專題檢測（十八） 函數(shù)的圖象與性質(zhì) A組——“12＋4”滿分練 一、選擇題 1.函數(shù)y＝log2(2x－4)＋的定義域是(　　) A.(2，3)　　 　 　　　 B.(2，＋∞) C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞) 解析：選D　由題意得解得x＞2且x≠3， 所以函數(shù)y＝log2(2x－4)＋的定義域為(2，3)∪(3，＋∞)，故選D. 2.若函數(shù)f(x)滿足f(1－ln x)＝，則f(2)＝(　　) A. B.e C. D.－1 解析：選B　法一：令1－ln x＝t，則x＝e1－t， 于是f(t)＝，即f(x)＝，故f(2)＝e. 法二：由1－ln x＝2，得x＝，這時＝＝e， 即f(2)＝e. 3.(2019·長沙市統(tǒng)一模擬考試)下列函數(shù)中，圖象關(guān)于原點對稱且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是(　　) A.f(x)＝sin x－x B.f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1) C.f(x)＝ D.f(x)＝ 解析：選D　由題意，f(x)＝sin x－x，該函數(shù)是奇函數(shù)，滿足圖象關(guān)于原點對稱的條件，而f′(x)＝cos x－1≤0，即在定義域內(nèi)f(x)＝sin x－x單調(diào)遞減，故A不滿足；對于B，研究定義域可得即該函數(shù)的定義域為(1，＋∞)，所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故B不滿足；對于C，函數(shù)的定義域為R，f(－x)＝f(x)，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，不滿足圖象關(guān)于原點對稱的條件，故C不滿足；對于D，函數(shù)的定義域為R，f(－x)＝－f(x)，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，滿足圖象關(guān)于原點對稱的條件，又f′(x)＝>0，所以該函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，滿足題目中的條件，故選D. 4.(2019·江西九江兩校3月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的圖象過坐標(biāo)原點，且滿足f(－x)＝f(－1＋x)，則函數(shù)f(x)在[－1，3]上的值域為(　　) A.[0，12] B. C. D. 解析：選B　因為函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的圖象過坐標(biāo)原點， 所以f(0)＝0，則b＝0. 由f(－x)＝f(－1＋x)，可知函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x＝－，即－＝－，所以a＝1， 則f(x)＝x2＋x＝－， 所以當(dāng)x＝－時，f(x)取得最小值，且最小值為－. 又f(－1)＝0，f(3)＝12， 所以f(x)在[－1，3]上的值域為.故選B. 5.函數(shù)f(x)＝的圖象大致為(　　) 解析：選C　函數(shù)f(x)＝是非奇非偶函數(shù)，排除A、B；函數(shù)f(x)＝的零點是x＝±e－1，當(dāng)x＝e時，f(e)＝<，排除選項D. 6.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，則(　　) A.f(－25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(－25) C.f(11)<f(80)<f(－25) D.f(－25)<f(80)<f(11) 解析：選D　因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)， 所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)， 則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3). 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1). 因為f(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2，2]上是增函數(shù)， 所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11). 7.設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間上的圖象，則f(2 019)＋f(2 020)＝(　　) A.2 B.1 C.－1 D.0 解析：選B　因為函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，所以f(2 019)＝f(2 019－673×3)＝f(0)，f(2 020)＝f(2 020－673×3)＝f(1)，由題中圖象知f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(2 019)＋f(2 020)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1，故選B. 8.(2019·湖北武漢3月聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　) A.(－∞，0] B.[0，1) C.[1，＋∞) D.[－1，0] 解析：選B　由題意知g(x)＝x2f(x－1)＝畫出函數(shù)g(x)的圖象(圖略)，由圖可得函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，1).故選B. 9.