，C為圓(x－2)2＋y2＝3的圓心，且圓上有一點M(x，y)滿足·＝0，則＝______． 【解析】∵·＝0，∴OM⊥CM， ∴OM是圓的切線，設(shè)OM的方程為y＝kx， 由＝，

8、得k＝±，即＝±. 【答案】± (2)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，且A、B、C三點共線．當(dāng)k<0時，若k為直線的斜率，則過點(2，－1)的直線方程為______________． 【解析】∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，且∥， ∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11. 由k<0可知k＝－2， 則過點(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2(x－2)， 即2x＋y－3＝0. 【答案】2x＋y－3＝0 【小結(jié)】向量在解析幾何中的作用： (1)載體作用，向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題關(guān)鍵

9、是利用向量的意義、運算，脫去“向量外衣”； (2)工具作用，用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題． 考點3　向量的綜合應(yīng)用 (1)已知向量a＝(6，－4)，b＝(0，2)，＝a＋λb，O為坐標(biāo)原點，若點C在函數(shù)y＝sinx的圖象上，則實數(shù)λ的值是__________． 【解析】由題意可得＝(6，－4)＋λ(0，2)＝(6，－4＋2λ)，則點C的坐標(biāo)為C(6，－4＋2λ)，結(jié)合函數(shù)的解析式有：－4＋2λ＝sin，解得：λ＝. 【答案】 (2)已知在平面直角坐標(biāo)系中，O(0，0)，M(1，1)，N(0，1)，Q(2，3)，動點P(x，y)滿足不等式0≤

10、·≤1，0≤·≤1，則z＝·的最大值為________． 【解析】∵＝(x，y)，＝(1，1)，＝(0，1)，＝(2，3)， ∴·＝x＋y，·＝y(tǒng)，·＝2x＋3y， 即在的條件下，求z＝2x＋3y的最大值，由線性規(guī)劃知識得，當(dāng)x＝0，y＝1時，zmax＝3. 【答案】3 【小結(jié)】利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，解題時通過定義或坐標(biāo)運算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化． 【能力提升】 已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是：x＝－. (1)求拋物線方程； (2)設(shè)直線y＝k與拋物線相交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，證明以MN為直徑的圓過O點． 【

11、解析】(1)由題意p＝1，則拋物線方程為y2＝2x. (2)聯(lián)立得y2＝2，即y2－y－4＝0， 令M，N， ∴y1y2＝－4，x1x2＝y(tǒng)y＝4， ∴·＝x1x2＋y1y2＝y(tǒng)y＋y1y2＝4－4＝0， ∴⊥， ∴以MN為直徑的圓過O點． 方 法 總 結(jié)　【p70】 1．用向量解決平面幾何問題的步驟 (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； (2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題； (3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 2．應(yīng)用向量解決問題的關(guān)鍵是要構(gòu)造合適的向量，觀察條件和結(jié)構(gòu)，選擇使用向

12、量的某些性質(zhì)解決相應(yīng)的問題．如用數(shù)量積解決垂直、夾角問題，用三角形法則、模長公式解決平面幾何線段長度問題，用向量共線解決三點共線問題等．總之，要應(yīng)用向量，如果題設(shè)條件中有向量，則可以聯(lián)想性質(zhì)直接使用；如果沒有向量，則更需要有向量工具的應(yīng)用意識，強(qiáng)化知識的聯(lián)系，善于構(gòu)造向量解決問題． 3．幾點注意事項 (1)在處理三點共線問題時，轉(zhuǎn)化為兩個向量共線解決，需說明兩個向量有公共點，兩直線不能平行，只能重合． (2)在解決夾角問題時，應(yīng)注意向量的方向，向量的夾角與所求角可能相等，也可能互補(bǔ)． (3)證明垂直問題一般要經(jīng)過向量的運算得到數(shù)量積a·b＝0，盡量用坐標(biāo)運算． 走 進(jìn) 高 考　　【p70】 1．(2018·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·＝0，則點A的橫坐標(biāo)為________． 【解析】因為·＝0，所以AB⊥CD，又點C為AB的中點，所以∠BAD＝45°.設(shè)直線l的傾斜角為θ，直線AB的斜率為k，則tan θ＝2，k＝tan＝－3.又B(5，0)，所以直線AB的方程為y＝－3(x－5)，又A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點，聯(lián)立直線AB與直線l的方程，得解得所以點A的橫坐標(biāo)為3. 【答案】3 - 5 -