《函數(shù)中的賦值問題-(教師版)恍然大悟-火爆高考卷中導(dǎo)數(shù)賦值取點(diǎn)問題的前世今生》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《函數(shù)中的賦值問題-(教師版)恍然大悟-火爆高考卷中導(dǎo)數(shù)賦值取點(diǎn)問題的前世今生（16頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、函數(shù)中的賦值問題 第一講 賦值的意義 函數(shù)賦值是一種熱門的話題，賦值之因此“熱”，是由于它波及到函數(shù)領(lǐng)域的方方面面： 討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(涉及零點(diǎn)的存在性，唯一性)；求含參函數(shù)的極值或最值；證明一類超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及多種題型中的參數(shù)取值范疇等等． 然而時(shí)下，在相稱一部分學(xué)生的答卷中，甚或在某些地區(qū)的模擬試卷的原則解答中，一種以極限語言或極限觀點(diǎn)替代賦值論證的“素描式”解題現(xiàn)象應(yīng)予關(guān)注和糾正． 1.從一道調(diào)研試題的原則解答說起 題目1 已知函數(shù)． （1）略；（3）略； （2）設(shè)，若在上有且只有一種零點(diǎn)，求的取值范疇． 解：（2），則方程即

2、有唯一解． 記，，令． ①時(shí)，單調(diào)減， 因此的取值范疇是 (?) ②時(shí)…，的取值范疇是； ③時(shí)，單調(diào)減，且恒正，因此的取值范疇是． 因此當(dāng)或時(shí)，有且只有一種零點(diǎn)，故的取值范疇是或． 質(zhì)疑： 1．“”與“的取值范疇是”與否等價(jià)？ 2．也許解答的潛意識(shí)是，那么其根據(jù)是什么? 作為指揮棒的省考、國考又是如何解決有關(guān)問題的呢? 答：一種中心：參數(shù)全程掃描；一種基本點(diǎn)：賦值絲絲入扣． 2．真題預(yù)測(cè)探究 題目2（江蘇20）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)． （1）略； （2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

3、 （2）解：由在上單調(diào)增，得 (過程略) ． 時(shí)，， 而，且圖像不間斷， 根據(jù)零點(diǎn)定理，有且只有一種零點(diǎn)． 【分析時(shí)，由(極大值點(diǎn))，】 時(shí),．令． 且， 因此是的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)， 因此，當(dāng)且僅當(dāng)． 故有唯一零點(diǎn)． 時(shí)，令．列表： 0 因此． ①在上，且單調(diào)，因此有且只有一種零點(diǎn)； ②在上，顯然，注意到的結(jié)論， 因此，同理有且只有一種零點(diǎn)． 由①②有兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上所述，當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)． 【注1】本題第（2）問“時(shí)”賦值點(diǎn)的

4、形成過程及其多元性: ①在上，由于，且為常數(shù)，因此理應(yīng)成為直觀賦值點(diǎn)的首選． ②在上【難點(diǎn)！】根據(jù)單調(diào)性，直觀賦值點(diǎn)應(yīng)在右側(cè)充足遠(yuǎn)處．嘗試，失敗！ 表白該賦值點(diǎn)不夠遠(yuǎn)，再改試，成了！(過程如上) ．顯然，賦值點(diǎn)不唯一． 在上，也可考慮(標(biāo)解)， 或（均不及賦值簡(jiǎn)便）． 在上也可考慮，． 還可考慮(標(biāo)解)，并注意屆時(shí)，(證略) ，． 【注2】在本題結(jié)論的牽引下，區(qū)間上的三個(gè)賦值點(diǎn)一脈相承， 井然有序：由于(當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立)，因此． 以上賦值均為先直觀，后放縮．其特點(diǎn)是見效快，但有時(shí)有點(diǎn)懸，解、證風(fēng)險(xiǎn)大．因此，當(dāng)直觀賦值受挫時(shí)，不妨通過放縮，無懸念地求出賦值點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)解(證)

5、目的． 現(xiàn)以區(qū)間為例 ——— 【分析：在右側(cè)充足遠(yuǎn)處，但愿存在，使，為此，應(yīng)意識(shí)到在的體現(xiàn)式中，對(duì)起主導(dǎo)作用的那一項(xiàng)是，不適宜容易放縮，放縮的目的應(yīng)鎖定． 根據(jù)()(證略) ，，不妨取， 但此路受挫，故須調(diào)節(jié)放縮的尺度】 思路一：由本題結(jié)論，． ． 詳解：由本題結(jié)論 在上，存在 (如下略)． 思路二：由時(shí)，． 的任意性給賦值提供了更為寬松的選擇空間： ， 令． 不妨令． 詳解：(證略) ，． 今取(如下略)． 【跟蹤訓(xùn)練】 1．思考并解答本講題目1(2)； 2．思考函數(shù)賦值問題有哪些根據(jù)和措施． 第二講 賦值的根據(jù)和

