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一、填空題（本大題共7小題，每小題1分，共7分） 1. 序列x(n) = sin(0.3pn + 0.25p)，該序列的周期N為 20 。 2. 序列x(n)存在傅里葉變換的充分條件是 。 3. 用DFT對序列進行譜分析時，對序列截斷引起主譜線向附近展寬的現(xiàn)象稱為 頻譜泄露 。 4. 全通濾波器的極點和零點是互為 共軛倒易 關系。 5. 對12點長序列x(n)做DIF-基2FFT計算，其運算流圖中每級的蝶形個數是 8個 。 6. 設計IIR濾波器的脈沖響應不變法，不適合設計 高通、帶阻 濾波器。 7. 用頻率采樣法設計FIR數字濾波器，為了提高阻帶衰減，可在頻響間斷點處內插一個或幾個 采樣點 。 二、判斷改錯題，正確打“”，錯誤打“”，并改錯。（本大題共4小題，每小題2分，共8分） 8. 周期序列的傅里葉級數仍是周期離散的。 （ ） 9.DIT-基2FFT分解的基本方法是將序列x(n)按n值前后對半分為2個序列。（ ） 的奇偶 10. 序列x(n)的N點DFT為X(k)，則序列x*(n)的DFT變換為X*(N-k)。 （ ） ，且X(N)=X(0) 11. 因果穩(wěn)定的LTI時域離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數所有零點都必須在單位圓內。 （ ） 極點 三、計算題（本大題共6小題，共42分） 12.已知序列，試計算循環(huán)卷積，且循環(huán)卷積區(qū)間長度L=4。（6分） 解：求x(n)和h(n)的DFT： 求X(k)與H(k)的乘積： 求Y(k)的反變換得： 2 3 4 1 -1 0 -2 -1 -1 1 2 1 1 n x(n) 13. 若序列x(n)波形如下，且x(n)的FT變換為X(ejw)，不直接求X(ejw)，完成下列運算：求 (1) X(ejp) = ？ （2）（8分） 解：（1）∵ ∴ （2）由帕斯維爾定理，有 ∴ 14. 用微處理機對實序列作譜分析，要求譜分辨率F100Hz，信號最高頻率為4kHz，試確定以下各參數：(1)最小記錄時間TPmin；(2)最大取樣間隔Tmax；(3)最少采樣點數Nmin；(4)若信號頻帶不變，采用基2FFT做譜分析，求使譜分辨率提高1倍的N值。（8分） 解：(1)已知最大譜分辨率F=100Hz，所以 (2) (3) (4)頻帶不變，則取樣率不變，分辨率提高1倍，則要求最小記錄時間擴大1倍，此時有： 采用基2FFT做譜分析，由于128=27<160<256=28,所以N應取256。 15.若某計算機實現(xiàn)復數乘法平均需要4ms，實現(xiàn)復數加法平均需要1ms，分別用直接計算和基2FFT計算N = 1024點復數信號x(n)的N點DFT X(k)時，若只考慮乘法和加法運算，所需要的運算時間各是多少？ （6分） 解：直接計算所需運算量：復乘法次數N2次，復加法次數為N(N-1)次； 基2FFT所需運算量：復乘法次數次，復加法次數為次。 因此，直接計算所需運算時間為： 基2FFT計算所需運算量： 16.已知某模擬系統(tǒng)，采樣間隔T=2s，試用脈沖響應不變法將轉換為數字濾波器，求該數字濾波器系統(tǒng)函數H(z)。（8分） 解：由因式分解可得： 即：，因為T=2，所以有： 17. 已知序列x(n)長度為N，X(k)=DFT[x(n)]， Y(k)為2N點y(n)的DFT值，試用X(k)表示Y(k)。（6分） 解：由DFT定義有： 五、畫結構圖題（本大題共2小題，每小題8分，共16分） 18.已知IIR系統(tǒng)為：，試： (1) 確定系統(tǒng)的零、極點；（2）畫出該系統(tǒng)的直接型網絡結構圖（II型）；（3）畫出系統(tǒng)的級聯(lián)型網絡結構圖。 