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1、數(shù)列求和
知識(shí)要點(diǎn)：
數(shù)列求和的常用方法
1．公式法；
2．倒序相加法；
3．錯(cuò)位相減法；
4．分組轉(zhuǎn)化法；
5．裂項(xiàng)相消法．
1．公式法；
2．倒序相加法．
3．錯(cuò)位相減法．
4．分組轉(zhuǎn)化法．
5．裂項(xiàng)相消法．
習(xí)題講解
練習(xí)
求下列各項(xiàng)的和
（1）S n=1+（3+4）+（5+6+7）+…+（2n – 1+2n+…+3n –2）
（2）S n=12–22+32– 42+…+（– 1）n–1·n2
【解析】（1）∵an=（
2、2n–1）+2n+（2n+1）+…+[（2n – 1）+ n – 1] =，
∴Sn=…+n2）–(1+2+…+n)
=.
（2）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，
[(n–1)2–n2]
= –3–7…–(2n+1) =.
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，
S n=1+（32–22）+（52– 42）+…+ [n2– (n–1)]
=1 + 5 + 9 +…+（2n–1）=.
故S n=.
小結(jié)
練習(xí)
1 . 已知數(shù)列{an}滿足a1 = 1，
(n∈N *，n＞1).
（1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{ anan + 2}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）設(shè)
3、(a∈R)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
【解析】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由得：an – 1 – an – 2 an – 1 an = 0，
兩邊同除an an – 1，得
∴{}是以為首項(xiàng)，d = 2為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，= 1 + ( n – 1 )×2 = 2n – 1，∴an =
∴an an +2 =，
…+
（3）∵bn =
∴
，
當(dāng)a = 0時(shí)，Tn = 0；
當(dāng)a = 1時(shí)，Tn = n2；
當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，由于Tn = a + 3a2 + 5a3 +…+(2n – 1)an
4、 ①
∴aTn = a2 + 3a3 + 5a4+…+(2n – 1)an + 1 ②
① – ②得：(1 – a)Tn = a + 2(a2 + a3 +…+an) – (2n – 1)an + 1，
∴，
故
2. 如果有窮數(shù)列a1，a2，…，am(m為正整數(shù))滿足條件a1 = am，a2 = am – 1 …，am = a1，即
ai = am – i + 1 (i = 1，2，…，m )，我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列”.
例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對(duì)稱數(shù)列”.
（1）設(shè){bn}是7項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中b1，b2，b3，b4是等差數(shù)列，且
5、b1 = 2，b4 = 11，依次寫(xiě)出{bn}的每一項(xiàng)；
（2）設(shè){cn}是49項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中c25，c26，…，c49是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求{cn}的各項(xiàng)的和S；
（3）設(shè){dn}是100項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中d51，d52，…，d100是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，求{dn}前n項(xiàng)的和Sn(n = 1，2，…100).
【解析】（1）設(shè)數(shù)列{bn}前四項(xiàng)的差為d，
則b4 = b1 + 3d = 2 + 3d = 11，解得d = 3，
∴數(shù)列{bn}為2，5，8，11，8，5，2.
（2）S = c1 + c2+…+c49 = 2(c25 + c26 +
6、…+ c49) – c25 = 2 (1 + 2 + 22 + …224) – 1 = 2 (225 – 1) – 1 = 226 – 3 = 67108861.
（3）d51 = 2，d100 = 2 + 3×(50 – 1) = 149.
由題意得d1，d2，…，d50是首項(xiàng)為149，公差為 – 3的等差數(shù)列，
當(dāng)n≤50時(shí)，Sn = d1 + d2 + … + dn.
= 149n +
當(dāng)51≤n≤100時(shí)，Sn = d1 + d2 + … + dn
= S50 + (d51 + d52 + … + dn)
= 3775 + 2×(n – 50) +
=
綜上所述，Sn =
9
數(shù)列求和 (2)
