2018-2019學年高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 4.2.1 實際問題中導數(shù)的意義課件 北師大版選修1 -1.ppt
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2導數(shù)在實際問題中的應用2.1實際問題中導數(shù)的意義,,第四章導數(shù)應用,學習導航,,第四章導數(shù)應用,1.功與功率在物理學中,通常稱力在單位時間內(nèi)做的功為功率,它是_____________________的導數(shù).2.降雨強度在氣象學中,通常把單位時間內(nèi)的降雨量稱為降雨強度,它是____________________的導數(shù).,功W對時間t,降雨量對時間,3.邊際成本在經(jīng)濟學中,通常把生產(chǎn)成本y關于產(chǎn)量x的函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)稱為邊際成本.4.瞬時速度物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度,它是_______________的導數(shù);速度對時間的導數(shù)是___________.5.線密度單位長度的物體質量稱為線密度,它是__________________的導數(shù).,位移s對時間t,加速度,質量關于長度,6.把實際問題抽象為數(shù)學問題,逐步把數(shù)學知識應用到生產(chǎn)、生活的實際中去,形成應用數(shù)學的意識,培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.處理這類問題,通常分為三步:①閱讀理解,即讀懂題目中的文字敘述所反映的實際背景,領悟其中的數(shù)學本質,弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學含義.②根據(jù)各個量的關系,進行數(shù)學化設計,即建立目標函數(shù),將實際問題轉化為數(shù)學問題.③進行標準化設計,即轉化為常規(guī)的函數(shù)問題或其他常規(guī)的數(shù)學問題加以解決.,7.解應用題首先要在閱讀材料、理解題意的基礎上把實際問題抽象成數(shù)學問題,就是從實際問題出發(fā),抽象概括,利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型,再利用數(shù)學知識對數(shù)學模型進行分析、研究,得到數(shù)學結論,然后再把數(shù)學結論返回到實際問題中去,其思路如圖所示.,①審題:閱讀理解文字所表達的含義,分清條件和結論,找出問題中各量之間的關系;②建模:將文字語言轉化成數(shù)學語言,利用數(shù)學知識,建立相應的數(shù)學模型;③解模:把數(shù)學問題化歸為常規(guī)問題,選擇合適的數(shù)學方法求解;④對結果進行驗證評估:定性、定量分析,作出正確的判斷,確定其答案.,1.一個物體的運動方程為s=1-t+t2,其中s的單位是米,t的單位是秒,那么該物體在3秒末的瞬時速度是()A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒解析:s′=-1+2t,則s′(3)=5,即該物體在3秒末的瞬時速度是5米/秒.,C,2.一次降雨過程中,降雨量y是時間t的函數(shù),用y=f(t)表示,則f′(10)表示()A.t=10時的降雨強度B.t=10時的降雨量C.t=10時的時間D.t=10時的溫度解析:f′(t)表示t時刻的降雨強度.,A,3.某公司的盈利y(元)和時間x(天)的函數(shù)關系是y=f(x),假設f′(x)>0恒成立,且f′(10)=10,f′(20)=1,則這些數(shù)據(jù)說明第20天與第10天比較()A.公司已經(jīng)虧損B.公司的盈利在增加,增加的幅度變大C.公司在虧損且虧損幅度變小D.公司的盈利在增加,但增加的幅度變小解析:導數(shù)為正說明盈利是增加的,導數(shù)變小說明增加的幅度變小了,但還是增加的.,D,,導數(shù)在物理中的應用,某質點的運動方程為s=2t2+3t,其中s是位移(單位:m),t是時間(單位:s).(1)求t從1s變到3s時,位移s關于時間t的平均變化率,并解釋它的實際意義;(2)求s′(1),s′(2),并解釋它們的實際意義.(鏈接教材第四章2.1例1),,,1.電流通過一導線,從0時刻到t時刻通過該導線橫斷面的電荷量Q與t有如下的函數(shù)關系:Q=4t2+t+1(Q的單位:C;t的單位:s),求t=3時的瞬時電流.解:∵Q=4t2+t+1,∴Q′(t)=8t+1.t=3時,Q′(3)=83+1=25(A).,導數(shù)在日常生活中的應用,方法歸納(1)要理解導數(shù)的實際意義,首先必須正確理解函數(shù)表達式的實際意義.(2)導數(shù)的實際意義與變量表示的實際含義有關,同一個函數(shù)表達式,其導數(shù)的實際意義因變量實際含義的不同而不同.,,,,導數(shù)在產(chǎn)量與成本中的應用,,方法歸納導數(shù)在經(jīng)濟生活中應用時,要準確理解一些常用經(jīng)濟學概念,如成本、利潤、銷售量等,才能正確解釋其導數(shù)的實際意義.,在高臺跳水運動中,ts時運動員相對于水面的高度是h(t)=-4.9t2+6.5t+10(單位:m),求高臺跳水運動中運動員在t=1s時的瞬時速度,并解釋此時的運動狀況.[解]h′(t)=-9.8t+6.5,∴h′(1)=-3.3.故運動員在t=1s時的瞬時速度是-3.3m/s,此時運動員向下以3.3米/秒的速度運動.,[錯因與防范](1)對該問題求得當t=1s時的瞬時速度為-3.3m/s,但由于對其中的“負”號物理意義理解不明,易回答為正值而出錯.(2)瞬時速度既有大小也有方向,如果是負值,不能回答為正值,它表明了運動速度的大小和方向.(3)利用導數(shù)解決物理問題,關鍵是要熟悉相關的物理概念、公式,并聯(lián)系導數(shù)的物理意義進行求解.,3.一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里,它的溫度會逐漸下降,溫度T(單位:℃)與時間t(單位:min)之間的關系由函數(shù)T=f(t)給出,請問:(1)f′(t)的符號是什么?為什么?(2)f′(3)=-4的實際意義是什么?解:(1)由題意可知f′(t)<0,所以f′(t)為負數(shù),因為紅茶溫度在下降.(2)f′(3)=-4的實際意義是:t=3min時,溫度的瞬時變化率為-4℃/min,即3min附近時,紅茶約以4℃/min的速度下降.,如圖,某工廠擬建一座平面圖為矩形,且面積為200m2的三級污水處理池,由于地形限制,長、寬都不能超過16m,如果池外周壁建造單價為每米400元,中間兩條隔墻建造單價為每米248元,池底建造單價為每平方米80元(池壁厚度忽略不計,且池無蓋).(1)寫出總造價y(元)與污水處理池長x(m)的函數(shù)關系式,并指出其定義域;(2)求(1)中函數(shù)的導數(shù),并寫出導函數(shù)的定義域.,[感悟提高](1)恰當設出自變量和因變量并正確確定定義域,尋找它們之間的關系是此題關鍵點和難點.(2)函數(shù)在閉區(qū)間的端點無導數(shù).,- 配套講稿:
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