1．在正方體 ABCD－A1B1C1D1 中，M 是 AB 的中點(diǎn)，則 sin〈DB1，CM〉的值等于(   ) 題組層級(jí)快練 (五十六) → → 2 C.    2 1 A. 3  B. D. 210 15 11 15 答案 B 解析 分別以 DA，DC，DD1 為 x，y，z 軸建系，令 AD＝1， → → 1 ∴DB1＝(1，1，1)，CM＝(1，－2，0)． 2     15 ∴cos〈DB1，CM〉＝    ＝ 2 → → 1 1－ 5  15 3·  . ∴sin〈DB1，CM〉＝ 15 → → 210 . 2．已知直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 為正方形，AA1＝2AB，E 為 AA1 的中點(diǎn)，則 異面直線 BE 與 CD1 所成角的余弦值為( ) A.    10 5 10 5 10 3 10 C. 1 B. 3 D. ∴BE＝(0，－1，1)，CD1＝(0，－1，2)． ∴cos〈BE，CD1〉＝    ＝ 10 答案 C 解析 如圖，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系． 設(shè) AA1＝2AB＝2，則 B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)． → → → → 1＋2 3 10 . 2· 5 3．若直線 l 的方向向量與平面 α 的法向量的夾角等于 120°，則直線 l 與平面 α 所成的角等于( ) A．120° C．30° B．60° D．150° 解析 設(shè)直線 l 與平面 α 所成的角為 θ，則 sinθ＝|cos120°|＝  ，又 0°≤θ≤90°.∴θ＝30°. 答案 C 1 2 4．已知長(zhǎng)方體 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝4，CC1＝2，則直線 BC1 與平面 DBB1D1 所成角的 正弦值為( ) 2 D.    10 A. C. 3 2 10 5 5 B. 10 答案 C 解析 由題意，連接 A1C1，交 B1D1 于點(diǎn) O，連接 BO.∵在長(zhǎng)方體 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC ＝4，∴C1O⊥B1D1.易得 C1O⊥平面 DBB1D1，∴∠C1BO 即為直線 BC1 與平面 DBB1D1 所成的角． 3 B.    3 C.    6 3 則 A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，AC＝(－2， 2，0)，AD1＝(－2，0，4)，BB1＝(0，0，4)． ìïn· AC＝0， 設(shè)平面 ACD1 的法向量為 n＝(x，y，z)，則í ïîn·AD ＝0， 即í             取 x＝2，則 y＝2，z＝1，故 n＝(2，2，1)是平面 ACD1 的一個(gè)法向量． 在  OBC1 中，OC1＝2 2，BC1＝2 5，∴直線 BC1 與平面 DBB1D1 所成角的正弦值為 選 C. 5.(2019· 遼寧沈陽(yáng)和平區(qū)模擬)如圖，在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，BB1 ＝4，則直線 BB1 與平面 ACD1 所成角的正弦值為( ) 1 A. 3 2 2 D. 3 答案 A 解析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系． → → → → → 1 ìï－2x＋2y＝0， î ï－2x＋4z＝0， 10 5  ，故 設(shè)直線 BB1 與平面 ACD1 所成的角是θ，則 sinθ |cos〈n，BB1〉|＝ ＝ |n·BB1|    4    1 →     9×4  3 → → |n|·|BB1|  ＝     ＝ .故選 A. 6．若正三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱長(zhǎng)都相等，D 是 A1C1 的中點(diǎn)，則直線 AD 與平面 B1DC 所 成角的正弦值為( ) 5 5 4 D.    5 3 A. 3 C. 4 B. 5 設(shè)棱長(zhǎng)為 1，則有 AD＝    5 ，B1D＝ ，DC＝   ， 答案 B 解析 間接法：由正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，依據(jù)題設(shè)條件，可知 B1D⊥平面 ACD，∴B1D⊥ DC B1DC 為直角三角形． 3 5 2 2 2 ∴S 1DC＝  × ×   ＝    . 3       8    3   2   2         5 設(shè)直線 AD 與平面 B1DC 所成的角為 θ，則 sinθ＝  h ＝  . ìïn· CD＝0，   ì－y＋2z＝0， ïîn·CB ＝0  î   3x－y＋2z＝0 ∴sin〈AD，n〉＝      ＝  . 1 3 5 15 2 2 2 8 設(shè) A 到平面 B1DC 的距離為 h，則有 VA－B1DC＝VB1－ADC， 1 1 ∴3×h× B1DC＝3×B1D×S△ADC. 1 15 1 3 1 2 ∴ ×h× ＝ × × ，∴h＝ . 