常考問(wèn)題12 空間中的平行與垂直
??紗?wèn)題12 空間中的平行與垂直
[真題感悟]
1.(2013·安徽卷)在下列命題中,不是公理的是( ).
A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行
B.過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面
C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)
D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線
解析 選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理.
答案 A
2.(2013·廣東卷)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是( ).
A.若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n
B.若α∥β,m?α,n?β,,則m∥n
C.若m⊥n,m?α,n?β,則α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β
解析 A中,m與n可垂直、可異面、可平行;B中m與n可平行、可異面;C中,若α∥β,仍然滿(mǎn)足m⊥n,m?α,n?β,故C錯(cuò)誤;故D正確.
答案 D
3.(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿(mǎn)足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則( ).
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α與β相交,且交線垂直于l
D.α與β相交,且交線平行于l
解析 假設(shè)α∥β,由m⊥平面α,n⊥平面β,則m∥n,這與已知m,n為異面直線矛盾,那么α與β相交,設(shè)交線為l1,則l1⊥m,l1⊥n,在直線m上任取一點(diǎn)作n1平行于n,那么l1和l都垂直于直線m與n1所確定的平面,所以l1∥l.
答案 D
4.(2013·江西卷)如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m,n,那么m+n等于( ).
A.8 B.9 C.10 D.11
解析 如圖,∵CE?平面ABPQ,CE∥平面A1B1P1Q1,∴CE與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,m=4,取CD的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G,則易證CD⊥EG,CD⊥FG,所以CD⊥平面EFG,又AB∥CD,所以AB⊥平面EFG,故平面BPP1B1∥平面EFG,∴EF∥平面BPP1B1,且EF∥平面AQQ1A1,∴EF與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,n=4,故m+n=8,選A.
答案 A
[考題分析]
題型 選擇題、填空題、解答題
難度 低檔 線、面位置關(guān)系的判斷.
中檔 線面平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明.
1.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
(1)線面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α.
(2)線面平行的性質(zhì)定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.
(3)面面平行的判定定理:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?α∥β.
(4)面面平行的性質(zhì)定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.
2.平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化
兩平面平行問(wèn)題常??梢赞D(zhuǎn)化為直線與平面的平行,而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行,所以要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,以下為三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖.
3.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
(1)線面垂直的判定定理:m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n?l⊥α.
(2)線面垂直的性質(zhì)定理:a⊥α,b⊥α?a∥b.
(3)面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?α⊥β.
(4)面面垂直的性質(zhì)定理:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β.
4.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化類(lèi)似,它們之間的轉(zhuǎn)化如下示意圖.
在垂直的相關(guān)定理中,要特別注意記憶面面垂直的性質(zhì)定理:兩個(gè)平面垂直,在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個(gè)平面,當(dāng)題目中有面面垂直的條件時(shí),一般都要用此定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
熱點(diǎn)一 空間線面位置關(guān)系的判斷
例1 (1)l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是( ).
A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共點(diǎn)?l1,l2,l3共面
(2)已知兩條直線m,n,兩個(gè)平面α,β,給出下面四個(gè)命題:
①m∥n,m⊥α?n⊥α;②α∥β,m?α,n?β?m∥n;③m∥n,m∥α?n∥α;④n∥β,m∥n,m⊥α?α⊥β.
其中假命題的序號(hào)是( ).
A.①④ B.②④ C.①② D.②③
解析 (1)當(dāng)l1⊥l2,l2⊥l3時(shí),l1也可能與l3相交或異面,故A不正確;l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3,故B正確;當(dāng)l1∥l2∥l3時(shí),l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三條側(cè)棱,故C不正確;l1,l2,l3共點(diǎn)時(shí),l1,l2,l3未必共面,如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱,故D不正確.
(2)因?yàn)棣痢桅?,m?α,n?β,所以可能有m∥n,也可能有m與n異面,故②錯(cuò);m∥n,m∥α,則可能有n∥α,也可能有n?α,故③錯(cuò).易知①④正確.
答案 (1)B (2)D
[規(guī)律方法] 正確理解基本概念,學(xué)會(huì)用三種語(yǔ)言表達(dá)公理、定理并做到真正理解是解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵.
訓(xùn)練1 (1)若P是兩條異面直線l,m外的任意一點(diǎn),則下列命題中假命題的序號(hào)是________.
