《（全國通用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第四層熱身篇 專題檢測（十六）圓錐曲線中的定值、定點、證明問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第四層熱身篇 專題檢測（十六）圓錐曲線中的定值、定點、證明問題（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題檢測（十六） 圓錐曲線中的定值、定點、證明問題 大題專攻強化練 1．(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線C：y＝，D為直線y＝－上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B. (1)證明：直線AB過定點． (2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求該圓的方程． 解：(1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x＝2y1. 由于y′＝x，所以切線DA的斜率為x1，故＝x1. 整理得2tx1－2y1＋1＝0. 設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0. 所以直線AB過定點. (2)由(1)得直線AB的方程

2、為y＝tx＋. 由可得x2－2tx－1＝0. 于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1. 設(shè)M為線段AB的中點，則M. 由于⊥，而＝(t，t2－2)，與向量(1，t)平行， 所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1. 當t＝0時，||＝2，所求圓的方程為x2＋＝4； 當t＝±1時，||＝，所求圓的方程為x2＋＝2. 2．(2019·濟南市學習質(zhì)量評估)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，右焦點為F，且該橢圓過點. (1)求橢圓C的方程； (2)當動直線l與橢圓C相切于點A，且與直線x＝相交于點B時，求證：△FAB為直角三角形． 解

3、：(1)由題意得＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，a2＝4，即橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：由題意可得直線l的斜率存在， 設(shè)l：y＝kx＋m，聯(lián)立得 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 判別式Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)＝0，得m2＝4k2＋1＞0. 設(shè)A(x1，y1)，則x1＝＝＝－，y1＝kx1＋m＝＋m＝，即A. 易得B，F(xiàn)(，0)， 則＝，＝， ·＝＋＝－－1＋＋1＝0， 所以⊥，即△FAB為直角三角形，得證． 3.如圖，設(shè)點A，B的坐標分別為(－，0)，(，0)，直線AP，BP相交于點P，且它們的斜率之積為－

4、. (1)求點P的軌跡方程； (2)設(shè)點P的軌跡為C，點M，N是軌跡C上不同的兩點，且滿足AP∥OM，BP∥ON，求證：△MON的面積為定值． 解：(1)設(shè)點P的坐標為(x，y)，由題意得， kAP·kBP＝·＝－(x≠±)， 化簡得，點P的軌跡方程為＋＝1(x≠±)． (2)證明：由題意可知，M，N是軌跡C上不同的兩點，且AP∥OM，BP∥ON， 則直線OM，ON的斜率必存在且不為0，kOM·kON＝kAP·kBP＝－. ①當直線MN的斜率為0時，設(shè)M(x0，y0)，N(－x0，y0)，則得 所以S△MON＝|y0||2x0|＝. ②當直線MN的斜率不為0時，設(shè)直線MN的

5、方程為x＝my＋t，代入＋＝1， 得(3＋2m2)y2＋4mty＋2t2－6＝0，　(*) 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1，y2是方程(*)的兩根， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝， 又kOM·kON＝＝ ＝， 所以＝－，即2t2＝2m2＋3，滿足Δ>0. 又S△MON＝|t||y1－y2|＝， 所以S△MON＝＝. 綜上，△MON的面積為定值，且定值為. 4．(2019·福州市質(zhì)量檢測)已知拋物線C1：x2＝2py(p>0)和圓C2：(x＋1)2＋y2＝2，傾斜角為45°的直線l1過C1的焦點，且l1與C2相切． (1)求p的值； (2)動點M在C1的準

6、線上，動點A在C1上，若C1在A點處的切線l2交y軸于點B，設(shè)＝＋，求證：點N在定直線上，并求該定直線的方程． 解：(1)依題意，設(shè)直線l1的方程為y＝x＋， 因為直線l1與圓C2相切， 所以圓心C2(－1，0)到直線l1：y＝x＋的距離d＝＝. 即＝，解得p＝6或p＝－2(舍去)． 所以p＝6. (2)法一：依題意設(shè)M(m，－3)， 由(1)知拋物線C1的方程為x2＝12y，所以y＝，所以y′＝， 設(shè)A(x1，y1)，則以A為切點的切線l2的斜率為k＝， 所以切線l2的方程為y＝x1(x－x1)＋y1. 令x＝0，則y＝－x＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即B點的坐標

7、為(0，－y1)， 所以＝(x1－m，y1＋3)， ＝(－m，－y1＋3)， 所以＝＋＝(x1－2m，6)， 所以＝＋＝(x1－m，3)． 設(shè)N點坐標為(x，y)，則y＝3， 所以點N在定直線y＝3上． 法二：設(shè)M(m，－3)， 由(1)知拋物線C1的方程為x2＝12y，① 設(shè)l2的斜率為k，A，則以A為切點的切線l2的方程為y＝k(x－x1)＋x，② 聯(lián)立①②得，x2＝12， 因為Δ＝144k2－48kx1＋4x＝0，所以k＝， 所以切線l2的方程為y＝x1(x－x1)＋x. 令x＝0，得B點坐標為， 所以＝， ＝， 所以＝＋＝(x1－2m，6)， 所以＝＋＝(x1－m，3)， 所以點N在定直線y＝3上． - 5 -