6、措施 1．賦值的理論根據(jù)： 1)不等式的基本性質(zhì)以及某些簡(jiǎn)樸代數(shù)方程、不等式的求解． 2)零點(diǎn)存在定理.基本模式是已知的符號(hào)，探求賦值點(diǎn)(假定)使得與異號(hào)，則在上存在零點(diǎn)． 3)某些基本的超越不等式，如： 1．；． 2．時(shí)，． 3．時(shí)，． 4．． 【注】應(yīng)用上述不等式,一般須給出證明． 2．賦值的應(yīng)對(duì)方略： 2.1賦值的措施： 直觀放縮法．其形態(tài)是先直觀嘗試，后放縮證明，其特點(diǎn)是見效快，但有時(shí)有點(diǎn)懸，解、證風(fēng)險(xiǎn)大．（參閱上節(jié)“真題預(yù)測(cè)探究”） 放縮求解法．其形態(tài)是先適度放縮，然后通過解不等式或方程求出賦值點(diǎn)，其特點(diǎn)是穩(wěn)妥、可靠，但有時(shí)，目的放縮有點(diǎn)難．（參閱上節(jié)

7、“真題預(yù)測(cè)探究”中的思路一，思路二） 2.2賦值點(diǎn)遴選要領(lǐng)：遴選賦值點(diǎn)須做到三個(gè)保證，三個(gè)優(yōu)先 ——— 三個(gè)保證： （1）保證參數(shù)能取到它的一切值；（2）保證賦值點(diǎn)落在規(guī)定區(qū)間內(nèi)；（3）保證運(yùn)算可行． 三個(gè)優(yōu)先： （1）優(yōu)先常數(shù)賦值點(diǎn)；（2）優(yōu)先借助已有極值求賦值點(diǎn)(參閱南通一模)； （3）優(yōu)先簡(jiǎn)樸運(yùn)算，如，等． 2.3放縮的分類及其目的：放縮于賦值，如影隨形，唇齒相依． （1）依放縮的根據(jù)劃分，可分為無條件放縮和條件放縮兩類．前者如，，等；后者如時(shí)，．時(shí)，等； （2）依賦值點(diǎn)的個(gè)數(shù)劃分，可分為單點(diǎn)式和兩點(diǎn)式．前者以解方程為歸宿；后者以解不等式為歸宿，從某種意義上說，后者是前

8、者受挫時(shí)的應(yīng)急之舉． 一般情形下，放縮的目的應(yīng)鎖定于對(duì)函數(shù)的變化趨勢(shì)起不了主導(dǎo)作用的那些項(xiàng)；但有些問題中，很難界定“主導(dǎo)”與非“主導(dǎo)”，此時(shí)放縮的尺度取決于對(duì)題目中多種因素的綜合考量———這正是賦值的難點(diǎn)． 例1（南師附中期中考試）已知函數(shù)． （1）略；（2）略； （3）若曲線：在點(diǎn)處的切線與有且只有一種公共點(diǎn)，求正數(shù)的取值范疇． 解析：（3）易得切線，代入整頓得：，題設(shè)等價(jià)于函數(shù)有且只有一種零點(diǎn)，，其中．【下一步分析：一方面討論恒成立（不也許），及恒成立恒成立．】 當(dāng)，即時(shí)，由， 且當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，． 因此是唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)． 且，故滿

9、足題意． 即時(shí)．由，． 【下一步分析：應(yīng)比較兩零點(diǎn)與的大?。? 即時(shí)，， ，又，因此滿足題設(shè)． ，即時(shí)，當(dāng)，，，因此． 【接著探究：在 上，，因此在右側(cè)充足遠(yuǎn)處， 但愿存在，使，此外應(yīng)意識(shí)到對(duì)起主導(dǎo)作用 的那一項(xiàng)應(yīng)當(dāng)是（該項(xiàng)不適宜容易放縮），故放縮的重要目的 是幾乎可以忽視不計(jì)的“”，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，， 因此】 詳解：又存在，因此， ． 在內(nèi)，存在零點(diǎn)，因此至少有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意． ，即時(shí)，在上，，，因此． 【接著探究：在上，，因此在右側(cè)充足近處， 但愿存在，使．此外應(yīng)意識(shí)到