①過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都平行;②過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都垂直;③過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l, m都相交;④過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都異面.
(2)設(shè)l是直線,α,β是兩個(gè)不同的平面( ).
A.若l∥α,l∥β,則α∥β
B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,則l⊥β
D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β
解析 (2)利用線與面、面與面的關(guān)系定理判定,用特例法.
設(shè)α∩β=a,若直線l∥a,且l?α,l?β,則l∥α,l∥β,因此α不一定平行于β,故A錯(cuò)誤;由于l∥α,故在α內(nèi)存在直線l′∥l,又因?yàn)閘⊥β,所以l′⊥β,故α⊥β,所以B正確;若α⊥β,在β內(nèi)作交線的垂線l,則l⊥α,此時(shí)l在平面β內(nèi),因此C錯(cuò)誤;已知α⊥β,若α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β內(nèi),則l∥α且l∥β,因此D錯(cuò)誤.
答案 (1)①③④ (2)B
熱點(diǎn)二 空間中的平行與垂直關(guān)系
例2 如圖,在四棱錐P-ABCD中
,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F(xiàn)分別是AP,AD的中點(diǎn).求證:
(1)直線EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
證明 (1)如圖,在△PAD中,因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AP,AD的中點(diǎn),
所以EF∥PD.又因?yàn)镋F?平面PCD,PD?平面PCD,所以直線EF∥平面PCD.
(2)連接BD.因?yàn)锳B=AD,∠BAD=60°,所以△ABD為正三角形.
因?yàn)镕是AD的中點(diǎn),所以BF⊥AD.
因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又因?yàn)锽F?平面BEF,
所以平面BEF⊥平面PAD.
[規(guī)律方法] 在立體幾何的平行關(guān)系問(wèn)題中,“中點(diǎn)”是經(jīng)常使用的一個(gè)特殊點(diǎn),通過(guò)找“中點(diǎn)”,連“中點(diǎn)”,即可出現(xiàn)平行線,而線線平行是平行關(guān)系的根本.在垂直關(guān)系的證明中,線線垂直是問(wèn)題的核心,可以通過(guò)計(jì)算的方式證明線線垂直,也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直,其中要特別重視兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理.
訓(xùn)練2 (2013·臨沂二模)如圖,AD⊥平面ABC,AD∥CE,AC=AD=AB=1,∠BAC=90°,凸多面體ABCED的體積為,F(xiàn)為BC的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面BDE;
(2)求證:平面BDE⊥平面BCE.
證明 (1)取BE的中點(diǎn)G,連接DG,GF,則GF綉EC,又AD⊥平面ABC,∠BAC=90°,則BA⊥平面ACED,
又VABCED=VB-ACED=×SACED×AB=××(1+CE)×1×1=.∴CE=2,∴AD綉CE,∴AD綉GF.
∴四邊形ADGF為平行四邊形,
∴AF∥DG,而AF?平面BDE,DG?平面BDE,
∴AF∥平面BDE.
(2)∵AB=AC=1,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),∴AF⊥BC,
又AD⊥平面ABC.CE∥AD,∴EC⊥平面ABC,AF?平面ABC,
∴AF⊥EC,又BC∩EC=C.
∴AF⊥平面BCE,又DG∥AF,∴DG⊥平面BCE,
而DG?平面BDE,∴平面BDE⊥平面BCE.
熱點(diǎn)三 空間幾何中的“翻折”問(wèn)題
例3 如圖,
在△ABC中,∠B=,AB=BC=2,P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn),PD∥BC交AC于點(diǎn)D,現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′,使平面PDA′⊥平面PBCD.
(1)當(dāng)棱錐A′-PBCD的體積最大時(shí),求PA的長(zhǎng).
(2)若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),E為A′C的中點(diǎn),求證:A′B⊥DE.
(1)解 令PA=x(0<x<2),則A′P=PD=x,BP=2-x.因?yàn)锳′P⊥PD,且平面A′PD⊥平面PBCD,故A′P⊥平面PBCD.所以VA′-PBCD=Sh=(2-x)·(2+x)x=(4x-x3).令f(x)=(4x-x3),
由f′(x)=(4-3x2)=0,得x=(負(fù)值舍去).
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
所以當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最大值.
故當(dāng)VA′-PBCD最大時(shí),PA=.
