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2.3.1《直線與平面垂直的判定》,,,直線和平面垂直的判定(1),復(fù)習(xí)引入：,1.直線和平面的位置關(guān)系是什么?,（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）；（2）直線和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（3）直線和平面平行（沒有公共點(diǎn)）,2.線面平行的判定定理的內(nèi)容是什么?,如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.,3.線面平行的性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么?,如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.,引入新課,在直線和平面相交的位置關(guān)系中,有一種相交是很特殊的,我們把它叫做垂直相交,這節(jié)課我們重點(diǎn)來探究這種形式的相交,直線與平面垂直,觀察實(shí)例,發(fā)現(xiàn)新知,旗桿與地面的關(guān)系，給人以直線與平面垂直的形象。,觀察實(shí)例,發(fā)現(xiàn)新知,房屋的屋柱與地面的關(guān)系，給人以直線與平面垂直的形象。,大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系，給人以直線與平面垂直的形象。,觀察實(shí)例,發(fā)現(xiàn)新知,實(shí)例研探,定義新知,探究:什么叫做直線和平面垂直呢?當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，此直線與平面內(nèi)的所有直線的關(guān)系又怎樣呢?,生活中線面垂直的實(shí)例:,,,,,,在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子，隨著時(shí)間的變化，盡管影子的位置在移動(dòng)，但是旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直（如圖），事實(shí)上，旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點(diǎn)B的直線也是垂直的。,直線與平面垂直的定義：,如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面α互相垂直.記作：l⊥α,,α,,l,P,,l叫做α的垂線,α叫做l的垂面,l與α的唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。,畫直線與平面平行時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。,①“任何”表示所有（提問：若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線垂直與平面嗎？如不是,直線與平面的位置關(guān)系如何？）②直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，在垂直時(shí)，直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足.③a⊥α等價(jià)于對任意的直線mα，都有a⊥m.,三點(diǎn)說明:,利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時(shí)也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì).,探究,提出問題：有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？,師生活動(dòng)：請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起來做如圖所示的試驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸），問:折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直？,A,直線與平面垂直的判定定理：,一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線垂直于這個(gè)平面.,α,線線垂直線面垂直,,例題示范,鞏固新知,例1、一旗桿高8m，在它的頂點(diǎn)處系兩條長10m的繩子，拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(diǎn)（與旗桿腳不在同一條直線上）。如果這兩點(diǎn)與旗桿腳距6m,那么旗桿就與地面垂直，為什么？,解：如圖，旗桿PO＝8，兩繩子長PA＝PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三點(diǎn)不共線因此A，O，B三點(diǎn)確定平面α，因?yàn)镻O2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2，所以PO⊥OA，PO⊥OB又OA∩OB＝O所以O(shè)P⊥α，因此旗桿與地面垂直。,例2、如圖，已知a∥b，a⊥α。求證：b⊥α。,例題示范,鞏固新知,分析：在平面內(nèi)作兩條相交直線，由直線與平面垂直的定義可知，直線a與這兩條相交直線是垂直的，又由b平行a，可證b與這兩條相交直線也垂直，從而可證直線與平面垂直。,,,a,b,,,,,閱讀P66頁的證明過程.,鞏固練習(xí),1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點(diǎn)P，且PA=PB=PC=PD，求證：點(diǎn)P與平行四邊形對角線交點(diǎn)O的連線PO垂直于AB、AD.,課本P66頁探究,課本P67頁練習(xí)1,鞏固練習(xí),,,P,,,,,,A,,,B,,C,歸納小結(jié),今天這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線和平面垂直的定義，這個(gè)定義最初用在判定定理的證明上，但用得較多的則是，如果直線l垂直于平面a，那么l就垂直于a內(nèi)的任何一條直線；對于判定定理，判定線、面垂直，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化成線、線垂直，從中不難發(fā)現(xiàn)立體幾何問題解決的一般思路,,作業(yè)布置,P67頁練習(xí)第1題,P74頁B組2題,直線和平面垂直的判定(2),復(fù)習(xí)引入,1．直線與平面垂直的定義,如果直線l與平面α的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.,2．