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1、,第一章,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),三、極限存在準(zhǔn)則,,,一、數(shù)列極限的定義,第二節(jié),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,數(shù)列的極限,數(shù)學(xué)語言描述:,,,,一、數(shù)列極限的定義,引例.,設(shè)有半徑為r的圓,,逼近圓面積S.,如圖所示,可知,當(dāng)n無限增大時(shí),,無限逼近S(劉徽割圓術(shù)),,當(dāng)n>N時(shí),,用其內(nèi)接正n邊形的面積,總有,劉徽目錄上頁下頁返回結(jié)束,,,定義:,自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,,記作,或,稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).,若數(shù)列,及常數(shù)a有下列關(guān)系:,當(dāng)n>N時(shí),,總有,記作,此時(shí)也稱數(shù)列收斂,否則稱數(shù)列發(fā)散.,幾何解釋:,即,或,,,,,則稱該數(shù)列,,,的極限為a,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例如,,趨勢(shì)

2、不定,收斂,發(fā)散,,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例1.已知,證明數(shù)列,的極限為1.,證:,欲使,即,只要,因此,取,則當(dāng),時(shí),就有,故,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2.已知,證明,證:,欲使,只要,即,取,則當(dāng),時(shí),就有,故,故也可取,也可由,,N與?有關(guān),但不唯一.,不一定取最小的N.,說明:,取,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例3.設(shè),證明等比數(shù)列,證:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,,則當(dāng)n>N時(shí),,就有,故,的極限為0.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),證:用反證法.,及,且,取,因,故存在N1,,從而,同理,因,故存在N2,,使當(dāng)n>N2時(shí),有,,1.收斂數(shù)列的極限唯

3、一.,使當(dāng)n>N1時(shí),,,,,假設(shè),,,,從而,矛盾.,因此收斂數(shù)列的極限必唯一.,則當(dāng)n>N時(shí),,故假設(shè)不真!,滿足的不等式,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例4.證明數(shù)列,是發(fā)散的.,證:用反證法.,假設(shè)數(shù)列,收斂,,則有唯一極限a存在.,取,則存在N,,但因,交替取值1與－1,,內(nèi),,而此二數(shù)不可能同時(shí)落在,,長度為1的開區(qū)間,使當(dāng)n>N時(shí),有,因此該數(shù)列發(fā)散.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,2.收斂數(shù)列一定有界.,證:設(shè),取,則,當(dāng),時(shí),,從而有,取,則有,由此證明收斂數(shù)列必有界.,說明:此性質(zhì)反過來不一定成立.,例如,,雖有界但不收斂.,有,數(shù)列,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,3.收斂數(shù)列的保號(hào)性

4、.,若,且,時(shí),有,證:,對(duì)a>0,,取,,推論:,若數(shù)列從某項(xiàng)起,(用反證法證明),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,*********************,4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.,證:設(shè)數(shù)列,是數(shù)列,的任一子數(shù)列.,若,則,當(dāng),時(shí),有,現(xiàn)取正整數(shù)K,使,于是當(dāng),時(shí),有,從而有,由此證明,,,,,,*********************,,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,三、極限存在準(zhǔn)則,由此性質(zhì)可知,,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極,限,,例如，,,發(fā)散!,夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西審斂準(zhǔn)則.,則原數(shù)列一定發(fā)散.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,說明:,1.夾逼準(zhǔn)則(準(zhǔn)則1)(

5、P49),,證:,由條件(2),,當(dāng),時(shí),,當(dāng),時(shí),,令,則當(dāng),時(shí),有,由條件(1),即,故,,,,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例5.證明,證:利用夾逼準(zhǔn)則.,且,由,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限(準(zhǔn)則2)(P52),(證明略),,,,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例6.設(shè),證明數(shù)列,極限存在.(P52～P54),證:利用二項(xiàng)式公式,有,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,,,大,,,大,,正,又,比較可知,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列,記此極限為e,,e為無理數(shù),其值為,即,有極限.,原題目錄上頁下頁返回結(jié)束,又,*3.柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理)(P55),數(shù)

6、列,極限存在的充要條件是:,存在正整數(shù)N,,使當(dāng),時(shí),,證:“必要性”.,設(shè),則,時(shí),有,使當(dāng),因此,“充分性”證明從略.,有,柯西目錄上頁下頁返回結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1.數(shù)列極限的“?–N”定義及應(yīng)用,2.收斂數(shù)列的性質(zhì):,唯一性;有界性;保號(hào)性;,任一子數(shù)列收斂于同一極限,3.極限存在準(zhǔn)則:,夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西準(zhǔn)則,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,思考與練習(xí),1.如何判斷極限不存在?,方法1.找一個(gè)趨于∞的子數(shù)列;,方法2.找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.,2.已知,,求,時(shí),,下述作法是否正確?說明理由.,設(shè),由遞推式兩邊取極限得,,,不對(duì)!,此處,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,作業(yè),P303

7、(2),(3),4,6P564(1),(3),4(3)提示:,可用數(shù)學(xué)歸納法證,第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束,故極限存在，,備用題,1.設(shè),,且,求,解：,設(shè),則由遞推公式有,,∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,故,利用極限存在準(zhǔn)則,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,2.設(shè),證:,顯然,證明下述數(shù)列有極限.,即,單調(diào)增,,又,存在,“拆項(xiàng)相消”法,劉徽(約225–295年),,我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.,他撰寫的《重,差》對(duì)《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評(píng),注,,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué),理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).,他的“割圓術(shù)”求圓周率,“割之彌細(xì),所失彌小,,割之又割,以至于不可割,,則與圓合體而無所失矣”,它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要,極限思想.,?的方法:,柯西(1789–1857),,法國數(shù)學(xué)家,,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中,在微積分學(xué),,《柯,西全集》共有27卷.,其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué),校編寫的《分析教程》,,《無窮小分析概論》,《微積,分在幾何上的應(yīng)用》等,,有思想有創(chuàng)建,,響廣泛而深遠(yuǎn).,對(duì)數(shù)學(xué)的影,他是經(jīng)典分析的奠人之一,,他為微積分,所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.,復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.,一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,,