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1、第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析與校正 習題與解答 5-1 試求題5-75圖(a)、(b)網(wǎng)絡的頻率特性。 (a) (b) 圖5-75 R-C網(wǎng)絡 解 （a)依圖： (b)依圖： 5-2 某系統(tǒng)結構圖如題5-76圖所示，試根據(jù)頻率特性的物理意義，求下列輸入信號作用時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差 （1） （2） 解

2、 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為: 圖5-76 系統(tǒng)結構圖 頻率特性: 幅頻特性: 相頻特性: 系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù): 則 （1）當時, ，rm=1 則 （2） 當 時:

3、 5-3 若系統(tǒng)單位階躍響應 試求系統(tǒng)頻率特性。 解 則 頻率特性為 5-4 繪制下列傳遞函數(shù)的幅相曲線： 解 幅頻特性如圖解5-4(a)。 幅頻特性如圖解5-4(

4、b)。 圖解5-4 幅頻特性如圖解5-4(c)。 5-5 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試分別計算 和 時開環(huán)頻率特性的幅值和相角。 解 計算可得 5-6 試繪制下列傳遞函數(shù)的幅相曲線。 (1) (2) 解 (1)

5、 取ω為不同值進行計算并描點畫圖，可以作出準確圖形 三個特殊點： ① ω=0時， ② ω=0.25時, ③ ω=∞時, 幅相特性曲線如圖解5-6（1）所示。 圖解5-6（1）Nyquist圖 圖解5-6（2） Nyquist圖 (2) 兩個特殊點： ① ω=0時，

6、 ② ω=∞時, 幅相特性曲線如圖解5-6（2）所示。 5-7 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) ； 當時，，；當輸入為單位速度信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1。試寫出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表達式。 解 先繪制的幅相曲線，然后順時針轉180即可得到幅相曲線。的零極點分布圖及幅相曲線分別如圖解5-7(a)、(b)所示。的幅相曲線如圖解5-7(c)所示。 依題意有： ， ，因此。 另有： 可得： ，，。 所以： 5-8 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試概略

7、繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線。 解 的零極點分布圖如圖解5 -8(a)所示。 變化時，有 分析平面各零極點矢量隨的變化趨勢，可以繪出開環(huán)幅相曲線如圖解5-8(b)所示。 5-9 繪制下列傳遞函數(shù)的漸近對數(shù)幅頻特性曲線。 (1) ； (2) ； (3) (4) (5) 解 (1) 圖解5-9（1） Bode圖 Nyquist圖 (2) 圖解5-9（2） Bode圖

8、 Nyquist圖 (3) 圖解5-9（3） Bode圖 Nyquist圖 (4) 圖解5-9（4） Bode圖 Nyquist圖 (5) 圖解5-9（5） Bode圖 Nyquist圖 5-10 若傳遞函數(shù) 式中，為中，除比例和積分兩種環(huán)節(jié)外的部分。試證

9、 式中，為近似對數(shù)幅頻特性曲線最左端直線（或其延長線）與0dB線交點的頻率，如圖5－77所示。 證 依題意，G(s)近似對數(shù)頻率曲線最左端直線(或其延長線)對應的傳遞函數(shù)為。 題意即要證明的對數(shù)幅頻曲線與0db交點處的頻率值。因此，令 ，可得 , 故 ，證畢。 5-11 三個最小相角系統(tǒng)傳遞函數(shù)的近似對數(shù)幅頻特性曲線分別如圖5-78(a)、(b)和(c)所示。要求： （1）寫出對應的傳遞函數(shù)； （2）概略繪制對應的對數(shù)相頻特性曲線。 圖 5－78 5－11題圖 解 (a) 依圖可寫出： 其中

10、參數(shù)： ， 則： 圖解5-11（a） Bode圖 Nyquist圖 (b) 依圖可寫出 圖解5-11（b） Bode圖 Nyquist圖 (c) 圖解5-11（c） Bode圖 Nyquist圖 5-12 已知、和均為最小相角傳遞函數(shù)，其近似

11、對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-79所示。試概略繪制傳遞函數(shù) 的對數(shù)幅頻、對數(shù)相頻和幅相特性曲線。 解：(1) 則： 圖5-79 5-12題圖 (2) , (3) (4) 將代入得： 對數(shù)頻率特性曲線如圖解5-12(a)所示,幅相特性曲線如圖解5-12(b)所示： 圖解5-12 (a) Bode圖

