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1、第九章 導行電磁波 重點和難點 本章應以矩形波導為重點，介紹導波系統(tǒng)的傳輸特性。介紹幾種常用導波系統(tǒng)時，應著重介紹傳輸?shù)牟ㄐ徒Y(jié)構(gòu)和使用的頻率范圍。若有實物，可帶入教室向?qū)W生展示。 介紹矩形波導中的電磁波時，應著重講解求解方法、傳播特性以及波導中的電磁場分布。傳播特性中的多模特性、截止波長及波導波長等概念應為重點。 通過矩形波導中的TE10波的分析進一步說明波導中的場分布，波導壁上的電流分布，波導波長和工作波長之間的關(guān)系，以及波導中的相速和能速之間的關(guān)系。關(guān)于同軸線，著重介紹如何設(shè)計尺寸，抑制高次模。對于諧振腔，著重介紹多諧性及其應用。 群速及圓波導內(nèi)容可以根據(jù)學時適當從簡

2、。 重要公式 直角坐標系中橫向場的縱向場表示： 式中，。 矩形波導中的TM波 矩形波導中的TE波 矩形波導中電磁波的傳播特性： 截止傳播常數(shù)： 截止頻率： 截止波長： 矩形波導的尺寸： ； 相速： 波導波長： TM波的波阻抗： TE波的波阻抗： 矩形波導中的TE10波： 場方程： 截止波長： 相速： 波導波長： 能速： 群速： 色散媒質(zhì)中窄帶信號的群速： 矩形波導中的群速： 圓柱坐標系中橫向場的縱向場表示：

3、 圓波導中的TM波： 圓波導中的TM波： 圓波導中電磁波的傳播特性： TM波的截止傳播常數(shù)： TE波的截止傳播常數(shù)： 圓波導的尺寸： 矩形波導的最大傳輸功率： 諧振腔： 矩形諧振腔的諧振波長： 矩形諧振腔的諧振頻率： 同軸線的尺寸： 題 解 9-1 推導式（9-1-4）。 解 已知在理想介質(zhì)中，無源區(qū)內(nèi)的麥克斯韋旋度方程為 ， 令 ， 則 將上式代入旋度方程并考慮到，可得 整理上述

4、方程，即可獲得式（9-1-4）。 9-2 推導式（9-2-17）。 解 對于波，。應用分離變量法，令 由于滿足標量亥姆霍茲方程，得 此式要成立，左端每項必須等于常數(shù)，令 ； 顯然，。由上兩式可得原式通解為 根據(jù)橫向場與縱向場的關(guān)系式可得 因為管壁處電場的切向分量應為零，那么，TE波應該滿足下述邊界條件： ； 將邊界條件代入上兩式，得 故的通解為 其余各分量分別為 9-3 試證波導中的工作波長、波導波長與截止波長之間滿足下列關(guān)系 解 已知波導中電磁波的波長為

5、 則 即 9-4 已知空氣填充的矩形波導尺寸為，若工作頻率，給出可能傳輸?shù)哪Ｊ?。若填充介質(zhì)以后，傳輸模式有無變化？為什么？ 解 當內(nèi)部為空氣時，工作波長為，則 截止波長為 那么，能夠傳輸?shù)碾姶挪úㄩL應滿足，若令，則k應滿足。滿足此不等式的m，n數(shù)值列表如下： 0.25 1 2.25 4 1 1.25 2 3.25 4 4.25 由此可見，能夠傳輸?shù)哪Ｊ綖? 填充介質(zhì)以后，已知介質(zhì)中的波長為，可見工作波長縮短，傳輸模式增多，因此除了上述傳輸模式外，還可能傳輸其它高次模式。