(2)證明 設(shè)F為A′B的中點(diǎn),如圖所示,連接PF,F(xiàn)E,
則有EF綉B(tài)C,PD綉B(tài)C.
所以EF綉PD.
所以四邊形EFPD為平行四邊形.所以DE∥PF.又A′P=PB,所以PF⊥A′B,故DE⊥A′B.
[規(guī)律方法] (1)解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清翻折前后哪些位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系改變,哪些不變,抓住翻折前后不變的量,充分利用原平面圖形的信息是解決問(wèn)題的突破口.(2)把平面圖形翻折后,經(jīng)過(guò)恰當(dāng)連線就能得到三棱錐、四棱錐,從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的幾何體中解決.
訓(xùn)練3 平面圖形ABB1A1C1C如圖①所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=,A1B1=A1C1=,現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊,使△ABC與△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直,再分別連接A1A,A1B,A1C,得到如圖②所示的空間圖形.對(duì)此空間圖形解答下列問(wèn)題:
(1)證明:AA1⊥BC;
(2)求AA1的長(zhǎng);
(3)求二面角A-BC-A1的余弦值
(向量法)(1)證明 取BC,B1C1的中點(diǎn)分別為D和D1,連接A1D1,DD1,AD.
由BB1C1C為矩形知,DD1⊥B1C1.
因?yàn)槠矫鍮B1C1C⊥平面A1B1C1,所以DD1⊥平面A1B1C1.
又由A1B1=A1C1知,A1D1⊥B1C1.
圖1
故以D1為坐標(biāo)原點(diǎn),可建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系D1-xyz.
由題設(shè),可得A1D1=2,AD=1.
由以上可知AD⊥平面BB1C1C,A1D1⊥平面BB1C1C,于是AD∥A1D1.
所以A(0,-1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(-1,0,4),D(0,0,4),故1=(0,3,-4),=(-2,0,0),1·=0,因此1⊥.即AA1⊥BC.
(2)解 因?yàn)?=(0,3,-4),
所以|1|=5,即AA1=5.
(3)解 法一 連接A1D.
由BC⊥AD,BC⊥AA1,可知BC⊥平面A1AD,所以BC⊥A1D,所以∠ADA1為二面角A-BC-A1的平面角.
因?yàn)椋?0,-1,0),1=(0,2,-4),所以cos〈,1〉=-=-,即二面角A-BC-A1的余弦值為-.
法二 設(shè)平面A1BC的法向量為n1=(x1,y1,z1),
又因?yàn)椋?-1,-2,4),=(1,-2,4),所以即?令z1=1,則n1=(0,2,1).
又因?yàn)槠矫鍭BC⊥ z軸,所以取平面ABC的法向量為n2=(0,0,1),則cos〈n1,n2〉===,所以二面角A-BC-A1的余弦值為-.
圖2
(綜合法)(1)證明 如圖2,取BC,B1C1的中點(diǎn)分別為D和D1,連接A1D1,DD1,AD,A1D,AD1.由條件可知,BC⊥AD,B1C1⊥A1D1.
由上可得AD⊥平面BB1C1C,A1D1⊥平面BB1C1C,由此得AD∥A1D1,即AD,A1D1確定平面AD1A1D.
又因?yàn)镈D1∥BB1,BB1⊥BC,所以DD1⊥BC.
又考慮到AD⊥BC,AD∩DD1=D,所以BC⊥平面AD1A1D,故BC⊥AA1.
(2)解 延長(zhǎng)A1D1到G點(diǎn),使GD1=AD.連接AG.
因?yàn)锳D綉GD1,所以AG綉DD1綉B(tài)B1.
由于BB1⊥平面A1B1C1,所以AG⊥A1G.
由條件可知,A1G=A1D1+D1G=3,AG=4,
所以AA1=5.
(3)解 因?yàn)锽C⊥平面AD1A1D,所以∠ADA1為二面角A-BC-A1的平面角.在Rt△A1DD1中,DD1=4,A1D1=2,解得sin∠D1DA1=,cos∠ADA1=cos+∠D1DA1=-,即二面角A-BC-A1的余弦值為-.
