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1、定積分的簡單應用定積分的簡單應用1課堂節(jié)課定積分的幾何意義定積分的幾何意義（1 1）當）當f(x)0f(x)0時，時，表示的是表示的是y=f(x)y=f(x)與與x=a,x=bx=a,x=b和和x x軸所圍曲邊梯形的面積。軸所圍曲邊梯形的面積。（2 2）當）當f(x)f(x)0 0時，時，y=f(x)y=f(x)與與x=a,y=bx=a,y=b和和x x軸軸所圍曲邊梯形的面積為所圍曲邊梯形的面積為()baf x dx|()|()bbaaf x dxf x dx（一）復習回顧（一）復習回顧2課堂節(jié)課-1-1yxo例例1.求如圖所示陰影部分圖形的面積。求如圖所示陰影部分圖形的面積。分析：圖形中陰影

2、部分的面積由兩個部分組成；分析：圖形中陰影部分的面積由兩個部分組成；一部分是一部分是x軸上方的圖形的面軸上方的圖形的面積（記為積（記為s1）;另一部分是另一部分是x軸下方圖形的面軸下方圖形的面積（記為積（記為s2）.根據圖像的性質：根據圖像的性質：s1=s2.所以，所求陰影部分的面積是所以，所求陰影部分的面積是4.10sincos|(coscos0)2.0sxdxx （二）例題分析（二）例題分析3課堂節(jié)課542o思考：思考：求如下圖形中陰影部分面積54242sin(sin)2sxdxxdx 4課堂節(jié)課例例2.求拋物線求拋物線y=x 與直線與直線y=2x所圍成平面圖所圍成平面圖形的面積。形的面積

3、。2o2x4y求出曲線求出曲線y=與直線與直線y=2x的交點為（的交點為（0，0）和（）和（2，4）。）。2x設所求圖形的面積為設所求圖形的面積為S，根據圖像可以看，根據圖像可以看出出S等于直線等于直線y=2x，x=2以及以及x軸所圍成軸所圍成平面圖形的面積（設為平面圖形的面積（設為S1）減去拋物線）減去拋物線y=，直線，直線x=2以及以及x軸所圍成的圖形軸所圍成的圖形的面積（設為的面積（設為S2）。）。2x解解 :畫出拋物線畫出拋物線y=與直線與直線y=2x所圍成的平面圖形，所圍成的平面圖形，如圖所示。如圖所示。2x5課堂節(jié)課22333202118|(20)0333sx dxx1284433

4、sss22221022|2040sxdxx6課堂節(jié)課思考：思考：求曲線求曲線y=與直線與直線x+y=2圍成的圖形的面積。圍成的圖形的面積。小結：小結：求平面圖形的面積的一般步驟求平面圖形的面積的一般步驟 （1）根據題意畫出圖形；）根據題意畫出圖形；（2）找出范圍，確定積分上、下限；）找出范圍，確定積分上、下限；（3）確定被積函數；）確定被積函數；（4）寫出相應的定積分表達式；）寫出相應的定積分表達式；（5）用微積分基本定理計算定積分，求出結果。）用微積分基本定理計算定積分，求出結果。2x7課堂節(jié)課抽象概括：抽象概括：一般地，設由曲線一般地，設由曲線y=f(x)，y=g(x)以及直線以及直線x=

5、a，y=b所圍成所圍成的平面圖形（如圖的平面圖形（如圖1）的面積）的面積S，則，則()().bbaasfx dxg x dxyxoaby=f(x)y=g(x)syy=f(x)sy=g(x)aboxxyoaby=g(x)y=f(x)s圖1圖2圖3想一想：想一想：上圖中（上圖中（2）、（）、（3）滿足上面的公式嗎？）滿足上面的公式嗎？8課堂節(jié)課例例3.求曲線求曲線x=和直線和直線y=x-2所圍成的圖形所圍成的圖形的面積。的面積。2yx=1s1s2yox4212-2-11y=x-2x=2y解：陰影部分面積解：陰影部分面積S=S1+S2.S1由y=，y=-，x=1圍成：xxS2由y=，y=x-2 ，x

6、=1圍成：x9課堂節(jié)課110(),sxx dx 421(2),sxxdx14012(2).sxdxxxdx 9210課堂節(jié)課（三）練習（三）練習1.求曲線y=1/x、直線x=1，x=2以及x軸所圍成的平面圖形的面積。2.求由曲線xy=1及直線x=y，y=3所圍成的平面圖形的面積。3.求曲線y=sinx(x )和y=cosx(x )圍成的平面圖形的面積。344，344，11課堂節(jié)課解解:求兩曲線的交點求兩曲線的交點:(0,0),(2,4),(3,9).236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6)xAxx dx2xy xxy63 12課堂節(jié)課13課堂節(jié)課于是所求面積于是所求面積21

7、AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：說明：注意各積分區(qū)間上被積函數的形式注意各積分區(qū)間上被積函數的形式2xy xxy63 1A2A14課堂節(jié)課(2)變力沿直線所做的功變力沿直線所做的功 例例4：如果：如果1N能拉長彈簧能拉長彈簧1cm,為了將彈簧為了將彈簧拉長拉長6cm,需做功（需做功（）A.0.18J B.0.26J C.0.12J D.0.28J所以做功就是求定積分所以做功就是求定積分0 060100 xdx0 18.kxF 則由題可得則由題可得k100。略解：略解：設A 說明：物體在變力說明：物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并的作用下做直線運動，并且物體沿著與且物體沿著與F(x)相同的方向從相同的方向從x=a點移動到點移動到x=b點，點，則變力則變力F(x)所做的功為所做的功為:badxxFW)(15課堂節(jié)課（四）總結（四）總結（1）利用定積分求所圍平面圖形的面積，）利用定積分求所圍平面圖形的面積，要利用數形結合的方法確定被積函數和積要利用數形結合的方法確定被積函數和積分上、下限。分上、下限。（2）當平面圖形是由多條曲線圍成時，要）當平面圖形是由多條曲線圍成時，要合理分區(qū)域積分求面積。合理分區(qū)域積分求面積。16課堂節(jié)課