4 AD 5 向量法：如圖，取 AC 的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)各棱長(zhǎng)為 2， 則有 A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1( 3，0，2)． 設(shè) n＝(x，y，z)為平面 B1CD 的法向量， → 則有í ?í ?n＝(0，2，1)． → 1 → → AD· n 4 → 5 |AD|·|n| 7．(2019· 河南林州期末)如圖，已知長(zhǎng)方體 ABCD－A1B1C1D1 中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E 為線 1 段 AB 上一點(diǎn)，且 AE＝3AB，則 DC1 與平面 D1EC 所成的角的正弦值為( ) 35 7 C.    3 D.    2 3 35 A. 3 2 7 B. 4 ∴DC1＝(0，3，1)，D1E＝(1，1，－1)，D1C＝(0，3，－1)． 答案 A 解析 如圖，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐 標(biāo)系，則 C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)， → → → ìn· →E＝0， ì（x，y，z）· （1，1，－1）＝0， 則í            即í ïîn·D C＝0， ïî（x，y，z）· （0，3，－1）＝0， 設(shè)平面 D1EC 的法向量為 n＝(x，y，z)， 1 → 1 ìïx＋y－z＝0， ìïx＝2y， 解得í 即í 取 y＝1，得 n＝(2，1，3)． î î ï3y－z＝0， ïz＝3y， ∵cos〈DC1，n〉＝ DC1·n  （0，3，1）· （2，1，3） 3   35 35 →                10×   14 → → ＝                      ＝    ， |DC1|·|n| 3 35 ∴DC1 與平面 D1EC 所成的角的正弦值為 35  ，故選 A. 8．(2019· 昆明市高三調(diào)研)在長(zhǎng)方體 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝4，AA1＝2.過(guò)點(diǎn) A1 作平面 α 與 AB，AD 分別交于 M，N 兩點(diǎn)，若 AA1 與平面 α 所成的角為 45°，則截面 A1MN 面積的最小值 是( ) A．2 3 C．4 6 答案 B B．4 2 D．8 2 解析 如圖，過(guò)點(diǎn) A 作 AE⊥MN，連接 A1E，∵A1A⊥平面 ABCD， A1A⊥MN，∴MN⊥平面 A1AE，∴A1E⊥MN，平面 A1AE⊥平面 A1MN， AA1E 為 AA1 與平面 A1MN 所成的角，∴∠AA1E＝45°，在  A1AE ∴ ∴∠ 中， ∵AA1＝2，∴AE＝2，A1E＝2 2，在  MAN 中，由射影定理得 ME·EN＝AE2＝4，由基本不等 式得 MN＝ME＋EN≥2 ME·EN＝4，當(dāng)且僅當(dāng) ME＝EN，即 E 為 MN 的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，∴截面 1 A1MN 面積的最小值為2×4×2 2＝4 2，故選 B. 9．(2019· 保定模擬)在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱 AA1 ＝2，D，E 分別是 CC1 與 A1B 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G.則 A1B 與平 面 ABD 所成角的余弦值是( ) A. C. 2 3 3 2  B. D. 7 3 3 7 1)，G(  ，  ，  )，GE＝(  ，  ，  )，BD＝(0，－a，1)， 答案 B 解析 以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA 所在直線為 x 軸，CB 所在直線為 y 軸，CC1 所在直線為 z 軸，建立 a a 直角坐標(biāo)系，設(shè) CA＝CB＝a，則 A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，∴E(2，2， a a 1 → a a 2 → 3 3 3 6 6 3 ∴GE⊥平面 ABD，∴GE·BD＝0，解得 a＝2. ∴GE＝(  ，  ，  )，BA1＝(2，－2，2)，3 3 3 ∵GE⊥平面 ABD，∴GE為平面 ABD 的一個(gè)法向量． 3 GE·BA1           2 ∵cos<GE，BA1>＝ ＝        ＝   ， |GE|·|BA1|    ×2   3 答案  4   35 ∵點(diǎn) E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G， → → → → 1 1 2 → → → 4 → → → → → → 6 3 3 3 ∴A1B 與平面 ABD 所成的角的余弦值為 7. 10．