失分案例(五) 邏輯性錯(cuò)誤
邏輯性錯(cuò)誤指學(xué)生在解題過(guò)程中由于違犯邏輯思維的規(guī)律而產(chǎn)生的錯(cuò)誤,常見(jiàn)的邏輯性錯(cuò)誤有如下形式:步驟缺失、虛假依據(jù)、偷換概念、分類(lèi)不當(dāng)、循環(huán)論證、不等價(jià)變換(用必要條件代替可能導(dǎo)致解集擴(kuò)大,而用充分條件代替解集可能縮小).
訓(xùn)練12 空間中的平行與垂直
(建議用時(shí):50分鐘)
1.(2013·濟(jì)南3月模擬)已知兩條直線a,b與兩個(gè)平面α,β,b⊥α,則下列命題中正確的是( ).
①若a∥α,則a⊥b;②若a⊥b,則a∥α;③若b⊥β,則α∥β;④若α⊥β,則b∥β.
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
解析 過(guò)直線a作平面γ使α∩γ=c,則a∥c,再根據(jù)b⊥α可得b⊥c,從而b⊥a,命題①是真命題;下面考慮命題③,由b⊥α,b⊥β,可得α∥β,命題③為真命題.故正確選項(xiàng)為A.
答案 A
2.已知α,β,γ是三個(gè)不重合的平面,a,b是兩條不重合的直線,有下列三個(gè)條件:①a∥γ,b?β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ.如果命題“α∩β=a,b?γ,且________,那么a∥b”為真命題,則可以在橫線處填入的條件是( ).
A.①或② B.②或③
C.①或③ D.只有②
解析 由定理“一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行”可得,橫線處可填入條件①或③,結(jié)合各選項(xiàng)知,選C.
答案 C
3.已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個(gè)不重合的平面,那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是( ).
A.α⊥β,且m?α B.m∥n,且n⊥β
C.α⊥β,且m∥α D.m⊥n,且n∥β
解析 根據(jù)定理、性質(zhì)、結(jié)論逐個(gè)判斷.因?yàn)棣痢挺?,m?α?m,β的位置關(guān)系不確定,可能平行、相交、m在β面內(nèi),故A錯(cuò)誤;由線面垂直的性質(zhì)定理可知B正確;若α⊥β,m∥α,則m,β的位置關(guān)系也不確定,故C錯(cuò)誤;若m⊥n,n∥β,則m,β的位置關(guān)系也不確定,故D錯(cuò)誤.
答案 B
4.已知兩條不同的直線m,n和兩個(gè)不同的平面α,β,給出下列四個(gè)命題:
①若m∥α,n∥β,且α∥β,則m∥n;②若m∥α,n⊥β,且α⊥β,則m∥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β,則m⊥n;④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,則m⊥n.其中正確的個(gè)數(shù)有( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
解析?、僦衜,n可能異面或相交,故不正確;②因?yàn)閙∥α,n⊥β且α⊥β成立時(shí),m,n兩直線的關(guān)系可能是相交、平行、異面,故不正確;③因?yàn)閙⊥α,α∥β可得出m⊥β,再由n∥β可得出m⊥n,故正確;④分別垂直于兩個(gè)垂直平面的兩條直線一定垂直,正確.故選B.
答案 B
5.(2013·西安質(zhì)檢)如圖所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐ABCD,則在三棱錐A-BCD中,下列命題正確的是( ).
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
解析 在平面圖形中CD⊥BD,折起后仍有CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD⊥AB.又AB⊥AD,故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D選項(xiàng)正確.
答案 D
6.設(shè)α和β為兩個(gè)不重合的平面,給出下列四個(gè)命題:
①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線,則α平行于β;②若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行,則l和α平行;③設(shè)α和β相交于直線l,若α內(nèi)有一條直線垂直于l,則α和β垂直;④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直.
其中為真命題的是________(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).
解析 由①知α內(nèi)兩條相交直線分別平行于平面β,則兩條相交直線確定的平面α平行于平面β,故①為真命題;由線面平行的判定定理知,②為真命題;對(duì)于③,如圖,α∩β=l,a?α,a⊥l,但不一定有α⊥β,故③為假命題;
對(duì)于④,直線l與平面α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線垂直,故④為假命題.
綜上所述,真命題的序號(hào)為①②.
答案?、佗?
7.(2013·金麗衢十二校聯(lián)考)下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出直線AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是________(寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào)).
