第二節(jié)第二節(jié) 留留 數(shù)數(shù)一、留數(shù)的引入二、利用留數(shù)求積分三、在無窮遠點的留數(shù)四、典型例題五、小結(jié)與思考1優(yōu)質(zhì)教學(xué)一、留數(shù)的引入一、留數(shù)的引入01010)()()(czzczzczfnn C0z)(zf設(shè)設(shè)為為的一個孤立奇點的一個孤立奇點;內(nèi)的洛朗級數(shù)內(nèi)的洛朗級數(shù):)(zfRzz 00在在 nnzzczzc)()(0010z.的某去心鄰域的某去心鄰域0zRzz 00鄰域內(nèi)包含鄰域內(nèi)包含0z的任一條正向簡單閉曲線的任一條正向簡單閉曲線2優(yōu)質(zhì)教學(xué)12 ic zzzczzzczcnCnCCd)(d)(d0010 CCnnzzzczzzcd)(d)(1010 Czzfd)(積分積分0(高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西柯西-古薩基本定理古薩基本定理)i 2的的系系數(shù)數(shù)洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)中中負負冪冪項項101)(zzc3優(yōu)質(zhì)教學(xué)zzficCd)(211 即即),(Res0zzf 的的留留數(shù)數(shù)在在0)(zzf定義定義 記作記作.),(Res0zzf域域內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)中中負負.)(101的的系系數(shù)數(shù)冪冪項項 zzc為為中中心心的的圓圓環(huán)環(huán)在在即即0)(zzf)(0zfz 為為函函數(shù)數(shù)的一個孤立奇點的一個孤立奇點,則沿則沿Rzzz 000的的某某個個去去心心鄰鄰域域在在內(nèi)包含內(nèi)包含0z的的任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 C 的積分的積分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的數(shù)稱為后所得的數(shù)稱為.)(0的的留留數(shù)數(shù)在在zzf以以如果如果4優(yōu)質(zhì)教學(xué)二、利用留數(shù)求積分二、利用留數(shù)求積分說明說明:上解析；在Czf)(.12.留數(shù)定理將沿封閉曲線留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù)內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).1.留數(shù)定理留數(shù)定理)(zf在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)除有限個孤內(nèi)除有限個孤nzzz,21外處處解析外處處解析,C 是是 D內(nèi)包圍諸奇內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線點的一條正向簡單閉曲線,那末那末.),(Res2d)(1 nkkCzzfizzf立奇點立奇點函數(shù)函數(shù)5優(yōu)質(zhì)教學(xué)證證 nCCCzzfzzfzzfd)(d)(d)(21 zzfCd)(zzfizzfizzfinCCCd)(21d)(21d)(2121 ),(Res),(Res),(Res21nzzfzzfzzf .),(Res1即即可可得得 nkkzzf證畢證畢兩邊同時除以兩邊同時除以 且且i 21z2znzDC.如圖如圖6優(yōu)質(zhì)教學(xué)2.留數(shù)的計算方法留數(shù)的計算方法(1)如果如果0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點,.0),(Res0 zzf則則).()(lim),(Res000zfzzzzfzz如果如果 為為 的一級極點的一級極點,那末那末0z)(zf規(guī)則規(guī)則1 1成洛朗級數(shù)求成洛朗級數(shù)求.1 c(2)如果如果0z為為的本性奇點的本性奇點,)(zf(3)如果如果0z為為的極點的極點,則有如下計算規(guī)則則有如下計算規(guī)則)(zf)(zf展開展開則需將則需將7優(yōu)質(zhì)教學(xué)如果如果 為為 的的 級極點級極點,0z)(zfm).()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz 規(guī)則規(guī)則2 2證證 2020)()()(zzczzczfmm )()(010101zzcczzc101010)()()()(mmmmzzczzcczfzz 10100)()(mmzzczzc那末那末8優(yōu)質(zhì)教學(xué),)!1()()(ddlim10110 cmzfzzzmmmzz10),(Res czzf所以所以+(含有含有 正冪的項正冪的項)0zz 1)!1(cm).