(2019· 河北承德期末)已知四棱錐 P－ABCD 的底面是菱形，∠BAD＝60°，PD⊥平面 ABCD， 且 PD＝AB，點(diǎn) E 是棱 AD 的中點(diǎn)，F(xiàn) 在棱 PC 上．若 PF∶FC＝1∶2，則直線 EF 與平面 ABCD 所 成角的正弦值為_(kāi)_______． 35 解析 如圖，以 D 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D－xyz.設(shè)菱 ，－ ，0)，F(xiàn)(0， ， )，所以EF＝ 形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2，則 D(0，0，0)，E( 3   1         2 4      → 2    2         3 3 (－    3 7 ，  ，  )． 4 2 6 3 又平面 ABCD 的一個(gè)法向量為 n＝(0，0，1)， 4 所以 cos〈EF，n〉＝ 35 →  （－ 3        3）2＋（7）2＋（4）2×1 2       6      3 4 35 ＝    ， 即直線 EF 與平面 ABCD 所成角的正弦值為     . 4 35 35 11．(2019· 上海八校聯(lián)考)如圖所示為一名曰“塹堵”的幾何體，已知 AE⊥底面 BCFE，DF∥AE， DF＝AE＝1，CE＝ 7，四邊形 ABCD 是正方形． (1)《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，判斷四面體 EABC 是否為鱉臑， 答案   (1)略  (2) 若是，寫出其每一個(gè)面的直角，并證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． (2)記 AB 與平面 AEC 所成的角為 θ，求 cos2θ 的值． 1 7 解析 (1)∵AE⊥底面 BCFE，EC，EB，BC 都在底面 BCFE 上，∴AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC. ∵四邊形 ABCD 是正方形，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面 ABE.又∵BE?平面 ABE，∴BC⊥BE，∴四 面體 EABC 是鱉臑，∠AEB，∠AEC，∠CBE，∠ABC 為直角． (2)∵AE＝1，CE＝ 7，AE⊥EC， ∴AC＝2 2，又 ABCD 為正方形． ∴BC＝2，∴BE＝ 3. 作 BO⊥EC 于 O，則 BO⊥平面 AEC，連接 OA，則 OA 為 AB 在面 AEC 上的射影．∴θ＝∠BAO， 由等面積法得 BE·BC＝EC·OB. ，sinθ＝   ＝    ，cos2θ＝1－2sin2θ＝  . ∴OB＝ 3·2 7 OB   21                    1 AB   7                     7 答案   (1)略  (2)    6 以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BD，BA的方向?yàn)?#160;x 軸，y 軸，z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系． 依題意，得 B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，Mè0，2，2ø，則BC＝(1，1，0)， BM＝è0，2，2ø，AD＝(0，1，－1)． ìïx0＋y0＝0， ìïn· BC＝0， 則í           即í1 1 取 z0＝1，得平面 MBC 的一個(gè)法向量 n＝(1，－1，1)． ïîn·BM＝0，   ïî2y0＋2z0＝0， 12.(2014· 福建，理)在平面四邊形 ABCD 中．AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD. 將△ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD⊥平面 BCD，如圖所示． (1)求證：AB⊥CD； (2)若 M 為 AD 中點(diǎn)，求直線 AD 與平面 MBC 所成角的正弦值． 3 解析 (1)∵平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，AB?平面 ABD，AB⊥BD， ∴AB⊥平面 BCD. 又 CD?平面 BCD，∴AB⊥CD. (2)過(guò)點(diǎn) B 在平面 BCD 內(nèi)作 BE⊥BD，如圖所示． 由(1)知 AB⊥平面 BCD，BE?平面 BCD，BD?平面 BCD， ∴AB⊥BE，AB⊥BD. → → → æ 1 1ö → → æ 1 1ö → 設(shè)平面 MBC 的法向量 n＝(x0，y0，z0)， → → 設(shè)直線 AD 與平面 MBC 所成角為 θ， 則 sinθ＝|cos〈n，AD〉|＝      ＝   ， 即直線 AD 與平面 MBC 所成角的正弦值為   6 → → |n·AD| 6 → 3 |n|·|AD|  3  . 四邊形 BDEF 是矩形，ED⊥平面 ABCD，∠ABD＝  ，AB＝2AD. 