6、9-5 已知矩形波導的尺寸為，若在區(qū)域中填充相對介電常數(shù)為的理想介質(zhì)，在區(qū)域中為真空。當TE10波自真空向介質(zhì)表面投射時，試求邊界上的反射波與透射波。 解 已知波導中沿軸傳輸?shù)牟ǖ碾妶鰪姸葹? 那么，反射波和透射波的電場強度可分別表示為 ； 式中 ； 考慮到邊界上電場強度與磁場強度的切向分量必須連續(xù)的邊界條件，因而在處，獲知 根據(jù)波阻抗公式，獲知z < 0和z > 0區(qū)域中的波阻抗分別為 將場強公式代入，得 ，； ， 根據(jù)上述邊界條件，得 那么，處的反射系數(shù)及透射系數(shù)分別為 ; 反射波與透射波的電場強度分別為 ; 根據(jù)，可得反射波的磁場強度為

7、 根據(jù)，可得透射波的磁場強度 9-6 試證波導中時均電能密度等于時均磁能密度，再根據(jù)能速定義，導出式（9-4-9）。 解 在波導中任取一段，其內(nèi)復能量定理式（7-11-14）成立?？紤]到波導為理想導電體，內(nèi)部為真空，因此內(nèi)部沒有能量損耗。因此式（7-11-14）變?yōu)? 因為流進左端面的能量應該等于流出右端面的能量，故上式左端面積分為零，因而右端體積分為零。但是右端被積函數(shù)代表能量，只可能大于或等于零，因此獲知 已知能速的定義為，對于TE波，波導中平均能量密度為 波導中能流密度平均值僅與場強的橫向分量有關(guān)。對于TE波，能流密度的平均值為 波導中

8、電場和磁場的橫向分量關(guān)系為 將上述結(jié)果代入，求得TE波的能速為 同理對于TM波也可或獲得同樣結(jié)果。 9-7 試證波導中相速與群速的關(guān)系為 解 根據(jù)群速的定義，對于波導，。又知波導的相位常數(shù)與相速的關(guān)系為 ，則 根據(jù)波導波長與相位常數(shù)的關(guān)系，得 則 9-8 推導式（9-6-3） 解 將麥克斯韋旋度方程，在圓柱坐標系中展開，得 將代入上式，并考慮到，得 ；； ；； 上式整理后，即可求得橫向分量的表示式為 其中 9-9 推導式（9-6-18） 解 對于TE波， 建立圓柱坐標系，滿足的亥姆

9、霍茲方程為 令，代入上式，得 令方程兩邊等于，獲得下述兩個常微分方程： 其中的通解為 由于隨角度的變化周期為2p，因此，必須為整數(shù)。即 式中m = 1,2,3?？紤]到圓波導具有旋轉(zhuǎn)對稱性，的坐標軸可以任意確定，總可適當選擇的坐標軸，使上式中的第一項或第二項消失，因此，上式可表示為 的通解為 考慮到圓波導中心處的場應為有限，但時，，故常數(shù)，即。因此的通解為 那么，根據(jù)圓波導的橫向分量的縱向場分量表示式，即可求得各個分量的表示式。 9-10 已知空氣填充的圓波導直徑，若工作頻率，給出可能傳輸?shù)哪Ｊ?，若填充相對介質(zhì)常數(shù)的介質(zhì)以

10、后，再求可能傳輸?shù)哪Ｊ健? 解 當圓波導內(nèi)為空氣時，工作波長為 已知TM波的截止波長為，因此能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄牡谝活愔惾麪柕母鵓mn必須滿足下列不等式 由教材表9-6-1可見，滿足上述條件的只有P01因此只有波存在。 TE波的截止波長為，那么能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄牡谝活愔惾麪柕膶?shù)根必須滿足下列不等式 由教材表9-6-2可見，滿足上述條件的只有和，因此只有和波可以傳輸。 填充介電常數(shù)為理想介質(zhì)后，工作波長為，則能夠傳輸?shù)腡M模式對應的第一類柱貝塞爾的根Pmn必須滿足下列不等式 由教材表9-6-1可見，滿足上述條件的模式為。 能夠傳輸?shù)腡E模式對應的第一類柱貝