12、 (b) Nyquist圖 5-13 試根據(jù)奈氏判據(jù)，判斷題5-80圖(1)～(10)所示曲線對應閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。已知曲線(1)～(10)對應的開環(huán)傳遞函數(shù)如下（按自左至右順序）。 解 題5-13計算結果列表 題號 開環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán) 穩(wěn)定性 備注 1 0 -1 2 不穩(wěn)定 2 0 0 0 穩(wěn)定 3 0 -1 2 不穩(wěn)定 4 0 0 0 穩(wěn)定 5 0 -1 2 不穩(wěn)定 6 0 0 0 穩(wěn)定 7 0 0 0 穩(wěn)定

13、 8 1 1/2 0 穩(wěn)定 9 1 0 1 不穩(wěn)定 10 1 -1/2 2 不穩(wěn)定 5-14 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試根據(jù)奈氏判據(jù)，確定其閉環(huán)穩(wěn)定的條件： ； （1）時，值的范圍； （2）時，值的范圍； （3）值的范圍。 解 令 ，解出，代入表達式并令其絕對值小于1 得出： 或 （1）時，； （2）時，； （3）值的范圍如圖解5-14中陰影部分所示。 5-15 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試概略繪制幅相特性曲線，并根據(jù)奈氏判

14、據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 作出系統(tǒng)開環(huán)零極點分布圖如圖解5-15（a）所示。的起點、終點為： 與實軸的交點： 令 可解出 代入實部 概略繪制幅相特性曲線如圖解5-15（b）所示。根據(jù)奈氏判據(jù)有 所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5-16 某系統(tǒng)的結構圖和開環(huán)幅相曲線如圖5-81 (a)、(b)所示。圖中 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并決定閉環(huán)特征方程正實部根個數(shù)。 解 內(nèi)回路開環(huán)傳遞函數(shù):

15、 大致畫出的幅相曲線如圖解5-16所示?？梢姴粫鼑?1,j0）點。 即內(nèi)回路小閉環(huán)一定穩(wěn)定。內(nèi)回路小閉環(huán)極點（即開環(huán)極點）在右半S平面的個數(shù)為0。 由題5-16圖(b)看出:系統(tǒng)開環(huán)頻率特性包圍（-1,j0）點的圈數(shù) N=-1。根據(jù)勞斯判據(jù) 系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)極點在右半S平面。 5-17 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試根據(jù)奈氏判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 作出系統(tǒng)開環(huán)零極點分布圖如圖解5-17(a)所示。 的起點

16、、終點為： 幅相特性曲線與負實軸無交點。由于慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，小于不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，故呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢。繪出幅相特性曲線如圖解5-17(b)所示。根據(jù)奈氏判據(jù) 表明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5-18 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 作出系統(tǒng)開環(huán)零極點分布圖如圖解5-18(a)所示。當變化時，的變化趨勢：

17、 繪出幅相特性曲線如圖解5-18(b)所示。根據(jù)奈氏判據(jù) 表明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5-19 已知反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 (1) (2) (3) (4) 試用奈氏判據(jù)或對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。 解 (1) 畫Bode圖得： 圖解5-19 (1) Bode圖 Nyquist圖

18、 (2) 畫Bode圖判定穩(wěn)定性：Z=P-2N=0-2(-1)=2 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 由Bode圖得： 令： 解得 令： 解得 圖解5-19 (2) Bode圖 Nyquist圖 (3) 畫Bode圖得： 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 圖解5-19 (3) Bode圖 Nyquist圖 (4) 畫Bode圖得： 圖解5

19、-19(4) Bode圖 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5-20 設單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定相角裕度為45時的α值。 解 開環(huán)幅相曲線如圖所示。以原點為圓心作單位圓，在Ａ點： 即： (1) 要求相位裕度 即： (2) 聯(lián)立求解（1）

20、、（2）兩式得：， 。 5-24 某最小相角系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖5-82所示。要求 （1） 寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)； （2） 利用相角裕度判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性； （3） 將其對數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程，試討論對系統(tǒng)性能的影響。 解（1）由題5-29圖可以寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下： （2）系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性為 截止頻率 相角裕度 故系統(tǒng)穩(wěn)定。 （3）將其對數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程后，可得系統(tǒng)新的開環(huán)傳遞函數(shù) 其截止頻率 而相角裕度 故系統(tǒng)穩(wěn)定性不

