人教版選擇性必修一 數(shù)學(xué) 第1學(xué)習(xí)單元 1空間向量及其運(yùn)算，空間向量基本定理 1. 如何理解空間向量？它與平面向量有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 2. 空間向量夾角的范圍與平面向量夾角的范圍一樣嗎？ 3. 如圖，在平行六面體 ABCD?A1B1C1D1 中，AB=a，AD=b，AA1=c，E 為 A1D1 的中點(diǎn)，F(xiàn) 為 BC1 與 B1C 的交點(diǎn)． (1) 用基底 a,b,c 表示下列向量：DB1，BE，AF； (2) 在圖中畫出 DD1+DB+CD 化簡(jiǎn)結(jié)果的向量． 4. 已知 A，B，C 三點(diǎn)不共線，對(duì)平面 ABC 外的任一點(diǎn) O，若點(diǎn) M 滿足 OM=13OA+OB+OC． (1) 判斷 MA，MB，MC 三個(gè)向量是否共面； (2) 判斷點(diǎn) M 是否在平面 ABC 內(nèi)． 5. 已知 P 是平面 ABC 外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：PC⊥BC． 6. 如圖所示，已知在一個(gè) 60° 的二面角的棱上，有兩個(gè)點(diǎn) A，B，AC，BD 分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于 AB 的線段，且 AB=4?cm，AC=6?cm，BD=8?cm，求 CD 的長(zhǎng)． 7. 已知空間四邊形 OABC 各邊及對(duì)角線 AC，OB 的長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn) 分別為 AB，OC 的中點(diǎn)，求異面直線 OE 與 BF 所成角的余弦值． 答案 1. 【答案】（1）空間點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量．平移實(shí)際就是點(diǎn)到點(diǎn)的一次變換，因此我們說空間任意兩個(gè)向量是共面的． （2）向量一般用有向線段表示．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量． （3）空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示． 空間向量和平面向量沒有本質(zhì)區(qū)別，都是表示具有大小和方向的量，它們的運(yùn)算規(guī)律完全相同．空間向量的相關(guān)定理及公式與平面向量類似，可以類比學(xué)習(xí)． 2. 【答案】（1）任意兩個(gè)空間向量均是共面的，故空間向量夾角的范圍與平面向量夾角的范圍一樣，即 0,π． （2）空間向量夾角的范圍是 0,π，但直線夾角的范圍是 0,π2，利用向量求直線夾角時(shí)注意轉(zhuǎn)化，兩直線夾角的余弦值一定為非負(fù)數(shù)． 3. 【答案】 (1) DB1=DC+CB1=DC+BB1?BC=a?b+c； BE=BA+AA1+A1E=?a+12b+c； AF=AB+BF=a+12b+c=a+12b+12c． (2) DD1+DB+CD=DD1+CD+DB=DD1+CB=DD1+D1A1=DA1， 如圖，連接 DA1， 則 DA1 即為所求向量． 4. 【答案】 (1) 由已知得 OA+OB+OC=3OM， 所以 OA?OM=OM?OB+OM?OC， 即 MA=BM+CM=?MB?MC， 所以 MA，MB，MC 三個(gè)向量共面． (2) 由（1）知，MA，MB，MC 共面且過同一點(diǎn) M， 所以 M，A，B，C 四點(diǎn)共面，即點(diǎn) M 在平面 ABC 內(nèi)． 5. 【答案】如圖，因?yàn)?PA⊥平面ABC，PC 是平面 ABC 的斜線， 所以 AC 是 PC 在平面 ABC 上的射影， 又 BC?平面ABC，且 AC⊥BC， 所以由三垂線定理得 PC⊥BC． 6. 【答案】因?yàn)?CD=CA+AB+BD=AB?AC+BD， 所以 CD2=AB?AC+BD2=AB?AC2+BD2+2AB?AC?BD=AB2+AC2?2AB?AC+BD2+2AB?BD?2AC?BD=16+36+64?2×6×8×cos60°=68, 所以 CD=217?cm． 7. 【答案】如圖所示，設(shè) OA=a，OB=b，OC=c，且設(shè)各邊長(zhǎng)及對(duì)角線長(zhǎng)均為 1， 所以 ∣a∣=∣b∣=∣c∣=1，a?b=a?c=b?c=12，且 ∣OE∣=∣BF∣=32． 因?yàn)? OE?BF=12OA+OB?OF?OB=12a+12b?12c?b=14a?c+14b?c?12a?b?12∣b∣2=?12， 所以 cosOE,BF=OE?BF∣OE∣∣BF∣=?23． 因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為 0,π2， 所以異面直線 OE 與 BF 所成角的余弦值為 23．