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______________________________________________________________________________________________________________ 《一元二次方程》全章教案 單元要點(diǎn)分析 教材內(nèi)容 1．本單元教學(xué)的主要內(nèi)容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程應(yīng)用題． 2．本單元在教材中的地位與作用． 一元二次方程是在學(xué)習(xí)《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎(chǔ)之上學(xué)習(xí)的，它也是一種數(shù)學(xué)建模的方法．學(xué)好一元二次方程是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的，是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基工程．應(yīng)該說，一元二次方程是本書的重點(diǎn)內(nèi)容． 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 了解一元二次方程及有關(guān)概念；掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依據(jù)實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法；應(yīng)用熟練掌握以上知識(shí)解決問題． 2．過程與方法 （1）通過豐富的實(shí)例，讓學(xué)生合作探討，老師點(diǎn)評(píng)分析，建立數(shù)學(xué)模型．根據(jù)數(shù)學(xué)模型恰如其分地給出一元二次方程的概念． （2）結(jié)合八冊(cè)上整式中的有關(guān)概念介紹一元二次方程的派生概念，如二次項(xiàng)等． （3）通過掌握缺一次項(xiàng)的一元二次方程的解法──直接開方法，導(dǎo)入用配方法解一元二次方程，又通過大量的練習(xí)鞏固配方法解一元二次方程． （4）通過用已學(xué)的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）導(dǎo)出解一元二次方程的求根公式，接著討論求根公式的條件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通過復(fù)習(xí)八年級(jí)上冊(cè)《整式》的第5節(jié)因式分解進(jìn)行知識(shí)遷移，解決用因式分解法解一元二次方程，并用練習(xí)鞏固它． （6）提出問題、分析問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并用該模型解決實(shí)際問題． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 經(jīng)歷由事實(shí)問題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過程，使同學(xué)們體會(huì)到通過一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型；經(jīng)歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程，使同學(xué)們體會(huì)到轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；經(jīng)歷設(shè)置豐富的問題情景，使學(xué)生體會(huì)到建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程，從而更好地理解方程的意義和作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣． 教學(xué)重點(diǎn) 1．一元二次方程及其它有關(guān)的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決這個(gè)問題． 教學(xué)難點(diǎn) 1．一元二次方程配方法解題． 2．用公式法解一元二次方程時(shí)的討論． 3．建立一元二次方程實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；方程解與實(shí)際問題解的區(qū)別． 教學(xué)關(guān)鍵 1．分析實(shí)際問題如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型． 2．用配方法解一元二次方程的步驟． 3．解一元二次方程公式法的推導(dǎo)． 課時(shí)劃分 本單元教學(xué)時(shí)間約需16課時(shí)，具體分配如下： 22．1 一元二次方程 2課時(shí) 22．2 降次──解一元二次方程 7課時(shí) 22．3 實(shí)際問題與一元二次方程 5課時(shí) 發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 2課時(shí) 第1課時(shí) 22．1 一元二次方程 教學(xué)內(nèi)容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念． 教學(xué)目標(biāo) 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡(jiǎn)單題目． 1．通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義． 2．一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念． 3．解決一些概念性的題目． 4．通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情． 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題． 2．難點(diǎn)關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：列方程． 問題（1）古算趣題：“執(zhí)竿進(jìn)屋” 笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。 有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對(duì)兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。 借問竿長(zhǎng)多少數(shù)，誰人算出我佩服。 如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個(gè)門的寬為_______尺，長(zhǎng)為_______尺， 根據(jù)題意，得________． 整理、化簡(jiǎn)，得：__________． 問題（2）如圖，如果，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)． 如果假設(shè)AB=1，AC=x，那么BC=________，根據(jù)題意，得：________． 整理得：_________． 問題（3）有一面積為54m2的長(zhǎng)方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？ 如果假設(shè)剪后的正方形邊長(zhǎng)為x，那么原來長(zhǎng)方形長(zhǎng)是________，寬是_____，根據(jù)題意，得：_______． 整理，得：________． 老師點(diǎn)評(píng)并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理． 二、探索新知 學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)口答下面問題． （1）上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？ （2）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？ （3）有等號(hào)嗎？還是與多項(xiàng)式一樣只有式子？ 老師點(diǎn)評(píng)：（1）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號(hào)，是方程． 因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式． 一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)． 例1．將方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)． 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等． 解：略 注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號(hào). 例2．（學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)二至三位同學(xué)上臺(tái)演練） 將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)． 分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式． 解：略 三、鞏固練習(xí) 教材P32 練習(xí)1、2 補(bǔ)充練習(xí):判斷下列方程是否為一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0 四、應(yīng)用拓展 例3．求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程． 分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17≠0即可． 證明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程． ? 練習(xí): 1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？ 2.當(dāng)m為何值時(shí),方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是關(guān)于的一元二次方程 五、歸納小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用． 六、布置作業(yè) 1．教材P34 習(xí)題22．1 1(2)(4)(6)、2． 2．選用作業(yè)設(shè)計(jì)．補(bǔ)充:若x2-2xm-1+3=0是關(guān)于x的一元二次方程,求m的值 作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 2．方程2x2=3（x-6）化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p為任意實(shí)數(shù) 二、填空題 1．