(2019·湖北省部分重點中學(xué)4月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝－f(－x)，則函數(shù)g(x)的圖象大致是(　　) 解析：選D　先畫出函數(shù)f(x)＝的圖象，如圖(1)所示，再根據(jù)函數(shù)f(x)與－f(－x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，即可畫出函數(shù)－f(－x)的圖象，即g(x)的圖象，如圖(2)所示，故選D. 10.(2019·湖北武漢部分重點中學(xué)3月聯(lián)考)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(1)＝－1，若f(2x－1)≥－1，則x的取值范圍為(　　) A.(－∞，－1] B.[1，＋∞) C.[0，1] D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：選C　由題意，得f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，且f(1)＝－1，所以f(2x－1)≥f(1)，則|2x－1|≤1，解得0≤x≤1.故選C. 11.已知函數(shù)f(x)＝對于任意的x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(－∞，3] B.(－∞，3) C.(3，＋∞) D.[1，3) 解析：選D　由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0，得函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則解得1≤a＜3.故選D. 12.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|≥g(x)時，h(x)＝|f(x)|；當(dāng)|f(x)|＜g(x)時，h(x)＝－g(x)，則h(x)(　　) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，無最小值 C.有最小值－1，無最大值 D.有最大值－1，無最小值 解析：選C　作出函數(shù)g(x)＝1－x2和函數(shù)|f(x)|＝|2x－1|的圖象如圖①所示，得到函數(shù)h(x)的圖象如圖②所示，由圖象得函數(shù)h(x)有最小值－1，無最大值. 二、填空題 13.(2019·山東濟寧期末改編)已知函數(shù)f(x)＝若f(e)＝－3f(0)，則b＝________，函數(shù)f(x)的值域為________________. 解析：由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函數(shù)f(x)＝當(dāng)x＞1時，y＝ln x＋2＞2；當(dāng)x≤1時，y＝ex－2∈(－2，e－2].故函數(shù)f(x)的值域為(－2，e－2]∪(2，＋∞). 答案：2　(－2，e－2]∪(2，＋∞) 14.(2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，則a＝________. 解析：設(shè)x>0，則－x<0. ∵ 當(dāng)x<0時，f(x)＝－eax，∴ f(－x)＝－e－ax. ∵ f(x)是奇函數(shù)，∴ f(x)＝－f(－x)＝e－ax， ∴ f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a. 又∵ f(ln 2)＝8，∴ 2－a＝8，∴ a＝－3. 答案：－3 15.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x≥0時，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)，則當(dāng)－1<f(－1)<1時，a的取值范圍為________. 解析：因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， 所以f(－1)＝f(1)＝loga2. 因為－1<f(－1)<1，所以－1<loga2<1， 所以loga<loga2<logaa. ①當(dāng)a>1時，原不等式等價于解得a>2； ②當(dāng)0<a<1時，原不等式等價于解得0<a<.綜上，實數(shù)a的取值范圍為∪(2，＋∞). 答案：∪(2，＋∞) 16.(2019·河北保定兩校3月聯(lián)考)對于函數(shù)y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，則稱點(x0，f(x0))是曲線f(x)的“優(yōu)美點”.已知f(x)＝若曲線f(x)存在“優(yōu)美點”，則實數(shù)k的取值范圍為________. 解析：由“優(yōu)美點”的定義，可知若點(x0，f(x0))是曲線y＝f(x)的“優(yōu)美點”，則點(－x0，－f(x0))也在曲線y＝f(x)上.如圖，作出函數(shù)y＝x2＋2x(x＜0)的圖象，然后作出其關(guān)于原點對稱的圖象，此圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝－x2＋2x(x＞0). 設(shè)過定點(0，2)的直線y＝k1x＋2與曲線y＝f(x)＝－x2＋2x(x＞0)切于點A(x1，f(x1))，則k1＝y(tǒng)′|＝－2x1＋2＝，解得x1＝或x1＝－(舍去)，所以k1＝－2＋2. 由圖可知，若曲線y＝f(x)存在“優(yōu)美點”，則k≤2－2. 答案：(－∞，2－2] B組——“5＋3”提速練 1.設(shè)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上遞減，f(2)＝0，則f(x)＞0的解集是(　　) A.(－∞，－2)　　　　 B.(0，2) C.(－∞，－2)∪(0，2) D.(－2，0)∪(0，2) 解析：選C　根據(jù)題意，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0， 則函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(－2)＝－f(2)＝0. 