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探索問題主要考查學生探究、發(fā)現、總結問題的能力,主要包括規(guī)律探索問題、動態(tài)探索問題、結論探索問題和存在性探索問題.(1)規(guī)律探索問題通常考查數的變化規(guī)律，然后用代數式表示這一規(guī)律，或者根據規(guī)律求出相應的數值.解題時，要通過觀察、猜想、驗證等步驟，應使所得到的規(guī)律具有普遍性，只有這樣才能應用與解題.,(2)動態(tài)探索問題通常與幾何圖形有關，給出相應的背景，設置一個動態(tài)的元素，在此基礎上，探索其中的位置關系或數量關系，解題時應化動為靜.(3)結論探索問題，通常給出相應的條件，然后探索未知的結論.解題時，首先結合已知條件，大膽猜想，然后經過推理論證，最后作出正確的判斷，切忌想當然的確定結論.(4)存在性探索問題是運用幾何計算進行探索的綜合型問題，要注意相關的條件,可以先假設結論成立，然后通過計算求相應的值，再作存在性的判斷.,規(guī)律探索問題,規(guī)律探索問題是指由幾個具體結論通過類比、猜想、推理等一系列的數學思維過程，來探求一般性結論的問題，解決這類問題的一般思路是通過對所給的具體的結論進行全面、細致的觀察、分析、比較，從中發(fā)現其變化的規(guī)律，并猜想出一般性的結論，然后再給出合理的證明或加以運用.,【例1】有一組數：…,請觀察它們的構成規(guī)律，用你發(fā)現的規(guī)律寫出第n(n為正整數)個數為_______.,,,【思路點撥】,,【自主解答】經觀察發(fā)現，分子是連續(xù)的奇數，即2n-1,分母是序數的平方加1，即n2+1，因此第n個數為,,,1.觀察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…….通過觀察，用你所發(fā)現的規(guī)律確定32013的個位數字是()(A)3(B)9(C)7(D)1,【解析】選A.經觀察可知，3n的個位數字按照3、9、7、1；3、9、7、1；3、9、7、1…的規(guī)律循環(huán)，而20134=503……1，因此32013的個位數字是3.,2.如圖是用相同長度的小棒擺成的一組有規(guī)律的圖案，圖案(1)需要4根棒，圖案(2)需要10根小棒……，按此規(guī)律擺下去，第n個圖案需要小棒_____根(用含有n的代數式表示).,(6n-2),【解析】本題考查的是規(guī)律探索題目，可以結合圖形從不同方向研究其變化規(guī)律.如從第二個圖形開始，圖案都是由兩層構成，上面的層數共有4n個小棒，下面小菱形個數比上面少一個，每個小菱形只需再加2根小棒，即下層共需2(n-1)根，所以第n個圖案需要4n+2(n-1),即(6n-2)根小棒.答案：(6n-2),,動態(tài)探索問題,動態(tài)探索問題的特點是：以幾何圖形為背景，討論某個元素的運動變化，探索其中隱含的規(guī)律，如線段關系、角度大小、面積關系、函數關系等.在解決動態(tài)問題時，要抓住不變的量，找出其中的規(guī)律,同時還應該考慮到，當動態(tài)元素去某一位置時，“動”則變?yōu)椤办o”，從而化動為靜.,【例2】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90，點P、Q分別是AB、AC上的一動點，且滿足BP=AQ，D是BC的中點.,(1)求證：△PDQ是等腰直角三角形；(2)當點P運動到什么位置時，四邊形APDQ是正方形，并說明理由.,【思路點撥】(1)利用三角形全等證明PD=QD和∠PDQ=90.(2)結合正方形的判定方法以及題目的已知條件，探索當點P運動到何處時，滿足正方形的條件.,【自主解答】(1)連接AD.∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中點,∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B.又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD.∴PD=QD，∠BDP=∠ADQ.∵∠BDP+∠ADP=90,∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90.∴△PDQ為等腰直角三角形.,(2)當P點運動到AB的中點時，四邊形APDQ是正方形,由(1)知△ABD為等腰直角三角形,當P為AB的中點時，DP⊥AB，即∠APD=90.又∵∠BAC=90，∠PDQ=90,∴四邊形APDQ為矩形.又∵DP=AP=AB,∴四邊形APDQ為正方形.,,3.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45，點P是BC邊上一動點，設PB的長為x.當x的值為______時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；(2)點P在BC邊上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構成菱形？試說明理由.,,1或11,【解析】(2)能,理由如下:由(1)知，當BP=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形,∴EP=AD=5.過D作DF⊥BC于F，∵∠C=45,CD=,∴DF=FC=4，∴EF=EC-FC=6-4=2,∴FP=EP-EF=5-2=3，∴DP=∴EP=DP,故此時平行四邊形PDAE是菱形.即以點P、A、D、E為頂點的四邊形是菱形.,,結論探索問題,結論探索問題主要是指根據條件，結合已學的相關知識、數學思想方法，通過歸納分析逐步得出結論，或通過觀察、試驗、猜想、論證等方法求解.這類問題的解決特別強調數形結合思想的運用.,【例3】已知如圖1,⊙O過點D(3，4),點H與點D關于x軸對稱，過H作⊙O的切線交x軸于點A.