答案   (1)略  (2)    42 解析   (1) ABD 中，∠ABD＝  ，AB＝2AD， (2)由(1)可得，在  ABD 中，∠BAD＝  ，BD＝   3AD，又由 ED＝BD，設(shè) 所以AE＝(－1，0，   3)，AC＝(－2，   3，0)． ìïn· AE＝0， ì－x＋   3z＝0， ïîn·AC＝0，   î－2x＋   3y＝0， 因?yàn)锳F＝(－1，   3，   3)， 所以 cos〈n，AF〉＝      ＝    ， 13．(2019· 鄭州一中測(cè)試)在如圖所示的多面體中，四邊形 ABCD 是平行四邊形， π 6 (1)求證：平面 BDEF⊥平面 ADE； (2)若 ED＝BD，求直線 AF 與平面 AEC 所成角的正弦值． 14 π 6 由余弦定理，得 BD＝ 3AD， 從而 BD2＋AD2＝AB2，故 BD⊥AD， 所以△ABD 為直角三角形且∠ADB＝90°. 因?yàn)?#160;DE⊥平面 ABCD，BD?平面 ABCD，所以 DE⊥BD. 又 AD∩DE＝D，所以 BD⊥平面 ADE. 因?yàn)?#160;BD?平面 BDEF，所以平面 BDEF⊥平面 ADE. π 3 AD＝1，則 BD＝ED＝ 3. 因?yàn)?#160;DE⊥平面 ABCD，BD⊥AD， 所以可以以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DE 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示． 則 A(1，0，0)，C(－1， 3，0)，E(0，0， 3)，F(xiàn)(0， 3， 3)， → → 設(shè)平面 AEC 的法向量為 n＝(x，y，z)， → 則 í 即í → 令 z＝1，得 n＝( 3，2，1)為平面 AEC 的一個(gè)法向量． → → → n·AF 42 → 14 |n|·|AF| 所以直線 AF 與平面 AEC 所成角的正弦值為   42 14 . 在  ADC 中，由 AD＝   3，CD＝1，可得 AC＝2，AO＝  ， ì n＝0，ïAB· ì－   3x＋y＝0，     答案 (1)略 (2)   42       ∴∠AEC＝90°， ＝ ＝ ，易得△AEO∽△ACE，∴∠AOE＝∠AEC＝90°，即 EO⊥AC.           則 A(  ，0，0)，B(0， ，0)，E(0，0， )，M(  ，0， )，D(0，－ ，0)，N(  ， ，0)，             ∴AB＝(－  ， ，0)，AE＝(－  ，0， )，DM＝(  ， ， )，MN＝(0， ，－ )，  ïîAE·n＝0，   î－   3x＋z＝0，         設(shè)MP＝λMN(0≤λ≤1)，可得DP＝DM＋MP＝(  ， ＋ λ， － λ)，      2→ 42×   λ ＋λ＋4 14.(2019· 太原模擬)如圖，在四棱錐 E－ABCD 中，底面 ABCD 是圓內(nèi)接四邊形， CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝ 3，EC⊥BD. (1)求證：平面 BED⊥平面 ABCD； (2)若點(diǎn) P 在平面 ABE 內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且 DP∥平面 BEC，求直線 DP 與平面 ABE 所 成角的正弦值的最大值． 7 解析 (1)如圖，連接 AC，交 BD 于點(diǎn) O，連接 EO， ∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC， ∴△ADC≌△ABC，易得△ADO≌△ABO，∴∠AOD＝∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD. 又 EC⊥BD，EC∩AC＝C，∴BD⊥平面 AEC， 又 OE?平面 AEC，∴OE⊥BD. 又底面 ABCD 是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， 3 2 AE AO 3 AC AE 2 又 AC，BD?平面 ABCD，AC∩BD＝O，∴EO⊥平面 ABCD， 又 EO?平面 BED，∴平面 BED⊥平面 ABCD. (2)如圖，取 AE 的中點(diǎn) M，AB 的中點(diǎn) N，連接 MN，ND，DM， 則 MN∥BE，由(1)知，∠DAC＝∠BAC＝30°，即∠DAB＝60°， ∴△ABD 為正三角形，∴DN⊥AB，又 BC⊥AB， ∴平面 DMN∥平面 EBC，∴點(diǎn) P 在線段 MN 上． 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4 4 2 4 4 3 3 3 3 3 3 3 → → → → 3 3 2 2 2 2 4 2 4 4 4 → 設(shè)平面 ABE 的法向量為 n＝(x，y，z)，則í 即í 令 x＝1，則 n＝(1， 3， → 3)， → → → → → 3 3 3 3 3 4 2 4 4 4 → n·DP 12 設(shè)直線 DP 與平面 ABE 所成的角為 θ，則 sinθ＝| |＝ ， |n|·|DP|  ∵0≤λ≤1，∴當(dāng) λ  0 時(shí)，sinθ取得最大值  42. 7 故直線 DP 與平面 ABE 所成角的正弦值的最大值為  42 7  .