10、對(duì)起主導(dǎo)作用 的那一項(xiàng)應(yīng)當(dāng)是（因此不適宜容易放縮）故放縮的重要目的 是幾乎可以忽視不計(jì)的“”，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，，，因此．】 詳解：又存在，并注意到，，，因此在內(nèi)存在零點(diǎn)， 從而至少有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意． 綜上所述，或． 【附證：：】 例2（上節(jié)“題目1（2）”）已知函數(shù)． （1）（3）略． （2）設(shè)，若在上有且只有一種零點(diǎn)，求的取值范疇． 正解：(參數(shù)掃描) 依題意有唯一零點(diǎn)，于是： 當(dāng)，不合； 當(dāng)有唯一零點(diǎn)，符合； 當(dāng)一方面． 【下一步，分析1：用直觀放縮法嘗試使，顯然 由于，因此只要令且充足小，則，從而 ．若為某個(gè)負(fù)常數(shù),因負(fù)數(shù)的任意性,無法保證

11、，故須與 有關(guān)．不妨改試】 另一方面并注意到(證略)． ，因此在內(nèi)有唯一零點(diǎn)． 于是時(shí)，須無零點(diǎn)，而，因此，即． 記，令當(dāng)； 當(dāng)，因此，因此． 綜上或． 【注】將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題從而使“分參”不依賴于形而凸顯其嚴(yán)密性． 【下一步分析2：用放縮求解法求使，顯然． 事實(shí)上時(shí),,解之】 另一方面,使且時(shí)， 因此在內(nèi)有唯一零點(diǎn)． (如下過程同上) 【下一步分析3：仍用放縮求解法， 時(shí)，，取】 另一方面,使且時(shí)，因此在內(nèi)有唯一零點(diǎn)． (如下過程同上) 例3 已知，討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 解：記的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．的定義域?yàn)?，? 令，當(dāng)時(shí)，,；當(dāng)時(shí)，，， 因

12、此是的唯一極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)，即． 當(dāng)，即時(shí)，,故． 當(dāng)，即時(shí)，． 當(dāng)，即時(shí)，(如右圖所示) ⅰ.時(shí)，在上,在上， 【途徑一】存在，， 由零點(diǎn)定理及的單調(diào)性． 【途徑二：通過放縮，求解賦值點(diǎn)當(dāng)時(shí), 】 當(dāng)且時(shí)，，同理． ⅱ.時(shí)，由，因此． ⅲ.時(shí)，．一方面，且，另一方面 【途徑一：根據(jù)單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，不妨直觀嘗試】 注意屆時(shí)，（證略），存在， ，又圖像在定義域內(nèi)不間斷， 因此在和內(nèi)，各有一種零點(diǎn)，故 【途徑二(借助原函數(shù)極值求賦值點(diǎn))】 已證在上，且存在， ．同

13、理 綜上所述：當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)． 【注】學(xué)生也許浮現(xiàn)的認(rèn)知誤區(qū)是：當(dāng)時(shí)，（或）． 【跟蹤訓(xùn)練】 1．解不等式：，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． 解析：記，則原不等式等價(jià)于， 令， ． 當(dāng)；當(dāng)． 又一方面，存在另一方面，存在， 因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，從而原不等式的解集為． 2．已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性； (2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范疇． 解析：易得在,在 (2)①若則,在定義域內(nèi)最多一種零點(diǎn),不合． 因此且 此時(shí)，一方面使；另一方面，注意到(證略) ． 于是，使． 根據(jù)零點(diǎn)定理以及的單調(diào)性,

14、可知在和上各有一種零點(diǎn)， 因此的取值范疇是． 3．設(shè)函數(shù)若對(duì)任意的成立，求的取值范疇． 解：． 1.當(dāng)時(shí),； 2.當(dāng)時(shí), ， 因此使得且在內(nèi)與題設(shè)不符. 因此． 第三講 賦值的若干典型問題 例1（.新課標(biāo)（1）文21）設(shè)函數(shù)． （1）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）略． 解：（1）． ①當(dāng)時(shí),，故無零點(diǎn)； ②當(dāng)時(shí)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，記為． 因此在上，因此．又． 【下一步如何尋找正數(shù)使?】 途徑一(直觀放縮法) 【分析】假定，故應(yīng)將鎖定在右側(cè)一點(diǎn)點(diǎn)， 直觀嘗試后，形成如下的—— 詳解：取，，根據(jù)零點(diǎn)定理， 由,． 途徑二(放縮求解法)

