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中考數(shù)學(xué)專題 四邊形存在性問題解析

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1、 中考數(shù)學(xué)專題 四邊形存在性問題解析 1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=12,點C的坐標(biāo)為(-18,0)。 (1)求點B的坐標(biāo); (2)若直線DE交梯形對角線BO于點D,交y軸于點E,且OE=4,OD=2BD,求直線DE的解析式; (3)若點P是(2)中直線DE上的一個動點,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q,使以O(shè)、E、P、Q為頂點的 四邊形是菱形?若存在,請直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。 【考點】一次函數(shù)綜合題,等腰直角三角形判定和性質(zhì),相似三角形判定和性質(zhì),待定系數(shù)法

2、,直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,菱形的判定和性質(zhì)。 【分析】(1)構(gòu)造等腰直角三角形BCF,求出BF、CF的長度,即可求出B點坐標(biāo)。 (2)已知E點坐標(biāo),欲求直線DE的解析式,需要求出D點的坐標(biāo).構(gòu)造△ODG∽△OBA,由線段比例關(guān)系求出D點坐標(biāo),從而可以求出直線DE的解析式。 (3)如圖所示,符合題意的點Q有4個: 設(shè)直線y=-x+4分別與x軸、y軸交于點E、點F, 則E(0,4),F(xiàn)(4,0),OE=OF=4,EF=4。 ①菱形OEP1Q1,此時OE為菱形一邊。 則有P1E=P1Q1=OE=4,P1F=EF-P1E=4-4。 易知△P1NF為等腰直角三角形, ∴P1N=NF

3、=P1F=4-2。 設(shè)P1Q1交x軸于點N,則NQ1=P1Q1-P1N=4-(4-2)=2。 又ON=OF-NF=2,∴Q1(2 ,-2)。 ②菱形OEP2Q2,此時OE為菱形一邊。此時Q2與Q1關(guān)于原點對稱,∴Q2(-2,2)。 ③菱形OEQ3P3,此時OE為菱形一邊。 此時P3與點F重合,菱形OEQ3P3為正方形,∴Q3(4,4)。 ④菱形OP4EQ4,此時OE為菱形對角線。 由菱形性質(zhì)可知,P4Q4為OE的垂直平分線, 由OE=4,得P4縱坐標(biāo)為2,代入直線解析式y(tǒng)=-x+4得橫坐標(biāo)為2,則P4(2,2)。 由菱形性質(zhì)可知,P4、Q4關(guān)于OE或y軸對稱,∴Q4(-2,2

4、)。 綜上所述,存在點Q,使以O(shè)、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形,點Q的坐標(biāo)為: Q1(2,-2),Q2(-2,2),Q3(4,4),Q4(-2,2)。 2.如圖,四邊形ABCD為矩形,C點在x軸上,A點在y軸上,D點坐標(biāo)是(0,0),B點坐標(biāo)是(3,4),矩形ABCD沿直線EF折疊,點A落在BC邊上的G處,E、F分別在AD、AB上,且F點的坐標(biāo)是(2,4). (1)求G點坐標(biāo); (2)求直線EF解析式; (3)點N在x軸上,直線EF上是否存在點M,使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出M點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【考點】一次函數(shù)綜合題,矩形

5、的性質(zhì),折疊性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值,待定系數(shù)法,直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,平行四邊形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】(1)根據(jù)折疊性質(zhì)可知FG=AF=2,而FG=AB-AF=1,則在Rt△BFG中,利用勾股定理求出BG的長,從而得到CG的長,從而得到G點坐標(biāo)。 (2)由題意,可知△AEF為含30度角的直角三角形,從而可求出E點坐標(biāo);又F點坐標(biāo)已知,所以可利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式。 (3)分FG為平行四邊形邊和對角線兩種情況討論,探究可能的平行四邊形的形狀: 若以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形,則可能存在以下情形:

6、①FG為平行四邊形的一邊,且N點在x軸正半軸上,如圖1所示。 過M1點作M1H⊥x軸于點H,易證△M1HN1≌△GBF, ∴M1H=GB=,即yM1=。 由直線EF解析式,求出。 ∴M1()。 ②FG為平行四邊形的一邊,且N點在x軸負(fù)半軸上,如圖2所示。 仿照與①相同的辦法,可求得M2()。 ③FG為平行四邊形的對角線,如圖3所示。 過M3作FB延長線的垂線,垂足為H.易證△M3FH≌△GN3C, 則有M3H=CG=4,所以M3的縱坐標(biāo)為8-。 代入直線EF解析式,得到M3的橫坐標(biāo)為。 ∴M3()。 綜上所述,存在點M,使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形,點M

7、的坐標(biāo)為:M1(),M2(),M3( )。 3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知Rt△AOB的兩條直角邊0A、08分別在y軸和x軸上,并且OA、OB的長分別是方程x2—7x+12=0的兩根(OA<0B),動點P從點A開始在線段AO上以每秒l個單位長度的速度向點O運動;同時,動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動,設(shè)點P、Q運動的時間為t秒. (1)求A、B兩點的坐標(biāo)。 (2)求當(dāng)t為何值時,△APQ與△AOB相似,并直接寫出此時點Q的坐標(biāo). (3)當(dāng)t=2時,在坐標(biāo)平面內(nèi),是否存在點M,使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出M點的坐標(biāo);若

8、不存在,請說明理由. 【考點】動點問題,解一元二次方程,勾股定理,相似三角形的性質(zhì),平行四邊形的判定。 【分析】(1)解出一元二次方程,結(jié)合OA<OB即可求出A、B兩點的坐標(biāo)。 (2)分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB兩種情況討論即可。 (3)當(dāng)t=2時,如圖,OP=2,BQ=4,∴P(0,1),Q()。 若以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形,則 ①當(dāng)AQ為對角線時,點M1的橫坐標(biāo)與點Q的橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)為?!郙1()。 ②當(dāng)PQ為對角線時,點M2的橫坐標(biāo)與點Q的橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)為?!郙2()。 ③

