函數(shù)中的賦值問題 第一講 賦值的意義 函數(shù)賦值是一種熱門的話題，賦值之因此“熱”，是由于它波及到函數(shù)領(lǐng)域的方方面面： 討論函數(shù)零點的個數(shù)(涉及零點的存在性，唯一性)；求含參函數(shù)的極值或最值；證明一類超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及多種題型中的參數(shù)取值范疇等等． 然而時下，在相稱一部分學(xué)生的答卷中，甚或在某些地區(qū)的模擬試卷的原則解答中，一種以極限語言或極限觀點替代賦值論證的“素描式”解題現(xiàn)象應(yīng)予關(guān)注和糾正． 1.從一道調(diào)研試題的原則解答說起 題目1 已知函數(shù)． （1）略；（3）略； （2）設(shè)，若在上有且只有一種零點，求的取值范疇． 解：（2），則方程即有唯一解． 記，，令． ①時，單調(diào)減， 因此的取值范疇是 (?) ②時…，的取值范疇是； ③時，單調(diào)減，且恒正，因此的取值范疇是． 因此當或時，有且只有一種零點，故的取值范疇是或． 質(zhì)疑： 1．“”與“的取值范疇是”與否等價？ 2．也許解答的潛意識是，那么其根據(jù)是什么? 作為指揮棒的省考、國考又是如何解決有關(guān)問題的呢? 答：一種中心：參數(shù)全程掃描；一種基本點：賦值絲絲入扣． 2．真題預(yù)測探究 題目2（江蘇20）設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)． （1）略； （2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論． （2）解：由在上單調(diào)增，得 (過程略) ． 時，， 而，且圖像不間斷， 根據(jù)零點定理，有且只有一種零點． 【分析時，由(極大值點)，】 時,．令． 且， 因此是的極大值點，也是最大值點， 因此，當且僅當． 故有唯一零點． 時，令．列表： 0 因此． ①在上，且單調(diào)，因此有且只有一種零點； ②在上，顯然，注意到的結(jié)論， 因此，同理有且只有一種零點． 由①②有兩個零點． 綜上所述，當或時，有1個零點；當時，有2個零點． 【注1】本題第（2）問“時”賦值點的形成過程及其多元性: ①在上，由于，且為常數(shù)，因此理應(yīng)成為直觀賦值點的首選． ②在上【難點！】根據(jù)單調(diào)性，直觀賦值點應(yīng)在右側(cè)充足遠處．嘗試，失?。? 表白該賦值點不夠遠，再改試，成了！(過程如上) ．顯然，賦值點不唯一． 在上，也可考慮(標解)， 或（均不及賦值簡便）． 在上也可考慮，． 還可考慮(標解)，并注意屆時，(證略) ，． 【注2】在本題結(jié)論的牽引下，區(qū)間上的三個賦值點一脈相承， 井然有序：由于(當且僅當，等號成立)，因此． 以上賦值均為先直觀，后放縮．其特點是見效快，但有時有點懸，解、證風(fēng)險大．因此，當直觀賦值受挫時，不妨通過放縮，無懸念地求出賦值點，實現(xiàn)解(證)目的． 現(xiàn)以區(qū)間為例 ——— 【分析：在右側(cè)充足遠處，但愿存在，使，為此，應(yīng)意識到在的體現(xiàn)式中，對起主導(dǎo)作用的那一項是，不適宜容易放縮，放縮的目的應(yīng)鎖定． 根據(jù)()(證略) ，，不妨取， 但此路受挫，故須調(diào)節(jié)放縮的尺度】 思路一：由本題結(jié)論，． ． 詳解：由本題結(jié)論 在上，存在 (如下略)． 思路二：由時，． 的任意性給賦值提供了更為寬松的選擇空間： ， 令． 不妨令． 詳解：(證略) ，． 今取(如下略)． 【跟蹤訓(xùn)練】 1．思考并解答本講題目1(2)； 2．思考函數(shù)賦值問題有哪些根據(jù)和措施． 第二講 賦值的根據(jù)和措施 1．賦值的理論根據(jù)： 1)不等式的基本性質(zhì)以及某些簡樸代數(shù)方程、不等式的求解． 2)零點存在定理.基本模式是已知的符號，探求賦值點(假定)使得與異號，則在上存在零點． 3)某些基本的超越不等式，如： 1．；． 2．時，． 3．時，． 4．． 【注】應(yīng)用上述不等式,一般須給出證明． 2．賦值的應(yīng)對方略： 2.1賦值的措施： 直觀放縮法．其形態(tài)是先直觀嘗試，后放縮證明，其特點是見效快，但有時有點懸，解、證風(fēng)險大．（參閱上節(jié)“真題預(yù)測探究”） 放縮求解法．其形態(tài)是先適度放縮，然后通過解不等式或方程求出賦值點，其特點是穩(wěn)妥、可靠，但有時，目的放縮有點難．