補充知識補充知識 微積分初步微積分初步1、函數(shù)、函數(shù))(xfy 23 xxfy)(自變量、因變量、常量、自變量、因變量、常量、一元函數(shù)、多元函數(shù)一元函數(shù)、多元函數(shù)),(tzyxfF 1蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步2、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)2.1 極限極限axfxx)(lim01232xxxxfy)(例：例：231123xxxx)(5123211xxxxfxxlim)(lim2蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步2.2 函數(shù)的變化率函數(shù)的變化率導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù))(xfy xy靜態(tài)靜態(tài)動態(tài)動態(tài)yx ,增量，可正、可負增量，可正、可負xxfxxfxy)()(00平均變化率平均變化率3蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步xxfxxfxyxfyxx)()(limlim)(0000y對對x的微商或?qū)?shù)的微商或?qū)?shù))(,xfdxddxdfdxdy其他表示：其他表示：二階導(dǎo)的表示：二階導(dǎo)的表示：)()()(xfdxddxdydxddxydxfy22高階導(dǎo)以此類推高階導(dǎo)以此類推4蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步2.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線的切線曲線的切線:P1P0時，時，0 xyMPMP 01tan 10PP割線割線 的斜率的斜率P1P0時時割線斜率的極限割線斜率的極限)(limtanlimtanxfxyxPP 0001 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率5蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3、導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的運算3.1 基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算0lim)()(lim()()1(00 xCCxxfxxfyCxfyxx常量）常量）1)()()2(xfyxxfyxxfyxxfy2)()()3(2 233)()()4(xxfyxxfy 6蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步211)()5(xyxxfy xxfyxxfy21)()()6(為任何數(shù)為任何數(shù)nnxdxdxyxynnn1 結(jié)論結(jié)論其它常用其它常用求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式xxexfexfxxfxxfxxfxxfxxfxxf )()(1)(ln)(sin)(cos)(cos)(sin)(7蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3.2 導(dǎo)數(shù)運算的幾個定理導(dǎo)數(shù)運算的幾個定理定理一定理一 dxdvdxduxvxudxd )()(定理二定理二 dxdvxudxduxvxvxudxd)()()()(定理三定理三2)()()()()(xvdxdvxudxduxvxvxudxd 定理四定理四dxdvdvduxvudxd )(8蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步例題例題為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)、求、求aaxy(122 為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。、求、求aaxy(ln2 為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。、求、求aaxy(32 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)、求、求xexy24 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。、求、求152352 xxy9蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。、（、求、求babaxy)cos(6的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。、求、求172xy為為常常量量）的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。（、求求aexyax22810蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步4 4、微分、微分4.1 4.1 自變量的微分自變量的微分自變量的無限小增量自變量的無限小增量dxx 4.2 4.2 函數(shù)的微分函數(shù)的微分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分dxxfdy)(dxdyxf)(11蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步5 5、積分、積分5.1.1 5.1.1 變速直線運動的路程計算變速直線運動的路程計算質(zhì)點走的路程質(zhì)點走的路程batt ttvttvttvttvsnab )()()()(321).()(),(),(,nbnaabtvtvtvtvtntttttttt 321321個個時時刻刻的的速速度度分分別別為為段段，每每段段間間隔隔分分成成被被間間隔隔 1iittv)()(tvtOatbtt 幾何意義：幾何意義：以以 為高的各小矩形面積之和。為高的各小矩形面積之和。iv5.1 5.1 兩個例子兩個例子12蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步 niintabttvs10)(lim)(tvtOatbtt 幾何意義：幾何意義：曲線下的面積。曲線下的面積。區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi))(tvttab 13蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步5.1.2 5.1.2 變力做功變力做功設(shè)力與物體運動方向一致，力與位置函數(shù)關(guān)系如設(shè)力與物體運動方向一致，力與位置函數(shù)關(guān)系如圖，求物體從圖，求物體從處處力力對對其其所所做做的的功功。到到bassasbss)(sFO.)(:)(,ssFAsFsnssiiab 隔內(nèi)力做功為隔內(nèi)力做功為為恒量，在每個小間為恒量，在每個小間間隔中視間隔中視在每個小在每個小等分，間隔為等分，間隔為將將 niissFA1)(之之間間所所做做功功為為：到到力力從從bass niinsssFA10)(lim14蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步5.2 5.2 定積分定積分)(xfy 來來表表示示。即即：可可用用符符號號則則當當間間隔隔為為等等分分，每每小小段段將將其其取取自自變變量量區(qū)區(qū)間間 baniinxdxxfxxfxnba)(,)(lim,10 niinxbaxxfdxxf10)(lim)(被積函數(shù)被積函數(shù)上下限上下限)(xfba,15蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步 babassttdssFAdttvs)()(例：例：16蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步積分定理積分定理()()()(),()()()()()baf xxf xxxaxbf xxxf x dxba 如果被積函數(shù)是某個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即則在到區(qū)間內(nèi)對 的定積分等于在這個區(qū)間內(nèi)的增量，即17蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步5.3 5.3 不定積分及其運算不定積分及其運算函數(shù)逆導(dǎo)數(shù)不唯一函數(shù)逆導(dǎo)數(shù)不唯一逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)的的稱為稱為，則，則若若)()()()(xfxxxf 函數(shù)逆導(dǎo)數(shù)的通式稱為函數(shù)的不定積分函數(shù)逆導(dǎo)數(shù)的通式稱為函數(shù)的不定積分 Cxdxxf)()(18蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步基本不定積分公式基本不定積分公式函數(shù)函數(shù) 不定積分不定積分 )(xf dxxf)()(1 nxnCnxn 11xsinCx cosxcosCx sinx1Cx|lnxeCex 19蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步積分運算定理積分運算定理 dxxuadxxfaxauxf)()()()(為常數(shù)），則為常數(shù)），則（一、如果一、如果 dxxvdxxudxxfxvxuxf)()()(),()()(則則二、如果二、如果 dvvudxxvvudxxfxvvuxf)()()()(),()()(則則三、如果三、如果20蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步5.4 5.4 通過不定積分計算定積分通過不定積分計算定積分)()()()()(abdxxfCxdxxfba 減減即即得得到到定定積積分分的的值值將將上上下下限限的的數(shù)數(shù)值值代代入入相相后后求求得得不不定定積積分分21蒼柏課資補充知識補充知識 微積分初步微積分初步 1022265434325xdxaxdxxdxxdxbaxdxxxdxx sin.cossin.)sin(.)(.1例：例：22蒼柏課資