()(ddlim)!1(10110zfzzzmmmmzz )()(dd011zfzzzmmm 兩邊求兩邊求1 m階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù),證畢證畢得得9優(yōu)質(zhì)教學(xué)規(guī)則規(guī)則3 3 如果如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP設(shè)設(shè),)()()(zQzPzf)(zP及及)(zQ在在0z都解析，都解析，證證0)(,0)(00 zQzQ因因為為0z所所以以的一級零點的一級零點,為為)(zQ)(1zQ0z的一級極點的一級極點.為為那末那末0z為為的一級極點的一級極點,)(zf.)()(),(Res000zQzPzzf 且有且有10優(yōu)質(zhì)教學(xué)解析且解析且0z.0)()(00 zzP 在在因此因此),(1)(10zzzzQ 其中其中 在在 解析且解析且)(z 0z,0)(0 z 0z所所以以為為 的一級極點的一級極點,)(zf)()(lim),(Res000zfzzzzfzz 00)()()(lim0zzzQzQzPzz .)()(00zQzP .)()(1)(0zzPzzzf 11優(yōu)質(zhì)教學(xué)三、在無窮遠點的留數(shù)三、在無窮遠點的留數(shù)注意積分路線取順時針方向注意積分路線取順時針方向1 c1),(Res czf說明說明 Czzfid)(21記作記作 Czzfizfd)(21),(Res1.1.定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(zf在圓環(huán)域在圓環(huán)域 zR內(nèi)解析，內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，11()d2Cf zzi 那末積分的值與C無關(guān)，則稱此定值則稱此定值點的留數(shù)，點的留數(shù)，在在為為)(zf12優(yōu)質(zhì)教學(xué).1z.2z.kz.證證 nkkzzfzf1),(Res),(Res CCzzfizzfid)(21d)(211.0 由留數(shù)定義有由留數(shù)定義有:(繞原點的并將繞原點的并將kz內(nèi)部的正向簡單閉曲線內(nèi)部的正向簡單閉曲線)C包含在包含在 2.定理二定理二如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點孤立奇點,那末那末在所有各奇點在所有各奇點(包括包括 點點)的留數(shù)的總和必等于零的留數(shù)的總和必等于零.)(zf證畢證畢13優(yōu)質(zhì)教學(xué)說明說明:由定理得由定理得,),(Res),(Res1 zfzzfnkk nkkCzzfizzf1),(Res2d)(留數(shù)定理留數(shù)定理).),(Res2 zfi計算積分計算積分計算無窮遠點的留數(shù)計算無窮遠點的留數(shù).zzfCd)(優(yōu)點優(yōu)點:使計算積分進一步得到簡化使計算積分進一步得到簡化.(避免了計算諸有限點處的留數(shù)避免了計算諸有限點處的留數(shù))14優(yōu)質(zhì)教學(xué)3.在無窮遠點處留數(shù)的計算在無窮遠點處留數(shù)的計算規(guī)則規(guī)則4 4 0,11Res),(Res2zzfzf說明說明:定理二和規(guī)則定理二和規(guī)則4提供了提供了計算函數(shù)沿閉曲線計算函數(shù)沿閉曲線 0,11Res2d)(2zzfizzfC積分的又一種方法積分的又一種方法:此法在很多情況下此法更為簡單此法在很多情況下此法更為簡單.15優(yōu)質(zhì)教學(xué)現(xiàn)取正向簡單閉曲線現(xiàn)取正向簡單閉曲線C為半徑足夠大的為半徑足夠大的正向圓周正向圓周:.z,1 z令令,iireez 并設(shè)并設(shè),1 r那末那末于是有于是有 Czzfizfd)(21),(Res 20d)(21 iiieefi證證.d12120 iireirefi16優(yōu)質(zhì)教學(xué) 202d)(121 iiirereirefi 12d1121fi.)1(為正向為正向 內(nèi)除內(nèi)除在在 1 0 外無其他奇點外無其他奇點.0,11Res2 zzf證畢證畢17優(yōu)質(zhì)教學(xué)四、典型例題四、典型例題例例1 求求nzzezf)(在在0 z的留數(shù)的留數(shù).解解階極點，階極點，的的是是因為因為nzfz)(0 0,Resnzze所以所以.)!1(1 n nznnnzzezzn110ddlim)!1(118優(yōu)質(zhì)教學(xué)例例2 求求6sin)()()(zzzzQzPzf 在在0 z的留數(shù)的留數(shù).