11、塞爾的導數(shù)根必須滿足下列不等式 那么，由原書表9-6-2可見，滿足上述條件的模式為。 9-11 當比值為何值時，工作于主模的矩形波導中波導壁產(chǎn)生的損耗最??？（指獲得最小衰減常數(shù)）。 解 當矩形波導傳播波時，其衰減常數(shù)為 式中A僅與波導的參數(shù)有關(guān)。令，則求k的最小值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題。由，得，解此方程，得 若取，則。由于，則。故 不合理。應取 即 得 9-12 已知空氣填充的銅質(zhì)矩形波導尺寸為，工作于主模，工作頻率。試求：① 截止頻率、波導波長及衰減常數(shù)；② 當場強振幅衰減一半時的距離。 解 當工作于主模波時，則截止頻率為

12、 波導波長為 因矩形波導為空氣填充，故僅需考慮波導壁產(chǎn)生的衰減，則衰減常數(shù)為 對于銅制波導，波導壁表面電阻，則 設(shè)場強衰減一半時的距離為d，由，求得 9-13 已知空氣填充的銅質(zhì)圓波導直徑，工作于主模，工作頻率，試求，① 截止頻率、波導波長及衰減常數(shù)；② 當場強衰減一半的距離。 解 當圓波導工作于主模波時，則截止頻率為 波導波長為 由于波導是空氣填充,因此只需考慮波導壁的損耗。根據(jù)衰減常數(shù)的定義，求得 其中波導壁表面電阻 波數(shù) 傳播常數(shù) 截止傳播常數(shù)，那么，求得 設(shè)場強衰減一半時的距離為，由，求得 d = 163（m） 9-

13、14 已知空氣填充的矩形波導尺寸為，工作頻率。若空氣的擊穿場強為，試求該波導能夠傳輸?shù)淖畲蠊β省? 解 由于波導是空氣填充，故工作波長為 已知，為了滿足，該波導只能傳播波，其截止波長為 此時，矩形波導能夠傳輸?shù)淖畲蠊β蕿?，式中為波導中空氣的擊穿強度，? 又知該矩形波導的波阻抗 求得該矩形波導能夠傳輸?shù)淖畲蠊β蕿? 9-15 若波導中填充介質(zhì)的參數(shù)為，試證由于填充介質(zhì)產(chǎn)生的衰減常數(shù)為 解 當波導中填充的媒質(zhì)具有一定的電導率時，可以引入等效介電常數(shù)，即令。因此，波導中的波數(shù)。 已知 ， 那么 考慮到通常s << we，上式可簡化為

14、 令傳播常數(shù)，那么，衰減常數(shù)為 9-16 已知空氣填充的銅質(zhì)矩形波導尺寸為，工作于主模，工作頻率。若該波導傳輸功率為，試求：① 波導壁產(chǎn)生的衰減常數(shù)；② 波導中電場及磁場強度的最大值；③ 波導壁上電流密度的最大值；④ 每米長度內(nèi)的損耗功率。 解 ①已知工作于主模的空氣填充的矩形波導，波導壁產(chǎn)生的衰減常數(shù)為 式中波導壁的表面電阻，工作波長，那么衰減常數(shù)為 ②設(shè)波導中的復能流密度為，橫截面為，則波導中的傳輸功率為 由于波導中填充理想介質(zhì)，波阻抗為實數(shù)，橫向電場與橫向磁場的相位相同，則 。 已知矩形波導中波強度的橫向分量為 考慮到，則由上述場強公式求得