方程3x2-3=2x+1的二次項(xiàng)系數(shù)為________，一次項(xiàng)系數(shù)為_________，常數(shù)項(xiàng)為_________． 2．一元二次方程的一般形式是__________． 3．關(guān)于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是________． 三、綜合提高題 1．a(chǎn)滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？ 2．關(guān)于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？ 3．一塊矩形鐵片，面積為1m2，長(zhǎng)比寬多3m，求鐵片的長(zhǎng)，小明在做這道題時(shí)，是這樣做的： 設(shè)鐵片的長(zhǎng)為x，列出的方程為x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道鐵片的長(zhǎng)到底是多少，下面是他的探索過程： 第一步： x 1 2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________0，4a2＞0, 當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)≥0 ∴（x+）2=()2 直接開平方，得：x+=± 即x= ∴x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過的六中運(yùn)算，加、減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。) （2）這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根． 例1．用公式法解下列方程． （1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可． 補(bǔ):（5）（x-2）（3x-5）=0 三、鞏固練習(xí) 教材P42 練習(xí)1．（1）、（3）、（5）或(2) 、(4) 、(6) 四、應(yīng)用拓展 例2．某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列問題． （1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請(qǐng)求出． 你能解決這個(gè)問題嗎？ 分析：能．（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+1=2，同時(shí)還要滿足（m+1）≠0． （2）要使它為一元一次方程，必須滿足: ①或②或③ 解：（1）存在．根據(jù)題意，得：m2+1=2 m2=1 m=±1 當(dāng)m=1時(shí)，m+1=1+1=2≠0 當(dāng)m=-1時(shí)，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去） ∴當(dāng)m=1時(shí)，方程為2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 x= x1=，x2=- 因此，該方程是一元二次方程時(shí)，m=1，兩根x1=1，x2=-． （2）存在．根據(jù)題意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0 因?yàn)楫?dāng)m=0時(shí)，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0滿足題意． ②當(dāng)m2+1=0，m不存在． ③當(dāng)m+1=0，即m=-1時(shí)，m-2=-3≠0 所以m=-1也滿足題意． 當(dāng)m=0時(shí)，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 當(dāng)m=-1時(shí)，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=- 因此，當(dāng)m=0或-1時(shí)，該方程是一元一次方程，并且當(dāng)m=0時(shí)，其根為x=-1；當(dāng)m=-1時(shí)，其一元一次方程的根為x=-． 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： （1）求根公式的概念及其推導(dǎo)過程； （2）公式法的概念； （3）應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟:1）將所給的方程變成一般形式，注意移項(xiàng)要變號(hào)，盡量讓a>0.2)找出系數(shù)a,b,c,注意各項(xiàng)的系數(shù)包括符號(hào)。3)計(jì)算b2-4ac，若結(jié)果為負(fù)數(shù)，方程無解，4）若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果。 （4）初步了解一元二次方程根的情況． 六、布置作業(yè) 1．教材P45 復(fù)習(xí)鞏固4． 2．選用作業(yè)設(shè)計(jì): 一、選擇題 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）． A．x= B．x= C．x= D．x= 2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）． A．x1=，x2= B．x1=6，x2= C．x1=2，x2= D．x1=x2=- 3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（ ）． A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2 二、填空題 1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，條件是________． 2．當(dāng)x=______時(shí)，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4． 3．若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_____． 三、綜合提高題 1．用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0． 2．設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，（1）試推導(dǎo)x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代數(shù)式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值． 3．某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民一個(gè)月用電量不超過A千瓦時(shí)，那么這戶居民這個(gè)月只交10元電費(fèi)，如果超過A千瓦時(shí)，那么這個(gè)月除了交10元用電費(fèi)外超過部分還要按每千瓦時(shí)元收費(fèi)． （1）若某戶2月份用電90千瓦時(shí)，超過規(guī)定A千瓦時(shí)，則超過部分電費(fèi)為多少元？（用A表示） （2）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況 月份 用電量（千瓦時(shí)） 交電費(fèi)總金額（元） 3 80 25 4 45 10 根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A值為多少？ 課后反思: 第7課時(shí) 22.2.4 判別一元二次方程根的情況 教學(xué)內(nèi)容 用b2-4ac大于、等于0、小于0判別ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況及其運(yùn)用． 教學(xué)目標(biāo) 掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不等的實(shí)根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）沒實(shí)根，反之也成立；及其它們關(guān)系的運(yùn)用． 通過復(fù)習(xí)用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一題，分析它們根的情況，從具體到一般，給出三個(gè)結(jié)論并應(yīng)用它們解決一些具體題目． 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：b2-4ac>0一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；b2-4ac=0一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)；b2-4ac<0一元二次方程沒有實(shí)根． 2．難點(diǎn)與關(guān)鍵 從具體題目來推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情況與根的情況的關(guān)系． 教具、學(xué)具準(zhǔn)備 小黑板 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）用公式法解下列方程． （1）2x2-3x=0 （2）3x2-2x+1=0 （3）4x2+x+1=0 老師點(diǎn)評(píng)，（三位同學(xué)到黑板上作）老師只要點(diǎn)評(píng)（1）b2-4ac=9>0，有兩個(gè)不相等的實(shí)根；（2）b2-4ac=12-12=0，有兩個(gè)相等的實(shí)根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程沒有實(shí)根. 二、探索新知 方程 b2-4ac的值 b2-4ac的符號(hào) x1、x2的關(guān)系 （填相等、不等或不存在） 2x2-3x=0 3x2-2x+1=0 4x2+x+1=0 請(qǐng)觀察上表，結(jié)合b2-4ac的符號(hào)，歸納出一元二次方程的根的情況。證明你的猜想。 從前面的具體問題，我們已經(jīng)知道b2-4ac>0（<0，=0）與根的情況，現(xiàn)在我們從求根公式的角度來分析： 求根公式：x=，當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，等于一個(gè)具體數(shù)，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根．當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，根據(jù)平方根的意義=0，所以x1=x2=，即有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，負(fù)數(shù)沒有平方根，所以沒有實(shí)數(shù)解． 因此，（結(jié)論）（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根即x1=，x2=． （2）當(dāng)b-4ac=0時(shí)，一元