(1)求sin∠HAO的值；,(2)如圖2，設⊙O與x軸正半軸交點為P，點E、F是線段OP上的動點(與點P不重合)，連接并延長DE、DF交⊙O于點B、C，直線BC交x軸于點G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，試探索sin∠CGO的大小怎樣變化，請說明理由.,(2)當E、F兩點在OP上運動時(與點P不重合)，sin∠CGO的值不變.過點D作DM⊥EF于M，并延長DM交⊙O于N，連接ON，交BC于點T.因為△DEF為等腰三角形，DM⊥EF，所以DN平分∠BDC,所以所以OT⊥BC，所以∠CGO+∠GOT=∠GOT+∠MNO=90,,,所以∠CGO=∠MNO,所以sin∠CGO=sin∠MNO=即當E、F兩點在OP上運動時(與點P不重合)，sin∠CGO的值不變.,存在性探索問題,存在性探索問題是指滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類題目的一般解題規(guī)律是：假設存在→推理論證→得出結論.若能推導出合理的結論，就作出“存在”的判斷，若推導出不合理的結論，或與已知、已證相矛盾的結論，則作出“不存在”的判斷.,例4、(1)探究新知：①如圖，已知AD∥BC,AD=BC，點M，N是直線CD上任意兩點.求證：△ABM與△ABN的面積相等.②如圖，已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,點M是直線CD上任一點，點G是直線EF上任一點.試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由.,(2)結論應用：如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C(1,4),交x軸于點A(3,0),交y軸于點D.試探究在拋物線y=ax2+bx+c上是否存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等？若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.(友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用“探究新知”中的結論.),【解析】(1)①分別過點M,N作ME⊥AB，NF⊥AB,垂足分別為點E,F.∵AD∥BC,AD=BC,∴四邊形ABCD為平行四邊形.∴AB∥CD.∴ME=NF.∵S△ABM=ABME,S△ABN=ABNF,∴S△ABM=S△ABN.,②相等.理由如下：分別過點D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分別為H,K.則∠DHA=∠EKB=90.∵AD∥BE,∴∠DAH=∠EBK.∵AD=BE,∴△DAH≌△EBK.∴DH=EK,∵CD∥AB∥EF，∴S△ABM=ABDH,S△ABG=ABEK,∴S△ABM=S△ABG.,,(2)存在.因為拋物線的頂點坐標是C(1,4),所以，可設拋物線的表達式為y=a(x-1)2+4.又因為拋物線經過點A(3,0),將其坐標代入上式，得0＝a(3-1)2+4,解得a=-1.∴該拋物線的表達式為y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.∴D點坐標為(0，3).,設直線AD的表達式為y=kx+3，代入點A的坐標，得0=3k+3，解得k=-1.∴直線AD的表達式為y=-x+3.過C點作CG⊥x軸，垂足為G，交AD于點H，則H點的縱坐標為-1+3＝2.∴CH=CG-HG=4-2=2.,,設點E的橫坐標為m，則點E的縱坐標為-m2+2m+3.過E點作EF⊥x軸，垂足為F，交AD于點P，則點P的縱坐標為3-m，EF∥CG.由(1)可知：若EP=CH,則△ADE與△ADC的面積相等.,(a)若E點在直線AD的上方(如圖)，則PF＝3-m,EF=-m2+2m+3.∴EP=EF-PF=-m2+2m+3-(3-m)=-m2+3m.∴-m2+3m=2.解得m1=2,m2=1.當m=2時，PF=3-2=1,EF=3.∴E點坐標為(2，3).同理當m=1時，E點坐標為(1，4)，與C點重合，故舍去.,(b)若E點在直線AD的下方(如圖)，則PE=(3-m)-(-m2+2m+3)=m2-3m,∴m2-3m=2,解得,當m=時，E點的縱坐標為當m=時，E點的縱坐標為∴在拋物線上存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點的坐標為E1(2,3);,,4.在平面直角坐標系xOy中，已知點P(2，2)，點Q在y軸上，△PQO是等腰三角形，則滿足條件的點Q共有()(A)5個(B)4個(C)3個(D)2個【解析】選B.以OP為底邊時，Q點的坐標是(0，2)，以OP為腰時，Q點的坐標是(0，4)或(0，)或(0，).,9.(2011江津中考)A、B兩所學校在一條東西走向公路的同旁，以公路所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，且點A的坐標是(2，2)，點B的坐標是(7，3).,(1)一輛汽車由西向東行駛，在行駛過程中是否存在一點C，使C點到A、B兩校的距離相等，如果有，請用尺規(guī)作圖找出該點，保留作圖痕跡，不求該點坐標.(2)若在公路邊建一游樂場P，使游樂場到兩校距離之和最小，通過作圖在圖中找出建游樂場P的位置，并求出它的坐標.,【解析】(1)存在滿足條件的點C.作線段AB的垂直平分線MN與x軸交于點C，點C即為所求.如圖所示：,(2)作點A關于x軸對稱的點A′(2，-2)，連接A′B，與x軸的交點即為所求的點P.設A′B所在直線的解析式為：y=kx+b,把A′(2，-2)，B(7，3)分別代入得：所以y=x-4.當y=0時，x=4,所以交點P的坐標為(4，0).,