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三、解答題 26.（江蘇18）如圖，在平面直角坐標系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k （1）當直線PA平分線段MN，求k的值； （2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d； （3）對任意k>0，求證：PA⊥PB 本小題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關系、點到直線的距離等基礎知識，考查運算求解能力和推理論證能力，滿分16分. 解：（1）由題設知，所以線段MN中點的坐標為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過坐標 原點，所以 （2）直線PA的方程 解得 于是直線AC的斜率為 （3）解法一： 將直線PA的方程代入 則 故直線AB的斜率為 其方程為 解得. 于是直線PB的斜率 因此 解法二： 設. 設直線PB，AB的斜率分別為因為C在直線AB上，所以 從而 因此 28. （北京理19） 已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點. （I）求橢圓G的焦點坐標和離心率； （II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值. （19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得 所以 所以橢圓G的焦點坐標為 離心率為 （Ⅱ）由題意知，. 當時，切線l的方程，點A、B的坐標分別為 此時 當m=－1時，同理可得 當時，設切線l的方程為 由 設A、B兩點的坐標分別為，則 又由l與圓 所以 由于當時， 所以. 因為 且當時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2. 32.（湖南理21） 如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長。 （Ⅰ）求C1，C2的方程； （Ⅱ）設C2與y軸的焦點為M，過坐標原點O的直線與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E． （i）證明：MD⊥ME; （ii）記△MAB,△MDE的面積分別是．問：是否存在直線l,使得?請說明理由。 解 ：（Ⅰ）由題意知 故C1，C2的方程分別為 （Ⅱ）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為. 由得 . 設是上述方程的兩個實根，于是 又點M的坐標為（0，—1），所以 故MA⊥MB，即MD⊥ME. （ii）設直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為解得 則點A的坐標為. 又直線MB的斜率為， 同理可得點B的坐標為 于是 由得 解得 則點D的坐標為 又直線ME的斜率為，同理可得點E的坐標為 于是. 因此 由題意知， 又由點A、B的坐標可知， 故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為 34.（全國大綱理21） 已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點，點P滿足 （Ⅰ）證明：點P在C上； （Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上． 解： （I）F（0，1），的方程為， 代入并化簡得 …………2分 設 則 由題意得 所以點P的坐標為 經(jīng)驗證，點P的坐標為滿足方程 故點P在橢圓C上。 …………6分 （II）由和題設知， PQ的垂直平分線的方程為 ① 設AB的中點為M，則，AB的垂直平分線為的方程為 ② 由①、②得的交點為。 …………9分 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上 …………12分 36.（山東理22） 已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且△OPQ的面積=,其中O為坐標原點. （Ⅰ）證明和均為定值; （Ⅱ）設線段PQ的中點為M，求的最大值； （Ⅲ）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由. （I）解：（1）當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關于x軸對稱， 所以 因為在橢圓上， 因此 ① 又因為 所以 ② 由①、②得 此時 （2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為 由題意知m，將其代入，得 ， 其中 即 …………（*） 又 所以 因為點O到直線的距離為 所以 又 整理得且符合（*）式， 此時 綜上所述，結論成立。 （II）解法一： （1）當直線的斜率存在時， 由（I）知 因此 （2）當直線的斜率存在時，由（I）知 所以 所以，當且僅當時，等號成立. 綜合（1）（2）得|OM||PQ|的最大值為 解法二： 因為 所以 即當且僅當時等號成立。 因此 |OM||PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點D，E，G，使得 證明：假設存在， 由（I）得 因此D，E，G只能在這四點中選取三個不同點， 而這三點的兩兩連線中必有一條過原點， 與矛盾， 所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G. 40.（天津理18）在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形． （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程． 本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結合的數(shù)學思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分. （I）解：設 由題意，可得 即 整理得（舍）， 或所以 （II）解：由（I）知 可得橢圓方程為 直線PF2方程為 A，B兩點的坐標滿足方程組 消去y并整理，得 解得 得方程組的解 不妨設 設點M的坐標為， 由 于是 由 即， 化簡得 將 所以 因此，點M的軌跡方程是 42.（重慶理20）如題（20）圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為． （Ⅰ）求該橢圓的標準方程； （Ⅱ）設動點滿足：，其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由． 解：（I）由 解得，故橢圓的標準方程為 （II）設，則由 得 因為點M，N在橢圓上，所以 ， 故 設分別為直線OM，ON的斜率，由題設條件知 因此 所以 所以P點是橢圓上的點，設該橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點的坐標為 14