解析 對(duì)于①,注意到該正方體的面中過(guò)直線AB的側(cè)面與平面MNP平行,因此直線AB平行于平面MNP;對(duì)于②,注意到直線AB和過(guò)點(diǎn)A的一個(gè)與平面MNP平行的平面相交,因此直線AB與平面MNP相交;對(duì)于③,注意到此時(shí)直線AB與平面MNP內(nèi)的一條直線MP平行,且直線AB位于平面MNP外,因此直線AB與平面MNP平行;對(duì)于④,易知此時(shí)AB與平面MNP相交.綜上所述,能得出直線AB平行于平面MNP的圖形的序號(hào)是①③.
答案?、佗?
8.如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點(diǎn),F(xiàn)為線段EC上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB,K為垂足.設(shè)AK=t,則t的取值范圍是________.
解析 如圖,過(guò)D作DG⊥AF,垂足為G,連接GK,∵平面ABD⊥平面ABC,DK⊥AB,∴DK⊥平面ABC,∴DK⊥AF.又DG⊥AF,∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.
容易得到,當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí),K為AB的中點(diǎn),t=AK==1;當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí),在Rt△ADF中,易得AF=,且AG=,GF=,又易知Rt△AGK∽R(shí)t△ABF,則=,又AB=2,AK=t,則t=.∴t的取值范圍是.
答案
9.(2013·南京模擬)如圖,正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,EF∥BD,AB=EF.
(1)求證:BF∥平面ACE;
(2)求證:BF⊥BD.
證明 (1)設(shè)AC與BD交于O點(diǎn),連接EO.
在正方形ABCD中,BO=AB,又因?yàn)锳B=EF,∴BO=EF,又因?yàn)镋F∥BD,∴四邊形EFBO是平行四邊形,∴BF∥EO,又∵BF?平面ACE,EO?平面ACE,
∴BF∥平面ACE.
(2)在正方形ABCD中,AC⊥BD,又因?yàn)檎叫蜛BCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,BD?平面ABCD,平面ABCD∩平面ACE=AC,∴BD⊥平面ACE,∵EO?平面ACE,∴BD⊥EO,∵EO∥BF,∴BF⊥BD.
10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),M是PD的中點(diǎn),AB=2,∠BAD=60°.
(1)求證:OM∥平面PAB;
(2)求證:平面PBD⊥平面PAC;
(3)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積等于時(shí),求PB的長(zhǎng).
(1)證明 ∵在△PBD中,O,M分別是BD,PD的中點(diǎn),∴OM是△PBD的中位線,∴OM∥PB.
∵OM?平面PAB,PB?平面PAB,∴OM∥平面PAB.
(2)證明 ∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD.又AC?平面PAC,PA?平面PAC,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.
(3)解 ∵底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,
∴S菱形ABCD=2××AB×AD×sin 60°=2×2×=2.
∵四棱錐P-ABCD的高為PA,∴×2×PA=,解得PA=.又∵PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,∴PA⊥AB.在Rt△PAB中,PB= ==.
11.如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,
AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(1)證明:AA1⊥BD;
(2)證明:CC1∥平面A1BD.
證明 (1)法一 因?yàn)镈1D⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD,所以D1D⊥BD.
在△ABD中,由余弦定理,得
BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos∠BAD.
又因?yàn)锳B=2AD,∠BAD=60°,所以BD2=3AD2.
所以AD2+BD2=AB2,因此AD⊥BD.
又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1?平面ADD1A1,所以AA1⊥BD.
法二 因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD,
所以BD⊥D1D.
如圖1,取AB的中點(diǎn)G,連接DG.
圖1
在△ABD中,由AB=2AD,得AG=AD.又∠BAD=60°,所以△ADG為等邊三角形,所以GD=GB,故∠DBG=∠GDB.
又∠AGD=60°,所以∠GDB=30°,
所以∠ADB=∠ADG+∠GDB=60°+30°=90°,
所以BD⊥AD.
又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1?平面ADD1A1,所以AA1⊥BD.
(2)如圖2,連接AC,A1C1.
設(shè)AC∩BD于點(diǎn)E,
圖2
連接EA1.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,
所以EC=AC.
由棱臺(tái)的定義及AB=2AD=2A1B1知,
A1C1∥EC且A1C1=EC,
所以四邊形A1ECC1為平行四邊形,
因此CC1∥EA1.
又因?yàn)镋A1?平面A1BD,CC1?平面A1BD,
所以CC1∥平面A1BD.