分析分析,0)0()0()0(PPP.0)0(P0 z是是zzsin 的三級零點的三級零點由規(guī)則由規(guī)則3得得.sinddlim)!13(10),(Res63220 zzzzzzfz的三級極點，的三級極點，是是所以所以)(0zfz 計算較麻煩計算較麻煩.19優(yōu)質(zhì)教學(xué)如果利用洛朗展開式求如果利用洛朗展開式求1 c較方便較方便:!5!31sin5366zzzzzzzz.!510,sinRes16 czzz,!5!353 zz解解20優(yōu)質(zhì)教學(xué)說明說明:0z如如 為為 m 級極點，當(dāng)級極點，當(dāng) m 較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時,可直接展開洛朗級數(shù)求可直接展開洛朗級數(shù)求1 c來計算留數(shù)來計算留數(shù).66550sinddlim)!16(10),(Reszzzzzzfz.!51 2.在應(yīng)用規(guī)則在應(yīng)用規(guī)則2時時,取得比實際的級數(shù)高取得比實際的級數(shù)高.級數(shù)高反而使計算方便級數(shù)高反而使計算方便.:6 m 1.在實際計算中應(yīng)靈活運用計算規(guī)則在實際計算中應(yīng)靈活運用計算規(guī)則.為了計算方便一般不要將為了計算方便一般不要將m但有時把但有時把m取得比實際的取得比實際的如上例取如上例取21優(yōu)質(zhì)教學(xué)例例3 求求51)(zezfz 在在0 z的留數(shù)的留數(shù).解解 0 z是是)(zf的四級極點的四級極點.1!6!5!4!3!21116543255zzzzzzzzez,!6!51!41!31!211234 zzzzz10),(Res czf所以所以.241!41 在在 z0內(nèi)將內(nèi)將展成洛朗級數(shù)展成洛朗級數(shù):)(zf22優(yōu)質(zhì)教學(xué)例例4 計算積分計算積分,d)1(2zzzeCz C為正向圓周為正向圓周:.2 z解解zzzezzfzzd)1(lim0),(Res20 ,)1(lim20 zezz 221)1()1(ddlim)!12(11),(Reszzezzzfzz0 z為一級極點為一級極點,1 z為二級極點為二級極點,23優(yōu)質(zhì)教學(xué) zezzzddlim121)1(limzzezz ,0 zzzeCzd)1(2 所以所以)01(2 i 1),(Res0),(Res2zfzfi .2 i 24優(yōu)質(zhì)教學(xué)例例5 計算積分計算積分 Czzz,d14C為正向圓周為正向圓周:.2 z函數(shù)函數(shù)14 zz在在2 z的外部的外部,除除 點外沒有點外沒有其他奇點其他奇點.Czzzd14 0,11Res22zzfi ),(Res2zfi 0,1Res24zzi.0 解解 根據(jù)定理根據(jù)定理 2與規(guī)則與規(guī)則4:25優(yōu)質(zhì)教學(xué)與以下解法作比較與以下解法作比較:被積函數(shù)被積函數(shù)14 zz有四個一級極點有四個一級極點i ,1都都在圓周在圓周2 z的內(nèi)部的內(nèi)部,所以所以 Czzzd14 1),(Res1),(Res2 zfzfi),(Res),(Resizfizf 由規(guī)則由規(guī)則3,414)()(23zzzzQzP 26優(yōu)質(zhì)教學(xué) Czzzd14.0414141412 i可見可見,利用無窮遠點的留數(shù)更簡單利用無窮遠點的留數(shù)更簡單.例例6 計算積分計算積分 Czzizz,)3)(1()(d10C為正向圓周為正向圓周:.2 z解解 除除)3)(1()(1)(10 zzizzf被積函數(shù)被積函數(shù)點外點外,其他奇點為其他奇點為.3,1,i 27優(yōu)質(zhì)教學(xué)由于由于i 與與 1在在C的內(nèi)部的內(nèi)部,Czzizz)3)(1()(d101),(Res),(Res2zfizfi ),(Res3),(Res2 zfzfi 0)3(21210ii則則),(Resizf),(Res zf所以所以1),(Reszf 3),(Reszf.0.)3(10ii 28優(yōu)質(zhì)教學(xué)五、小結(jié)與思考五、小結(jié)與思考 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了留數(shù)的概念、計算以及留數(shù)本節(jié)我們學(xué)習(xí)了留數(shù)的概念、計算以及留數(shù)定理定理.應(yīng)重點掌握計算留數(shù)的一般方法應(yīng)重點掌握計算留數(shù)的一般方法,尤其是極尤其是極點處留數(shù)的求法點處留數(shù)的求法,并會應(yīng)用留數(shù)定理計算閉路復(fù)并會應(yīng)用留數(shù)定理計算閉路復(fù)積分積分.29優(yōu)質(zhì)教學(xué).2:,d)1(sin22正向正向計算計算 zCzzzzC思考題思考題30優(yōu)質(zhì)教學(xué)思考題答案思考題答案.1sin2放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出.31優(yōu)質(zhì)教學(xué)