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1、實驗十三　探究單擺的擺長與周期的關系 考綱解讀 1.知道把單擺的運動看做簡諧運動的條件.2.會探究與單擺的周期有關的因素.3.會用單擺測定重力加速度． 基本實驗要求 1．實驗原理 當偏角很小時，單擺做簡諧運動，其運動周期為T＝2π ，它與偏角的大小及擺球的質量無關，由此得到g＝.因此，只要測出擺長l和振動周期T，就可以求出當?shù)氐闹亓铀俣萭的值． 2．實驗器材 帶有鐵夾的鐵架臺、中心有小孔的金屬小球，不易伸長的細線(約1米)、秒表、毫米刻度尺和游標卡尺． 3．實驗步驟 (1)讓細線的一端穿過金屬小球的小孔，然后打一個比小孔大一些的線結，做成單擺． (2)把細線的上端用鐵夾

2、固定在鐵架臺上，把鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，在單擺平衡位置處作上標記，如實驗原理圖所示． (3)用毫米刻度尺量出擺線長度l′，用游標卡尺測出擺球的直徑，即得出金屬小球半徑r，計算出擺長l＝l′＋r. (4)把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(不超過5°)，然后放開金屬小球，讓金屬小球擺動，待擺動平穩(wěn)后測出單擺完成30～50次全振動所用的時間t，計算出金屬小球完成一次全振動所用時間，這個時間就是單擺的振動周期，即T＝(N為全振動的次數(shù))，反復測3次，再算出周期＝. (5)根據單擺周期公式T＝2π 計算當?shù)氐闹亓铀俣萭＝. (6)改變擺長，重做幾次實驗，計

3、算出每次實驗的重力加速度值，求出它們的平均值，該平均值即為當?shù)氐闹亓铀俣戎担? (7)將測得的重力加速度值與當?shù)氐闹亓铀俣戎迪啾容^，分析產生誤差的可能原因． 　　　規(guī)律方法總結 1．注意事項 (1)構成單擺的條件：細線的質量要小、彈性要小，選用體積小、密度大的小球，擺角不超過5°. (2)要使擺球在同一豎直面內擺動，不能形成圓錐擺，方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放． (3)測周期的方法：①要從擺球過平衡位置時開始計時．因為此處速度大、計時誤差小，而最高點速度小、計時誤差大． ②要測多次全振動的時間來計算周期．如在擺球過平衡位置時開始計時，且在數(shù)“零”的同時按下秒表，以后每當

4、擺球從同一方向通過平衡位置時計數(shù)1次． (4)本實驗可以采用圖象法來處理數(shù)據．即用縱軸表示擺長l，用橫軸表示T2，將實驗所得數(shù)據在坐標平面上標出，應該得到一條傾斜直線，直線的斜率k＝.這是在眾多的實驗中經常采用的科學處理數(shù)據的重要辦法． 2．數(shù)據處理 處理數(shù)據有兩種方法：(1)公式法：測出30次或50次全振動的時間t，利用T＝求出周期；不改變擺長，反復測量三次，算出三次測得的周期的平均值，然后代入公式g＝求重力加速度． (2)圖象法： 由單擺周期公式不難推出：l＝T2，因此，分別測出一系列擺長l對應的周期T，作l－T2的圖象，圖象應是一條通過原點的直線，求出圖線的斜率k＝，即可利用g

5、＝4π2k求得重力加速度值，如圖1所示． 圖1 3．誤差分析 (1)系統(tǒng)誤差的主要來源：懸點不固定，球、線不符合要求，振動是圓錐擺而不是在同一豎直平面內的振動等． (2)偶然誤差主要來自時間的測量上，因此，要從擺球通過平衡位置時開始計時，不能多計或漏計振動次數(shù)． 考點一　實驗操作與誤差分析 例1　(2012·天津·9(2))某同學用實驗的方法探究影響單擺周期的因素． ①他組裝單擺時，在擺線上端的懸點處，用一塊開有狹縫的橡皮夾牢擺線，再用鐵架臺的鐵夾將橡皮夾緊，如圖2所示．這樣做的目的是________(填字母代號)． 圖2 A．保證擺動過程中擺長不變 B．可使周期測

6、量得更加準確 C．需要改變擺長時便于調節(jié) D．保證擺球在同一豎直平面內擺動 ②他組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺從懸點量到擺球的最低端的長度L＝0.999 0 m，再用游標卡尺測量擺球直徑，結果如圖3所示，則該擺球的直徑為________mm，單擺擺長為________m. 圖3 ③下列振動圖象真實地描述了對擺長約為1 m的單擺進行周期測量的四種操作過程，圖中橫坐標原點表示計時開始，A、B、C均為30次全振動的圖象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，這四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是____(填字母代號)． 解析?、僭凇疤骄坑绊憜?/p>

7、擺周期的因素”實驗中，應使單擺在擺動過程中擺長不變，而且擺長便于調節(jié)，故選項A、C正確，選項B、D錯誤． ②擺球的直徑 d＝12 mm＋0×0.1 mm＝12.0 mm 擺長l＝L－＝0.999 0 m－0.006 0 m＝0.993 0 m. ③單擺振動的擺角θ≤5°，當θ＝5°時單擺振動的振幅A＝lsin 5°＝0.087 m＝8.7 cm，且為了計時準確，應在擺球擺至平衡位置時開始計時，故選項A正確，選項B、C、D錯誤． 答案?、貯C?、?2.0　0.993 0?、跘 變式題組 1．[實驗操作](2013·安徽·21Ⅰ)根據單擺周期公式T＝2π，可以通過實驗測量當?shù)氐闹亓?/p>