（參閱上節(jié)“真題預(yù)測探究”中的思路一，思路二） 2.2賦值點遴選要領(lǐng)：遴選賦值點須做到三個保證，三個優(yōu)先 ——— 三個保證： （1）保證參數(shù)能取到它的一切值；（2）保證賦值點落在規(guī)定區(qū)間內(nèi)；（3）保證運算可行． 三個優(yōu)先： （1）優(yōu)先常數(shù)賦值點；（2）優(yōu)先借助已有極值求賦值點(參閱南通一模)； （3）優(yōu)先簡樸運算，如，等． 2.3放縮的分類及其目的：放縮于賦值，如影隨形，唇齒相依． （1）依放縮的根據(jù)劃分，可分為無條件放縮和條件放縮兩類．前者如，，等；后者如時，．時，等； （2）依賦值點的個數(shù)劃分，可分為單點式和兩點式．前者以解方程為歸宿；后者以解不等式為歸宿，從某種意義上說，后者是前者受挫時的應(yīng)急之舉． 一般情形下，放縮的目的應(yīng)鎖定于對函數(shù)的變化趨勢起不了主導(dǎo)作用的那些項；但有些問題中，很難界定“主導(dǎo)”與非“主導(dǎo)”，此時放縮的尺度取決于對題目中多種因素的綜合考量———這正是賦值的難點． 例1（南師附中期中考試）已知函數(shù)． （1）略；（2）略； （3）若曲線：在點處的切線與有且只有一種公共點，求正數(shù)的取值范疇． 解析：（3）易得切線，代入整頓得：，題設(shè)等價于函數(shù)有且只有一種零點，，其中．【下一步分析：一方面討論恒成立（不也許），及恒成立恒成立．】 當，即時，由， 且當時，，；當時，，． 因此是唯一的極小值點，也是最小值點． 且，故滿足題意． 即時．由，． 【下一步分析：應(yīng)比較兩零點與的大小．】 即時，， ，又，因此滿足題設(shè)． ，即時，當，，，因此． 【接著探究：在 上，，因此在右側(cè)充足遠處， 但愿存在，使，此外應(yīng)意識到對起主導(dǎo)作用 的那一項應(yīng)當是（該項不適宜容易放縮），故放縮的重要目的 是幾乎可以忽視不計的“”，事實上，當時，， 因此】 詳解：又存在，因此， ． 在內(nèi)，存在零點，因此至少有兩個零點，不合題意． ，即時，在上，，，因此． 【接著探究：在上，，因此在右側(cè)充足近處， 但愿存在，使．此外應(yīng)意識到對起主導(dǎo)作用 的那一項應(yīng)當是（因此不適宜容易放縮）故放縮的重要目的 是幾乎可以忽視不計的“”，事實上，當時，，，因此．】 詳解：又存在，并注意到，，，因此在內(nèi)存在零點， 從而至少有兩個零點，不合題意． 綜上所述，或． 【附證：：】 例2（上節(jié)“題目1（2）”）已知函數(shù)． （1）（3）略． （2）設(shè)，若在上有且只有一種零點，求的取值范疇． 正解：(參數(shù)掃描) 依題意有唯一零點，于是： 當，不合； 當有唯一零點，符合； 當一方面． 【下一步，分析1：用直觀放縮法嘗試使，顯然 由于，因此只要令且充足小，則，從而 ．若為某個負常數(shù),因負數(shù)的任意性,無法保證，故須與 有關(guān)．不妨改試】 另一方面并注意到(證略)． ，因此在內(nèi)有唯一零點． 于是時，須無零點，而，因此，即． 記，令當； 當，因此，因此． 綜上或． 【注】將零點問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題從而使“分參”不依賴于形而凸顯其嚴密性． 【下一步分析2：用放縮求解法求使，顯然． 事實上時,,解之】 另一方面,使且時， 因此在內(nèi)有唯一零點． (如下過程同上) 【下一步分析3：仍用放縮求解法， 時，，取】 另一方面,使且時，因此在內(nèi)有唯一零點． (如下過程同上) 例3 已知，討論的零點的個數(shù)． 解：記的零點的個數(shù)為．的定義域為，， 令，當時，,；當時，，， 因此是的唯一極小值點也是最小值點，即． 當，即時，,故． 當，即時，． 當，即時，(如右圖所示) ⅰ.時，在上,在上， 【途徑一】存在，， 由零點定理及的單調(diào)性． 【途徑二：通過放縮，求解賦值點當時, 】 當且時，，同理． ⅱ.時，由，因此． ⅲ.時，．一方面，且，另一方面 【途徑一：根據(jù)單調(diào)性，當時，應(yīng)有，不妨直觀嘗試】 注意屆時，（證略），存在， ，又圖像在定義域內(nèi)不間斷， 因此在和內(nèi)，各有一種零點，故 【途徑二(借助原函數(shù)極值求賦值點)】 已證在上，且存在， ．同理 綜上所述：當時，沒有零點；當或時，有1個零點； 當時，有2個零點． 【注】學(xué)生也許浮現(xiàn)的認知誤區(qū)是：當時，（或）． 