21、變。由時域指標估算公式可得 = 所以，系統(tǒng)的超調量不變，調節(jié)時間縮短，動態(tài)響應加快。 5-25 對于典型二階系統(tǒng)，已知參數(shù)，，試確定截止頻率和相角裕度。 解 依題意，可設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-25所示，得 5-26 對于典型二階系統(tǒng)，已知％=15％，，試計算相角裕度。 解 依題意，可設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 依題 聯(lián)立求解 有 繪制開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-26所示，得 5-27 某單位反饋系統(tǒng)，

22、其開環(huán)傳遞函數(shù) 試應用尼柯爾斯圖線，繪制閉環(huán)系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。 解 由G(s)知：20lg16.7=24.5db 交接頻率： , , 應用尼柯爾斯曲線得： ω 0.01 0.05 0.1 0.3 0.6 3 10 20 30 40 50 60 70 80 100 |G|db -15 -2 4 13 19 24 15 7 2 -3 -7 -10 -13 -16 -20 88 85 83 70 54 -23 -94 -127 -143 -151

23、 -156 -160 -163 -164 -166 M (db) -15 -4.5 -2 -.75 -0.6 -0.5 0 1.8 4.3 2.3 -3.4 -7.5 -11 -16 -20 69 48 30 12 5 -1 -11 -28 -53 -110 -140 -152 -158 -162 -165 圖解5-27 Bode圖 Nyquist圖 5-28 某控制系統(tǒng)，其結構圖如圖5-83所示，圖中 圖

24、5-83 某控制系統(tǒng)結構圖 試按以下數(shù)據(jù)估算系統(tǒng)時域指標σ％和ts。 （1）γ和ωc （2）Mr和ωc （3）閉環(huán)幅頻特性曲線形狀 解 (1) 查圖5-56 得 秒 (2) 根據(jù),估算性能指標 當 ω=5 時: L(ω)=0, (ω)=-111 找出: , =6 查圖5-62 得 秒 (3) 根據(jù)閉環(huán)幅頻特性的形狀 ω 0.3 1 2 3 4 5

25、6 7 8 9 10 L(db) 36 18 9.5 5 3 0 -2 -4 -5 -7 -20 () -142.5 -130 -118.5 -114 -111 -111 -112.5 -115.5 -118.5 -124 -148 M(db) 0 0.68 1 1.05 0 1.1 -2.1 -3.3 -4 -5.5 -19.3 令 或

26、 秒 5-29 已知控制系統(tǒng)結構圖如圖5-84所示。當輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 。試確定系統(tǒng)的參數(shù)。 解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 令 聯(lián)立求解可得 ，。 采用串聯(lián)遲后校正。試探，使 取 取 取 取 過作，使；過畫水平線定出；過作-20dB/dec線交0dB線

27、于。可以定出校正裝置的傳遞函數(shù) 校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 驗算： 5-35 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）若要求校正后系統(tǒng)的相角裕度為30，幅值裕度為10～12(dB)，試設計串聯(lián)超前校正裝置； （2）若要求校正后系統(tǒng)的相角裕度為50，幅值裕度為30～40(dB)，試設計串聯(lián)遲后校正裝置。 解 (1) 依題作圖未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-35(a)所示 校正

28、前： , (系統(tǒng)不穩(wěn)定） 超前校正后截止頻率大于原系統(tǒng)，而原系統(tǒng)在之后相角下降很快，用一級超前網(wǎng)絡無法滿足要求。 (2) 設計遲后校正裝置 經(jīng)試算在處有 ∴ 取 對應 在 以下24.436dB畫水平線，左延10dec到對應ω=處,作線交0dB線到E：，因此可得出遲后校正裝置傳遞函數(shù)：

29、 試算： 由Bode圖： 幅值裕度h不滿足要求。為增加，應將高頻段壓低。重新設計：使滯后環(huán)節(jié)高頻段幅值衰減40dB()。求對應處的 查慣性環(huán)節(jié)表,在處： 以交0dB線于E：（），得出滯后校正裝置傳遞函數(shù)： 在處: 驗算： （滿足要求） 因此確定： 5-36 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

30、 要求校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)Ｋv≥5(rad/s)，截止頻率ωc≥2(rad/s)，相角裕度γ≥45，試設計串聯(lián)校正裝置。 解 在以后，系統(tǒng)相角下降很快，難以用超前校正補償；遲后校正也不能奏效，故采用遲后-超前校正方式。根據(jù)題目要求，取 ， 原系統(tǒng)相角裕度 最大超前角 查教材圖5-65(b) 得： ， 過作，使；過作20dB/dec線并且左右延伸各3倍頻程，定出、，進而確定、點。各點對應的頻率為：

