《2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 不等關系與基本不等式 3 第1課時 平均值不等式課件 北師大版選修4-5.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 不等關系與基本不等式 3 第1課時 平均值不等式課件 北師大版選修4-5.ppt（39頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第一章3平均值不等式,第1課時平均值不等式,,學習目標1.理解并掌握平均值不等式的特征結構.2.了解平均值不等式的推廣.3.會用平均值不等式解決相關問題.,,,問題導學,達標檢測,,題型探究,內容索引,問題導學,知識點一二元平均值不等式,思考回顧a2＋b2≥2ab的證明過程，并說明等號成立的條件.,答案a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，a2＋b2＝2ab.,梳理(1)重要不等式定理1：對任意實數(shù)a，b，有a2＋b22ab(當且僅當a＝b時取“＝”號).(2)二元平均值不等式①定理2：對任意兩個正數(shù)a，b，有____________(當且僅當時取“＝”號).②定理2的應用：對兩個正實數(shù)x，y，(ⅰ)如果它們的和S是定值，則當且僅當時，它們的積P取得最值；(ⅱ)如果它們的積P是定值，則當且僅當時，它們的和S取得最值.,≥,a＝b,x＝y(tǒng),大,x＝y(tǒng),小,知識點二三元平均值不等式,思考類比二元平均值不等式：(a＞0，b＞0)，請寫出a，b，c∈R＋時，三元平均值不等式.,梳理(1)定理3：對任意三個正數(shù)a，b，c，有a3＋b3＋c33abc(當且僅當a＝b＝c時取“＝”號).(2)定理4：對任意三個正數(shù)a，b，c，有(當且僅當a＝b＝c時取“＝”號).(3)平均值不等式的推廣,≥,≥,算術平均值,幾何平均值,≥,題型探究,A.③B.③④C.②③D.①②③④,類型一平均值不等式成立的條件,答案,解析,√,解析在①④中，lgx∈R，sinx∈[－1,1]，不能確定lgx>0，sinx>0，因此①④錯誤；,當且僅當x＝0時取等號，故②正確；,反思與感悟平均值不等式成立的條件(1)各項均為正數(shù).(2)當且僅當各項均相等時，“＝”才能成立.,跟蹤訓練1設a，b為實數(shù)，且ab>0，下列不等式中一定成立的個數(shù)是,A.1B.2C.3D.4,√,當a，b<0時，②不成立；,當a＝－1，b＝－2時，④不成立.因此，①③成立，故選B.,答案,解析,類型二用平均值不等式證明不等式,當且僅當a＝b＝c時等號成立.,證明,引申探究,證明,當且僅當a＝b＝c時取等號.,證明,證明,當且僅當a＝b＝c時等號成立.,反思與感悟證明不等式的方法(1)首先觀察所要證的式子結構特點及題目所給條件，看是否滿足“一正、二定、三相等”的條件.若滿足即可利用平均值不等式證明.(2)若題目不滿足該條件，則可靈活利用已知條件構造出能利用三個正數(shù)的基本不等式的式子.,跟蹤訓練2(1)已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；,證明,證明a4＋b4≥2a2b2，同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，將以上三個不等式相加，得a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2，當且僅當a＝b＝c時，等號成立.,當且僅當a＝b＝c時，等號成立.,證明,類型三證明不等式的技巧——“1”的代換,證明,證明方法一∵a，b，c為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1，,方法二∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，,當且僅當a＝b＝c時，等號成立.,引申探究,證明,證明∵a2＋b2≥2ab，,證明∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2ab＋2bc＋2ac，即2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，∴2(a2＋b2＋c2)＋a2＋b2＋c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，,證明,證明∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.,證明,反思與感悟用基本不等式證明不等式時，應首先依據(jù)不等式兩邊式子的結構特點進行恒等變形，使之具備基本不等式的結構和條件，然后合理地選擇基本不等式進行證明.,證明∵a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，,由于上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘,證明,達標檢測,1,2,4,3,5,1.下列不等式中，正確的個數(shù)是,答案,解析,A.0B.1C.2D.3,√,1,2,4,3,5,解析顯然①不正確；③正確；,④不正確，如a＝1，b＝4.,1,2,4,3,5,2.下列不等式的證明過程正確的是,答案,解析,√,1,2,4,3,5,解析對于A，a，b必須同號；對于B，cosx不一定大于0；對于C，由x＜0，,1,2,4,3,5,當且僅當a＝b＝2時，等號成立.,答案,解析,√,1,2,4,3,5,答案,解析,3,故函數(shù)的最小值為3.,1,2,4,3,5,證明∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，,證明,規(guī)律與方法,1.應用平均值不等式證明問題時，如果能熟練掌握一些常見結論，可使應用更加靈活快捷.對于二元平均值不等式有以下結論.,(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.,2.對于三元平均值不等式有以下結論.,上式中a，b，c均為正數(shù)，等號成立的條件均為a＝b＝c.,本課結束,,