【跟蹤訓(xùn)練】 1．解不等式：，其中為自然對數(shù)的底數(shù)． 解析：記，則原不等式等價于， 令， ． 當；當． 又一方面，存在另一方面，存在， 因此當且僅當時，從而原不等式的解集為． 2．已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性； (2)若有兩個零點,求的取值范疇． 解析：易得在,在 (2)①若則,在定義域內(nèi)最多一種零點,不合． 因此且 此時，一方面使；另一方面，注意到(證略) ． 于是，使． 根據(jù)零點定理以及的單調(diào)性,可知在和上各有一種零點， 因此的取值范疇是． 3．設(shè)函數(shù)若對任意的成立，求的取值范疇． 解：． 1.當時,； 2.當時, ， 因此使得且在內(nèi)與題設(shè)不符. 因此． 第三講 賦值的若干典型問題 例1（.新課標（1）文21）設(shè)函數(shù)． （1）討論零點的個數(shù)；（2）略． 解：（1）． ①當時,，故無零點； ②當時零點的個數(shù)即零點的個數(shù)，記為． 因此在上，因此．又． 【下一步如何尋找正數(shù)使?】 途徑一(直觀放縮法) 【分析】假定，故應(yīng)將鎖定在右側(cè)一點點， 直觀嘗試后，形成如下的—— 詳解：取，，根據(jù)零點定理， 由,． 途徑二(放縮求解法)【分析】時于是當，即時， ． 詳解：時，于是當時， ，?。鶕?jù)零點定理， 由,． 例2（.全（1）理21）已知函數(shù)有兩個零點． （Ⅰ）求的取值范疇；（Ⅱ）略． 解析：（Ⅰ）(參數(shù)掃描) ． 若，當，當． 一方面,當時； 另一方面,當時—— 途徑一(標解)存在且，使， 因此在兩側(cè)，各有一種零點，滿足題意． 途徑二【分析：當時,能對起主導(dǎo)作用的那一項顯然是，而變化幅度不大，是比較抱負的放縮目的．時, 】 詳解：時, ，今取，因此在兩側(cè)， 各有一種零點，滿足題意． 若，當，因此有兩零點時，有兩零點 有兩零點，但 因此不存在兩個零點． 綜上，的取值范疇是． 【注】順便指出,在同解變形中,巧用升降格,可簡化解題過程． (證明:) 例3（全（2）文21）設(shè)函數(shù)． （1）略；（2）當時，，求的取值范疇． 解：（2）．顯然（否則若，注意到，則）． 【下一步探求的范疇：令恒成立 ，，因此，，因此】，記，，因此即 ，．于是： 當時，，，，從而； 當時， 途徑一【分析當時， ．】 詳解：當時，注意到(證略) ， 今取，不合題意.綜上，． 途徑二：，又，故在上有唯一零點， 且在上，因此不合題意． 綜上． 例4 （省競賽集訓(xùn)題）設(shè)數(shù)列的通項,證明:． 【分析：聯(lián)想超越不等式不不小于…有①；②等． 然后用分項比較法,將待證式兩邊均表達為從起持續(xù)項的和： 整合并分解左邊：； 同步將右邊化整為零:． 根據(jù)②，因此原式獲證】 證明：易證，令 ． 【跟蹤訓(xùn)練】 1．設(shè)函數(shù).若方程有解，求的取值范疇． 解：方程有解函數(shù)有零點． ． ①時，（證略）因此無零點； ②時，（觀測?。鞠乱徊椒治觯喝绾钨x值,使得？ 當時,闡明:若不能保證 解方程所得到的，則改用兩點式,即（參閱(二)例2分析3）】 又且， 由零點定理，有零點． ③時，因此令（易知是的最大值點） 【下一步分析:令,無零點．于是剩余又經(jīng)觀測，因此有零點】 ③1.)時,無零點； ③2.) 時，又經(jīng)觀測，因此有零點． 綜上所述或． 2．為正常數(shù)，函數(shù)． 證明：使得當時，恒成立． 證法一易證 (證略)又用代 而.今取， 當時,由得,再由.獲證． 證法二易證時在 (證略) 于是，(1)當時,，結(jié)論成立．(2)當時，取 (顯然) 當時,，結(jié)論仍然成立． 綜上所述使得當時, 恒成立． 3．已知，（）． （1）（2）略 （3）當，，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得，求實數(shù)的取值范疇． （3）略解：易得在上遞增，在上遞減，故， 又，，因此的取值范疇（即值域）為． 而過定點，． 【分析：分別令（無解），……】 當時，在上，，單調(diào)減，不合題意； 當時，令得:，且當，；時，，并注意到從而有． 【下一步分析:需證明在及上的取值范疇均應(yīng)涉及，因此兩段上的“賦值”回避不了．】 事實上，一方面在上，須； 另一方面在上，存在使， 因此當時，在兩個單調(diào)區(qū)間上的取值范疇均涉及， 因此，必存在，，使. 故所求取值范疇是．