《8.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型【課堂優(yōu)講】》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《8.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型【課堂優(yōu)講】（31頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1課程章節(jié)2課程章節(jié)3課程章節(jié)從前面第七章的討論可以知道，并不是對(duì)于每從前面第七章的討論可以知道，并不是對(duì)于每一個(gè)線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣一個(gè)線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣成為對(duì)角形成為對(duì)角形.下面先介紹一下，在適當(dāng)選擇的基下下面先介紹一下，在適當(dāng)選擇的基下,一般的一個(gè)線性變換能化簡成什么形狀一般的一個(gè)線性變換能化簡成什么形狀.在這一節(jié)，我們的討論限制在復(fù)數(shù)域中在這一節(jié)，我們的討論限制在復(fù)數(shù)域中.4課程章節(jié) tttJ1000010000010000),(，其一般形狀如，其一般形狀如5課程章節(jié))1(21sAAA其中其中iikkiiiiiA111并且并且 1,2,s 中有

2、一些可以相等中有一些可以相等.6課程章節(jié)例如例如i10i,0100001000010000,210021002都是若爾當(dāng)塊，都是若爾當(dāng)塊，是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣.410000041000004000000400000011000001而而7課程章節(jié)1.一級(jí)若爾當(dāng)塊就是一級(jí)矩陣，因此若爾當(dāng)形一級(jí)若爾當(dāng)塊就是一級(jí)矩陣，因此若爾當(dāng)形矩陣中包括對(duì)角矩陣矩陣中包括對(duì)角矩陣.2.注注 意意8課程章節(jié)我們用初等因子的理論來解決若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的我們用初等因子的理論來解決若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算問題計(jì)算問題.首先計(jì)算若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子首先計(jì)算若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子.設(shè)有若爾當(dāng)塊設(shè)有若爾當(dāng)塊nnJ000

3、01000010001000則其初等因子為則其初等因子為(-0)n.9課程章節(jié)考慮它的特征矩陣考慮它的特征矩陣.10000100010000000JE顯然顯然|E-J0|=(-0)n，這就是，這就是 E-J0 的的 n 級(jí)級(jí)行列式因子行列式因子.由于由于 E-J0 有一個(gè)有一個(gè) n-1 級(jí)子式級(jí)子式10課程章節(jié),)1(10001000010001100n所以它的所以它的 n-1 級(jí)行列式因子是級(jí)行列式因子是 1，從而它以下各，從而它以下各級(jí)的行列式因子全是級(jí)的行列式因子全是 1.因此，它的不變因子為因此，它的不變因子為d1()=dn-1()=1,dn()=(-0)n.由此即得，由此即得，E-J

4、0 的初等因子為的初等因子為(-0)n.11課程章節(jié)設(shè)設(shè)sJJJJ21是一個(gè)若爾當(dāng)是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣，形矩陣，.)(,)(,)(2121skskk).,2,1(1000010001000siJiiii其中其中則則J的初等因子為的初等因子為12課程章節(jié)既然既然 Ji 的初等因子是的初等因子是,),2,1()(siiki所以所以 E-Ji 與與iki)(111等價(jià)等價(jià).于是于是skkkJEJEJEJEs212113課程章節(jié)skskk)(11)(11)(112121與與等價(jià)等價(jià).因此，因此，J 的全部初等因子是：的全部初等因子是：.)(,)(,)(2121skskk14課程章節(jié) 2.每個(gè)若爾當(dāng)形矩陣

5、由若爾當(dāng)塊個(gè)數(shù)、各個(gè)若爾每個(gè)若爾當(dāng)形矩陣由若爾當(dāng)塊個(gè)數(shù)、各個(gè)若爾當(dāng)塊的級(jí)數(shù)及對(duì)角線上元素決定，即它的全部初等當(dāng)塊的級(jí)數(shù)及對(duì)角線上元素決定，即它的全部初等因子因子是由它的全部若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的是由它的全部若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的.1.每個(gè)若爾當(dāng)塊完全被它的級(jí)數(shù)每個(gè)若爾當(dāng)塊完全被它的級(jí)數(shù) n 與主對(duì)角線上與主對(duì)角線上元素元素 0 所刻劃，而這兩個(gè)數(shù)都反映在它的初等因子所刻劃，而這兩個(gè)數(shù)都反映在它的初等因子(-0)n 中中.因此，若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一因此，若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定決定.由此可見，若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)由此可見，若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊排列的次序外是被它的初等