15、 因 則 那么，當傳輸功率P = 1000(W)時，則 由此求得波導中電場及磁場強度的最大值分別為 ③根據(jù)波導壁上磁場分量，即可求得波導壁上的表面電流。窄壁上表面電流為 其最大值為 寬壁上表面電流為 因此，寬壁上表面電流的振幅為 令，則 由，獲知，，為極點。又因 計算表明，當，； 當，； 當，。 由此可見，當時，即寬邊中部取得最大值，求得表面電流最大值為 ④因，損耗功率，那么，單位長度內(nèi)的損耗功率為 9-17 試證式（9-8-8）。 解 已知表面電流，式中為導體表面的外法線方向上

16、的單位矢量。那么，表面電流的大小為，式中表示表面磁場的切向分量。因此，損耗功率為 此面積分應沿諧振腔的6個內(nèi)壁求積，即 已知式中 則 代入后，求得 9-18 推導式（9-8-10）及式（9-8-12）。 解 當圓波導傳播TM波時，則 若諧振腔的長度為l，則。那么， 又知，則諧振頻率為 同理，對于TE波的圓柱諧振腔，可以證明諧振頻率為 9-19 已知矩形波導諧振腔的尺寸為，試求發(fā)生諧振的4個最低模式及其諧振頻率。 解 已知矩形波導諧振腔的諧振頻率為 當腔內(nèi)為真空時，根據(jù)題中給定的尺寸，則諧

17、振頻率為 那么，發(fā)生諧振的4個最低模式為TM110，TE101，TE011，TE111和TM111，對應的諧振頻率分別為 ； ； 9-20 已知空氣填充的圓波導半徑為10mm，若用該波導形成諧振腔，試求為了使30GHz電磁波諧振于TM021模式所需的波導長度。 解 已知圓波導諧振腔工作于TM波時，其諧振頻率為 若要求，令腔長為半波導波長，即l = 1，那么，諧振腔的最短長度d由下式 求得 d = 10.5(mm) 9-21 已知空氣填充的矩形波諧振腔尺寸為，諧振模式為TE102，在保證尺寸不變條件下，如何使諧振模式變?yōu)門E103。 解 已知

18、矩形諧振腔的諧振頻率為 由此可見，改變腔內(nèi)介質(zhì)的介電常數(shù)即可變更諧振腔的諧振頻率。當腔內(nèi)充滿空氣時，諧振于模式的諧振頻率為 若腔內(nèi)充滿介質(zhì)，諧振于模式的諧振頻率為 由f102 = f103，求得填充介質(zhì)的相對介電常數(shù) 。 9-22 試證波導諧振腔中電場儲能最大值等于磁場儲能最大值。 解 波導諧振腔內(nèi)的電磁場應該滿足無源區(qū)中的麥克斯韋方程，即 設(shè)諧振腔的體積為V，則電場最大儲能為，磁場最大儲能為，那么 因 故 利用矢量恒等式，則式中第一項積分的被積函數(shù)可改寫為 由于腔壁上電場強度的切向分量為零，即 故面積分 ，則

19、 考慮到 則 9-23 已知空氣填充的黃銅矩形諧振腔的尺寸為，諧振模式為TE111，黃銅的電導率，試求該諧振腔的品質(zhì)因素。 解 矩形波導中波的電場與磁場的各分量為 則在諧振模式下的場分量為 其電場最大值為 ；電場儲能密度的時間最大值為，則整個腔內(nèi)的電場儲能的時間最大值為 已知表面電流，式中為導體表面的外法線方向上的單位矢量。那么，表面電流的大小為，式中表示表面磁場的切向分量。因此，損耗功率為 此面積分應沿諧振腔的6個內(nèi)壁求積，即 其中 則損耗功率為 諧振腔的品質(zhì)因數(shù)為 因 ，，，(m)，求得品質(zhì)因數(shù) 。 9-24 試證由理想導電體制成的、介質(zhì)填充的波導諧振腔品質(zhì)因素，式中及分別為填充介質(zhì)的介電常數(shù)及電導率。 解 由于諧振腔是理想導體，故腔壁的損耗可以不計，僅需考慮填充介質(zhì)的損耗。已知品質(zhì)因數(shù)為 式中 又 求得 29