15、【分析】時(shí)于是當(dāng)，即時(shí)， ． 詳解：時(shí)，于是當(dāng)時(shí)， ，?。鶕?jù)零點(diǎn)定理， 由,． 例2（.全（1）理21）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． （Ⅰ）求的取值范疇；（Ⅱ）略． 解析：（Ⅰ）(參數(shù)掃描) ． 若，當(dāng)，當(dāng)． 一方面,當(dāng)時(shí)； 另一方面,當(dāng)時(shí)—— 途徑一(標(biāo)解)存在且，使， 因此在兩側(cè)，各有一種零點(diǎn)，滿足題意． 途徑二【分析：當(dāng)時(shí),能對(duì)起主導(dǎo)作用的那一項(xiàng)顯然是，而變化幅度不大，是比較抱負(fù)的放縮目的．時(shí), 】 詳解：時(shí), ，今取，因此在兩側(cè)， 各有一種零點(diǎn)，滿足題意． 若，當(dāng)，因此有兩零點(diǎn)時(shí)，有兩零點(diǎn) 有兩零點(diǎn)，但 因此不存在兩個(gè)零點(diǎn)．

16、綜上，的取值范疇是． 【注】順便指出,在同解變形中,巧用升降格,可簡(jiǎn)化解題過程． (證明:) 例3（全（2）文21）設(shè)函數(shù)． （1）略；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范疇． 解：（2）．顯然（否則若，注意到，則）． 【下一步探求的范疇：令恒成立 ，，因此，，因此】，記，，因此即 ，．于是： 當(dāng)時(shí)，，，，從而； 當(dāng)時(shí)， 途徑一【分析當(dāng)時(shí)， ．】 詳解：當(dāng)時(shí)，注意到(證略) ， 今取，不合題意.綜上，． 途徑二：，又，故在上有唯一零點(diǎn)， 且在上，因此不合題意． 綜上． 例4 （省競(jìng)賽集訓(xùn)題）設(shè)數(shù)列的

17、通項(xiàng),證明:． 【分析：聯(lián)想超越不等式不不小于…有①；②等． 然后用分項(xiàng)比較法,將待證式兩邊均表達(dá)為從起持續(xù)項(xiàng)的和： 整合并分解左邊：； 同步將右邊化整為零:． 根據(jù)②，因此原式獲證】 證明：易證，令 ． 【跟蹤訓(xùn)練】 1．設(shè)函數(shù).若方程有解，求的取值范疇． 解：方程有解函數(shù)有零點(diǎn)． ． ①時(shí)，（證略）因此無零點(diǎn)； ②時(shí)，（觀測(cè)?。鞠乱徊椒治觯喝绾钨x值,使得？ 當(dāng)時(shí),闡明:若不能保證 解方程所得到的，則改用兩點(diǎn)式,即（參閱(二)例2分析3）】 又且， 由零點(diǎn)定理，有零點(diǎn)． ③時(shí)，因此令（易知是的最大值點(diǎn)） 【下一步分析:令,無零點(diǎn)．于是剩余又

18、經(jīng)觀測(cè)，因此有零點(diǎn)】 ③1.)時(shí),無零點(diǎn)； ③2.) 時(shí)，又經(jīng)觀測(cè)，因此有零點(diǎn)． 綜上所述或． 2．為正常數(shù)，函數(shù)． 證明：使得當(dāng)時(shí)，恒成立． 證法一易證 (證略)又用代 而.今取， 當(dāng)時(shí),由得,再由.獲證． 證法二易證時(shí)在 (證略) 于是，(1)當(dāng)時(shí),，結(jié)論成立．(2)當(dāng)時(shí)，取 (顯然) 當(dāng)時(shí),，結(jié)論仍然成立． 綜上所述使得當(dāng)時(shí), 恒成立． 3．已知，（）． （1）（2）略 （3）當(dāng)，，若對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范疇． （3）略解：易得在上遞增，在上遞減，故， 又，，因此的取值范疇（即值域）為． 而過定點(diǎn)，． 【分析：分別令（無解），……】 當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)減，不合題意； 當(dāng)時(shí)，令得:，且當(dāng)，；時(shí)，，并注意到從而有． 【下一步分析:需證明在及上的取值范疇均應(yīng)涉及，因此兩段上的“賦值”回避不了．】 事實(shí)上，一方面在上，須； 另一方面在上，存在使， 因此當(dāng)時(shí)，在兩個(gè)單調(diào)區(qū)間上的取值范疇均涉及， 因此，必存在，，使. 故所求取值范疇是．