直線與平面垂直的判定定理,一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。,鞏固練習(xí),,,P,,,,,,A,,,B,,C,引課,我們知道,當(dāng)直線和平面垂直時(shí),該直線叫做平面的垂線。如果直線和平面不垂直,是不是也該給它取個(gè)名字呢?此時(shí)又該如何刻畫直線和平面的這種關(guān)系呢?,直線與平面所成的角,1.平面的斜線,如圖,若一條直線PA和一個(gè)平面α相交,但不垂直,那么這條直線就叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足。,,P,A,斜足,斜線,2.直線和平面所成的角,如圖,過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。,斜線,斜足,射影,垂足,垂線,,一條直線垂直于平面,我們說它所成的角是直角；一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它所成的角是00的角。,規(guī)定:,想一想:直線與平面所成的角θ的取值范圍是什么?,,例1、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直線A1B和平面BCC1B1所成的角。（2）直線A1B和平面A1B1CD所成的角。,,,,O,例題示范,鞏固新知,分析:找出直線A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD內(nèi)的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。,鞏固練習(xí),1.判斷下列說法是否正確,（1）兩條平行直線在同一平面內(nèi)的射影一定是平行直線（）,（2）兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影一定是相交直線（）,（3）兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影要么是平行直線，要么是相交直線（）,（4）若斜線段長相等，則它們在平面內(nèi)的射影長也相等（）,2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,,,,,,A,D,C,B,鞏固練習(xí),2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,,,,,,A1,D1,C1,B1,A,D,C,B,,,,,鞏固練習(xí),2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,,,,,,,A,D,C,B,,,,,鞏固練習(xí),2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,,,,,,A,D,C,B,,,,鞏固練習(xí),3.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角,,,,,,A,D,C,B,0o,鞏固練習(xí),3.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角,,,,,,A,D,C,B,,,,90o,鞏固練習(xí),3.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角,,,,,,A,D,C,B,45o,,,,,,鞏固練習(xí),3.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角,,,,,,A,D,C,B,,,,,,30o,鞏固練習(xí),1．下面四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是(,),B,①垂直于同一直線的兩條直線平行；②垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；③平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；④平行于同一直線的兩條直線平行．,B．3個(gè)D．1個(gè),A．2個(gè)C．4個(gè),解析：②、③、④正確．,線面垂直判定定理的應(yīng)用,例1：已知：如圖1，空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中點(diǎn)E，連接AE、DE，求證：BC⊥平面AED.,圖1,證明：∵AB＝AC，DB＝DC，E為BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC，DE⊥BC.又∵AE與DE交于E，∴BC⊥平面AED.,由判定定理可知要證明直線垂直平面，只需證明直線與平面內(nèi)的任意兩條相交直線垂直即可．,證明：∵PA⊥⊙O所在平面，,BC?⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O直徑，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，,又AE?平面PAC，∴BC⊥AE，,∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.,線面垂直判定定理的應(yīng)用例3：如圖6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB為⊙O直徑，C是圓周上任一點(diǎn)，過A作AE⊥PC于E，求證：AE⊥平面PBC.圖6,1－2.如圖3，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，E是PC上的任一點(diǎn)(除P和C點(diǎn)外)，證明：CD⊥AE.,圖3,例2，如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)（1）證明：PA//面EDB（2）求EB與底面ABCD所成角的正切值,P,D,C,A,B,E,(1),(2),圖2,A．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF,B．SD⊥平面EFGD．GD⊥平面SEF,解析：在題圖(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在題圖(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.,A,歸納小結(jié),1．直線與平面垂直的概念,（1）利用定義；,（2）利用判定定理．,3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想,3．直線與平面垂直的判定,垂直于平面內(nèi)任意一條直線,2.線面角的概念及范圍,作業(yè)布置作業(yè):P74A組9題,B組4題,