當(dāng)x＞0時，若f(x)＞0，即f(x)＞f(2)，必有0＜x＜2， 當(dāng)x＜0時，若f(x)＞0，即f(x)＞f(－2)，必有x＜－2， 即f(x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(0，2). 2.(2019·全國卷Ⅲ)函數(shù)y＝在[－6，6]的圖象大致為(　　) 解析：選B　∵ y＝f(x)＝，x∈[－6，6]， ∴ f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴ f(x)是奇函數(shù)，排除選項C. 當(dāng)x＝4時，y＝＝＝≈7.97∈(7，8)，排除選項A、D.故選B. 3.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，若g(3)＝2，則f(－2)＝(　　) A.－2 B.2 C.－3 D.3 解析：選D　因為函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，且g(3)＝2，所以f(2)＝3，因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)＝3，故選D. 4.(2019·重慶4月調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2x＋log3 ，若不等式f>3成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.(1，＋∞)　　　　　　 B.(－∞，1) C. D. 解析：選D　由>0，得－2<x<2，因為y＝2x在(－2，2)上單調(diào)遞增，y＝log3＝log3＝log3在(－2，2)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)，又f(1)＝3，所以不等式f>3成立等價于不等式f＞f(1)成立，所以 解得<m<1.故選D. 5.在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點，若函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過n(n∈N*)個整點，則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)，給出下列函數(shù)： ①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝；④φ(x)＝ln x. 其中是一階整點函數(shù)的是(　　) A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④ 解析：選C　對于函數(shù)f(x)＝sin 2x，它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個整點(0，0)，所以它是一階整點函數(shù)，排除D； 對于函數(shù)g(x)＝x3，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一階整點函數(shù)，排除A； 對于函數(shù)h(x)＝，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一階整點函數(shù)，排除B. 6.已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(－3，2)對稱，則函數(shù)h(x)＝f(x＋1)－3的圖象的對稱中心為________. 解析：函數(shù)h(x)＝f(x＋1)－3的圖象是由函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位得到的，又f(x)的圖象關(guān)于點(－3，2)對稱，所以函數(shù)h(x)的圖象的對稱中心為(－4，－1). 答案：(－4，－1) 7.設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f(x－1)<2的x的取值范圍是________. 解析：當(dāng)x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－[－x(－x－1)]＝－x(x＋1)， ①若x<0，則x－1<－1， 由f(x)＋f(x－1)<2得－x(x＋1)－(x－1)x<2， 即－2x2<2，即x2>－1，此時恒成立，此時x<0. ②若x≥1，則x－1≥0， 由f(x)＋f(x－1)<2得x(x－1)＋(x－1)(x－2)<2，即x2－2x<0，即0<x<2，此時1≤x<2. ③若0≤x<1，則x－1<0， 則由f(x)＋f(x－1)<2得x(x－1)－(x－1)x<2， 即0<2，此時不等式恒成立，此時0≤x<1， 綜上x<2，即不等式的解集為(－∞，2). 答案：(－∞，2) 8.若函數(shù)y＝f(x)滿足：對于y＝f(x)圖象上任意一點P(x1，f(x1))，總存在點P′(x2，f(x2))也在y＝f(x)圖象上，使得x1x2＋f(x1)f(x2)＝0成立，稱函數(shù)y＝f(x)是“特殊對點函數(shù)”.給出下列五個函數(shù)： ①y＝x－1；②y＝ex－2；③y＝ln x；④y＝(其中e為自然對數(shù)底數(shù)).其中是“特殊對點函數(shù)”的序號是________.(寫出所有正確的序號) 解析：由P(x1，f(x1))，P′(x2，f(x2))滿足x1x2＋f(x1)·f(x2)＝0，知·＝0，即⊥. ①y＝x－1.當(dāng)P(1，1)時，由圖象知滿足⊥的點P′(x2，f(x2))不在y＝x－1上，故①y＝x－1不是“特殊對點函數(shù)”； ②y＝ex－2.作出函數(shù)y＝ex－2的圖象，由圖象知，滿足⊥的點P′(x2，f(x2))都在y＝f(x)圖象上，則②是“特殊對點函數(shù)”； ③y＝ln x.當(dāng)P(1，0)時，滿足⊥的點不在y＝ln x上，故③y＝ln x不是“特殊對點函數(shù)”； ④y＝.作出函數(shù)y＝的圖象， 由圖象知，滿足⊥的點P′(x2，f(x2))都在y＝f(x)圖象上，則④是“特殊對點函數(shù)”. 答案：②④ - 10 -