6、因子唯一決定塊排列的次序外是被它的初等因子唯一決定.注注 意意15課程章節(jié) (1)設(shè)設(shè) n 級(jí)矩陣級(jí)矩陣 A 的初等因子為的初等因子為skskk)(,)(,)(2121其中其中 1,2,s 可能有相同的，指數(shù)可能有相同的，指數(shù) k1,k2,ks 也可能有相同的也可能有相同的.16課程章節(jié)每一初等因子每一初等因子iki)(對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 于一個(gè)若爾當(dāng)塊于一個(gè)若爾當(dāng)塊).,2,1(1000010001000siJiiii這些若爾當(dāng)塊構(gòu)成一若爾當(dāng)形矩陣這些若爾當(dāng)塊構(gòu)成一若爾當(dāng)形矩陣.21sJJJJ17課程章節(jié)根據(jù)以上的計(jì)算，根據(jù)以上的計(jì)算，J 的初等因子也是的初等因子也是skskk)(,)(,)(2121

7、因?yàn)橐驗(yàn)?J 與與 A 有相同的初等因子，所以它們相似有相同的初等因子，所以它們相似.如果另一若爾當(dāng)形矩陣如果另一若爾當(dāng)形矩陣 J 與與 A 相似，那么相似，那么 J 與與 A 就有相同的初等因子，因此就有相同的初等因子，因此 J 與與 J 除了其中除了其中若爾當(dāng)塊排列的次序外是相同的若爾當(dāng)塊排列的次序外是相同的,由此即得唯一性由此即得唯一性.18課程章節(jié)步驟步驟3 3 得出矩陣得出矩陣A A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.求矩陣求矩陣A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的步驟標(biāo)準(zhǔn)形的步驟步驟步驟1 求求 E-A 的初等因子；的初等因子；步驟步驟2 寫出每一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)塊；寫出每一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)的

8、若爾當(dāng)塊；說說 明明19課程章節(jié) 設(shè)設(shè) 12 級(jí)矩陣級(jí)矩陣A的不變因子是的不變因子是(-1)2(+1)(2+1)2.1,1,1,(-1)2,(-1)2(+1),9 個(gè)個(gè)按定義，它的初等因子有按定義，它的初等因子有 7 個(gè)，即個(gè)，即(-1)2,(-1)2,(-1)2,(+1),(+1),(-i)2,(+i)2.于是其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為于是其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為求矩陣求矩陣A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形.解解20課程章節(jié)1212i10ii10i1111011101110121課程章節(jié)例例2 2 求矩陣求矩陣A A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.解：解：11 233 622 4A 112336224EA 21122

9、0 220 21210 2202 22課程章節(jié)21 000 0202 1 00000 02 A的初等因子為的初等因子為,2.故故 A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為 0 0 00 0 0.0 0 221000 2202 21 000 0200 23課程章節(jié)換成線性變換的語言來說就是：換成線性變換的語言來說就是：24課程章節(jié)在在 V 中任取一組基中任取一組基 1,2,n,設(shè)設(shè)A 在這組基下的矩陣是在這組基下的矩陣是 A.由由存在可存在可逆矩陣逆矩陣 T，使，使 T-1AT 成若爾當(dāng)形矩陣成若爾當(dāng)形矩陣.于是在由于是在由(1,2,n)=(1,2,n)T確定的基確定的基 1,2,n 下，線性變換下，線性

10、變換 A 的矩陣的矩陣就是就是 T-1AT.由定理由定理 1，唯一性是顯然的，唯一性是顯然的.25課程章節(jié)應(yīng)該指出，若爾當(dāng)形矩陣包括對(duì)角矩陣作為特應(yīng)該指出，若爾當(dāng)形矩陣包括對(duì)角矩陣作為特殊情形，那就是由一級(jí)若爾當(dāng)塊構(gòu)成的若爾當(dāng)形矩殊情形，那就是由一級(jí)若爾當(dāng)塊構(gòu)成的若爾當(dāng)形矩陣，由此即得陣，由此即得 26課程章節(jié)例例3 證明矩陣證明矩陣 與對(duì)角陣相似與對(duì)角陣相似.46035 036 1A 27課程章節(jié) 小小 結(jié)結(jié)28課程章節(jié) Smith標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形行列式因子行列式因子不變因子不變因子初等因子初等因子Jordan塊塊29課程章節(jié)求下列矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形求下列矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.8342221392452112)2(;539649214)1(BA 練練 習(xí)習(xí)30課程章節(jié) 作作 業(yè)業(yè)求求（1）矩陣）矩陣A的初等因子；的初等因子；（2）矩陣）矩陣A的不變因子；的不變因子；（3）矩陣）矩陣A的的Smith標(biāo)準(zhǔn)形；標(biāo)準(zhǔn)形；（4）矩陣）矩陣A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形.452221,111A 設(shè)設(shè)31課程章節(jié)