解：（1）由差分方程有： 方程兩端求Z變換： 系統(tǒng)函數為： 系統(tǒng)函數零點z1=2，z2=1；系統(tǒng)函數極點： （2）系統(tǒng)直接Ⅱ型結構流圖如下圖所示： x(n) y(n) -3 z-1 5/6 z-1 2 -1/6 系統(tǒng)函數可以寫作： 由此可以畫出系統(tǒng)的一種級聯(lián)型結構流圖如下圖所示： x(n) y(n) z-1 -2 1/3 1/2 -1 z-1 19. 已知FIR濾波器系統(tǒng)函數為，求：(1) 該濾波器的h(n)及階數N；(2) 判斷系統(tǒng)是否具有線性相位，若是線性相位，求出相位函數和畫出線性相位網絡結構圖；若不是線性相位，畫出直接型網絡結構圖。 解：（1）對H(z)求Z反變換可得： 濾波器階數N=7 （2）因為h(n)=-h(N-n-1)，而且h(n)為實數，所以該FIR濾波器是第二類線性相位。相位函數為： 濾波器線性相位結構流圖如下： z-1 z-1 z-1 x(n) -1 -1 -1 z-1 z-1 z-1 0.8 -1.5 y(n) 六、證明題（本大題共1小題，每小題7分，共7分） 20. 若x(n)為實序列，且x(n)= x(N-n)，已知X(k)＝DFT[x(n)]N，證明：X(k)為實偶對稱序列，即證明X(k)=X(N-k) 且X(k)為實序列。 解1：∵x(n)可寫作x(n)=xep(n)+xop(n)，由x(n)= x(N-n)知，xop(n)=0，即x(n)=xep(n)； 從而，由DFT的共軛對稱性， DFT[xep(n)]=Re[X(k)]，即X(k)為實序列。 由X(k)為實序列，即有X(k)=X*(N-k)= X(N-k)。 解2：因為： k=0，1，…，N-1 由于x（n）是關于N的實偶序列，而是關于N的奇序列，所以有： 亦即：為實序列； 又有： 七、設計題（本大題共2小題，每小題10分，共20分） 21. 用窗函數法設計一個FIR線性相位低通濾波器，要求阻帶最小衰減為40dB，過渡帶寬度為400Hz，采樣頻率為4kHz，確定設計要求濾波器的窗函數類型和長度；并構造逼近的頻率響應函數。 附：常用窗函數的基本參數： 窗函數類型 旁瓣峰值an/dB 過渡帶寬度Bt 阻帶最小衰減as/dB 矩形窗 13 1.8p / N 21 三角窗 25 6.1p / N 25 漢寧窗 31 6.2p / N 44 哈明窗 41 6.6p / N 53 布萊克曼窗 57 11p / N 74 解：由題知 由阻帶最小衰減為40dB和滿足指標條件下N最小的原則，濾波器窗函數應選擇漢寧窗， 由附表可求得濾波器單位脈沖響應長度： 設該FIR低通濾波器的通帶截止頻率為wc，由濾波器階數N=31知，該濾波器群延時為： 容易構造此濾波器所逼近的理想頻率響應函數為： 22. 用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器，要求通帶頻率低于0.25p時，容許幅度差在2dB之內，頻率在0.6p到p之間阻帶衰減大于15dB，試采用巴特沃斯原型濾波器進行設計，采樣間隔T=1s。 附：已知歸一化低通巴特沃斯濾波器的傳輸函數為： N＝1時， ； N＝2時， ； N＝3時， 巴特沃斯模擬濾波器階數N計算公式為： ；； 解：（1）將數字濾波器指標轉換為相應的模擬濾波器指標（含預畸變） ， , （2）計算模擬濾波器階數N 取N=2 （3）由給出的歸一化原型巴特沃思低通濾波器傳遞函數可得所設計的模擬濾波器歸一化傳遞函數為： （4）求出3dB頻率： 由教材知（p158）：若選取Wc=1.1702rad/s，則阻帶指標剛好滿足要求，通帶指標有富余，若選取Wc=0.9472rad/s，則通帶指標剛好滿足要求，阻帶指標有富余。因為巴特沃斯曲線是單調的，為計算簡單，取去歸一化。 （驗證：由，可得： 比由題目求得的大，即通帶指標有富余； 由，可得： 比由題目求得的小，即阻帶指標有富余。） （5）求得模擬濾波器傳遞函數為： （6）用雙線性變換法將Ha(s)轉換成數字濾波器系統(tǒng)函數H(z)： 9 《數字信號處理》期末考試 A 卷