31、 有 驗算： 5-37 已知一單位反饋控制系統(tǒng)，其被控對象G0(s)和串聯(lián)校正裝置Gc(s)的對數(shù)幅頻特性分別如圖5-86 (a)、(b)和(c)中和所示。要求： （1）寫出校正后各系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)； （2）分析各對系統(tǒng)的作用，并

32、比較其優(yōu)缺點。 解 (a) 未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 采用遲后校正后 畫出校正后系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖解5-37(a)所示。 有 ， 可見 (b) 未校正系統(tǒng)頻率指標同(a)。采用超前校正后 畫出校正后系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖解5-37(b)所示。 可見 (c) 校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

33、 畫出校正后系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，可見采用串聯(lián)滯后—超前校正后 5-38 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) （1）如果要求系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的超調量σ％=20％，試確定Ｋ值； （2）根據(jù)所求得的Ｋ值，求出系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的調節(jié)時間，以及靜態(tài)速度誤差系數(shù)； （3）設計一串聯(lián)校正裝置，使系統(tǒng)的，σ％≤17％，減小到校正前系統(tǒng)調節(jié)時間的一半以內(nèi)。 (1) 由式(5-81): （1） 由(6

34、-8), （2） 又 （3） 式(2)、(3)聯(lián)立： 解出： , (舍去） ∴ 開環(huán)增益 ∴ (2) 依式(5-82)： 依題有： (3) 依題要求 由第(2)步設計結果 對應于。由頻域時域的反比關系（

35、一定時），應取: 作出的原系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-38所示： （系統(tǒng)不穩(wěn)定） 在處，原系統(tǒng)相角儲備： 需采用遲后—超前校正方法。超前部分需提供超前角 查課本圖5-65(b),對應超前部分應滿足： 在處定出Ｃ使，過Ｃ作+20dB/dec直線（D、E相距10倍頻，C位于D、E的中點），交出D、E，得 定F點使,過F作-20dB/dec斜率直線交頻率軸于G，得 驗算： 查圖5-61

36、 （符合要求） 得出滿足要求的串聯(lián)校正裝置傳遞函數(shù)： 　　5-39 圖5-87為三種推薦的串聯(lián)校正網(wǎng)絡的對數(shù)幅頻特性，它們均由最小相角環(huán)節(jié)組成。若原控制系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù) 試問： （1）這些校正網(wǎng)絡中，哪一種可使校正后系統(tǒng)的穩(wěn)定程度最好？ （2）為了將12Hz的正弦噪聲削弱左右，你確定采用哪種校正網(wǎng)絡？ 解 （1） (a) 采用遲后校正時，校正裝置的傳遞函數(shù)為 校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 畫出對數(shù)幅頻特性曲線

37、如圖解5-39中曲線所示： 截止頻率 相角裕度 （系統(tǒng)不穩(wěn)定） (b) 采用超前校正時，校正裝置的傳遞函數(shù)為 校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 畫出對數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-39中曲線所示： 截止頻率 相角裕度 (c) 采用遲后-超前校正時，校正裝置的傳遞函數(shù)為 校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 畫出對數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-39中曲線所示： 截止頻率 相角裕度 可見，采用遲后校正時系統(tǒng)不穩(wěn)定；采用遲后-超前校正時穩(wěn)定程度最好，但響應速度比超前

38、校正差一些。 （2）確定使12Hz正弦噪聲削弱10倍左右的校正網(wǎng)絡 時， 對于單位反饋系統(tǒng)，高頻段的閉環(huán)幅頻特性與開環(huán)幅頻特性基本一致。從Bode圖上看，在處，有 衰減倍數(shù)，可見，采用遲后-超前校正可以滿足要求。 5-40 某系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖5-88所示，其中虛線表示校正前的，實線表示校正后的。要求 （1） 確定所用的是何種串聯(lián)校正方式，寫出校正裝置的傳遞函數(shù)； （2） 確定使校正后系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍； （3） 當開環(huán)增益時，求校正后系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。 解（1）由系統(tǒng)校正前、后開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線可得校正裝置的對數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-40所示。 從而可得 所用的是串聯(lián)遲后-超前校正方式。 （2）由圖5-88中實線可寫出校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 校正后系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 列勞思表 1 1000 110 1000K (11000-1000K)/110 → K<110 1000K → K>0 所以有 。 （3）當時，由圖5-88可看出 所以有 113