9、當(dāng)AP為對角線時,點Q、M3關(guān)于AP的中點對稱。 由A(0,3),P(0,1)得AP的中點坐標(biāo)為(0,2)。 由Q()得M3的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為?!郙3()。 綜上所述,若以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形,則M點的坐標(biāo)為 ()或()或()。 4.如圖,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點B落在OA邊上的點E處.分別以O(shè)C,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,D,C三點. (1)求AD的長及拋物線的解析式; (2)一動點P從點E出發(fā),沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動,同時動點Q

10、從點C出發(fā),沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動,當(dāng)點P運動到點C時,兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為t秒,當(dāng)t為何值時,以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似? (3)點N在拋物線對稱軸上,點M在拋物線上,是否存在這樣的點M與點N,使以M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M與點N的坐標(biāo)(不寫求解過程);若不存在,請說明理由. 【考點】二次函數(shù)綜合題,折疊和動點問題,矩形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,相似三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì)。 【分析】(1)根據(jù)折疊圖形的軸對稱性,△CED≌△CBD,在Rt△C

11、EO中求出OE的長,從而可得到AE的長;在Rt△AED中,AD=AB﹣BD、ED=BD,利用勾股定理可求出AD的長.進一步能確定D點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。 (2)由于∠DEC=90°,首先能確定的是∠AED=∠OCE,若以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似,那么∠QPC=90°或∠PQC=90°,然后在這兩種情況下,分別利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出對應(yīng)的t的值。 (3)假設(shè)存在符合條件的M、N點,分兩種情況討論: ①EC為平行四邊形的對角線,由于拋物線的對稱軸經(jīng)過EC中點,若四邊形MENC是平行四邊形,那么M點必為拋物線頂點。 由得拋物線頂點,則:M(4

12、,)。 ∵平行四邊形的對角線互相平分,∴線段MN必被EC中點(4,3)平分,則N(4,﹣)。 ②EC為平行四邊形的邊,則ECMN, 設(shè)N(4,m),則M(4﹣8,m+6)或M(4+8,m﹣6); 將M(﹣4,m+6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣38, 此時 N(4,﹣38)、M(﹣4,﹣32); 將M(12,m﹣6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣26, 此時 N(4,﹣26)、M(12,﹣32)。 綜上所述,存在符合條件的M、N點,它們的坐標(biāo)為:①M1(﹣4,﹣32),N1(4,﹣38); ②M2(12,﹣32),N2(4,﹣26);③M3(4,),N3(4,﹣)。

13、5.已知二次函數(shù)y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的圖象與x軸交于點A(x1,0)和點B(x2,0),x1<x2,與y軸交于點C,且滿足. (1)求這個二次函數(shù)的解析式; (2)探究:在直線y=x+3上是否存在一點P,使四邊形PACB為平行四邊形?如果有,求出點P的坐標(biāo);如果沒有,請說明理由. 【考點】二次函數(shù)綜合題,二次函數(shù)與x點問題,曲線圖上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】(1)欲求拋物線的解析式,關(guān)鍵是求得m的值.根據(jù)題中所給關(guān)系式,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可以求得m的值,從而問題得到解決。注意:解答中

14、求得兩個m的值,需要進行檢驗,把不符合題意的m值舍去。 (2)利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形,根據(jù)全等關(guān)系求得P點的縱坐標(biāo),從而得到P點的橫坐標(biāo),從而求得P點坐標(biāo)。 6.已知拋物線y=x2 + 1(如圖所示). (1)填空:拋物線的頂點坐標(biāo)是(______,______),對稱軸是_____; (2)已知y軸上一點A(0,2),點P在拋物線上,過點P作PB⊥x軸,垂足為B.若△PAB是等邊三角 形,求點P的坐標(biāo); (3)在(2)的條件下,點M在直線AP上.在平面內(nèi)是否存在點N,使四邊形OAMN為菱形?若存在, 直接寫出所有滿足條件的點N的坐標(biāo);若不存在,請說

15、明理由. 【考點】二次函數(shù)綜合題,二次函數(shù)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),菱形的判定。 【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點坐標(biāo)和對稱軸即可。 (2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4,將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點 的橫坐標(biāo),代入解析式即可求得P點的縱坐標(biāo)。 (3)首先求得直線AP的解析式,然后設(shè)出點M的坐標(biāo),利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長即 可得到有關(guān)M點的橫坐標(biāo)的方程,求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo): 設(shè)存在點M使得OAMN是菱形, ∵∠OAP>900,∴OA不可能為菱形的對角線,只能為菱形的邊。 若點P的坐標(biāo)為(,4),∵點A的坐標(biāo)為(0,2

16、), 設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b,則,解得: 。 ∴AP所在直線的解析式為:y=x+2。 ∵點M在直線AP上,∴設(shè)點M的坐標(biāo)為:(m, m+2)。 如圖,作MH⊥y軸于點H, 則MH= m,AN=OH-OA=m+2-2=m。 ∵OA為菱形的邊,∴AM=AO=2。 ∴在Rt△AMH中,AH2+MH2=AM2,即:m2+(m)2=22, 解得:m=±?!郙(,3)或(-,1)。 當(dāng)M(,3)時,N(,1);當(dāng)M(-,1)時,N(-,-1)。 若點P的坐標(biāo)為(-,4),同理可得N的坐標(biāo)為(-,1)或(,-1)。 綜上所述,存在點N(,1),(-,-1),(-,1),(,-1),使得 四邊形OAMN是菱形。

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