8、速度．如圖4甲所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，就做成了單擺． 圖4 (1)用游標卡尺測量小鋼球直徑，示數(shù)如圖乙所示，讀數(shù)為________mm. (2)以下是實驗過程中的一些做法，其中正確的有________． a．擺線要選擇細些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些 b．擺球盡量選擇質量大些、體積小些的 c．為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的角度 d．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°，在釋放擺球的同時開始計時，當擺球回到開始位置時停止計時，此時間間隔Δt即為單擺周期T e．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于

9、5°，釋放擺球，當擺球擺動穩(wěn)定后，從平衡位置開始計時，記下擺球做50次全振動所用的時間Δt，則單擺周期T＝ 答案　(1)18.6　(2)abe 解析　(1)十分度游標尺的第6個刻度線與主尺刻度線對齊，所以讀數(shù)為18.6 mm.(2)對于單擺，擺線質量可忽略且不可伸長，所以應選伸縮性小的細線，擺球應選密度較大、體積小的鋼球；為使擺的周期大一些，由T＝2π 知，擺線應長些，所以選項a、b正確，為使單擺具有等時性，擺角應小于5°，要減小測量周期的誤差，計時起點應選在擺球的平衡位置，且測量多次(N)全振動的總時間(Δt)，然后再算出周期T＝，選項e正確． 2．[誤差分析]某實驗小組在利用單擺測定

10、當?shù)刂亓铀俣鹊膶嶒炛校? 圖5 (1)用游標卡尺測定擺球的直徑，測量結果如圖5所示，則該擺球的直徑為________cm. (2)小組成員在實驗過程中有如下說法，其中正確的是________(填選項前的字母)． A．把單擺從平衡位置拉開30°的擺角，并在釋放擺球的同時開始計時 B．測量擺球通過最低點100次的時間t，則單擺周期為 C．用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，代入單擺周期公式計算得到的重力加速度值偏大 D．選擇密度較小的擺球，測得的重力加速度值誤差較小 答案　(1)0.97　(2)C 解析　(1)由游標尺的“0”刻線在主尺上的位置讀出擺球直徑的整毫米數(shù)為9mm=0

11、.9 cm，游標尺中第7條刻度線與主尺刻度線對齊，所以應為0.07 cm，所以擺球直徑為0.9 cm＋0.07 cm＝0.97 cm. (2)單擺應從最低點計時，故A錯；因一個周期內，單擺有2次通過最低點，故B錯；由T＝2π得，g＝，若用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，則g偏大，C對；因空氣阻力的影響，選密度小的擺球，測得的g值誤差大，D錯． 考點二　實驗數(shù)據的處理 例2　在探究單擺周期與擺長關系的實驗中， (1)關于安裝儀器及測量時的一些實驗操作，下列說法中正確的是(　　) A．用米尺測出擺線的長度，記為擺長l B．先將擺球和擺線放在水平桌面上測量擺長l，再將單擺懸掛在鐵架臺上

12、 C．使擺線偏離豎直方向某一角度α(接近5°)，然后由靜止釋放擺球 D．測出擺球兩次通過最低點的時間間隔記為此單擺振動的周期 (2)實驗測得的數(shù)據如下表所示： 次數(shù) 1 2 3 4 5 擺長l/cm 80.00 90.00 100.00 110.00 120.00 30次全振動時間t/s 53.8 56.9 60.0 62.8 65.7 振動周期T/s 1.79 1.90 2.00 2.09 2.19 振動周期的平方T2/s2 3.20 3.61 4.00 4.37 4.80 請將測量數(shù)據標在圖6中，并在圖中作出T2隨l變化的關

13、系圖象． 圖6 (3)根據數(shù)據及圖象可知單擺周期的平方與擺長的關系是________． (4)根據圖象，可求得當?shù)氐闹亓铀俣葹開_______m/s2.(π＝3.14，結果保留3位有效數(shù)字) 解析　(1)本實驗中，應將擺球和擺線組成單擺之后再測量其擺長，擺長應為懸點到擺球球心的距離，故A、B錯誤；測量單擺的周期時，應為相鄰兩次通過最低點并且通過最低點的速度方向相同，即單擺做一次全振動，這段時間才為一個周期，為了減小誤差，須測量單擺的多個周期，然后再取平均值求出一個周期，故D錯誤；單擺在擺角小于5°時可認為做簡諧運動，故C正確． (2)通過描點、連線可得到單擺的T2－l圖象，近似

14、為一條直線． (3)通過作出的圖象說明單擺周期的平方和擺長成正比． (4)根據圖象求出圖線的斜率k，再根據單擺的周期公式可得g＝，進而求出重力加速度g. 答案　(1)C　(2)如圖所示 (3)成正比　(4)9.86 變式題組 3．[數(shù)據處理]下表是用單擺測定重力加速度實驗中獲得的有關數(shù)據： 擺長l m 0.5 0.6 0.8 1.1 周期T2 s2 2.0 2.4 3.2 4.4 (1)利用上述數(shù)據，在圖7的坐標系中描繪出l－T2圖象． 圖7 (2)利用圖象，取T2＝4.2 s2時，l＝________ m，重力加速度g＝________ m/s2

15、.(結果保留三位有效數(shù)字) 答案　(1)見解析圖　(2)1.05　9.86 解析　由T＝2π得l＝T2，所以圖象是過原點且斜率為的一條直線． (1)l－T2圖象如圖所示． (2)T2＝4.2 s2時，從圖中可讀出其擺長l＝1.05 m，將T2和l代入公式g＝，得g≈9.86 m/s2. 4．[數(shù)據處理]某同學在“用單擺測定重力加速度”的實驗中進行了如下的操作： (1)用游標尺上有10個小格的游標卡尺測量擺球的直徑如圖8甲所示，可讀出擺球的直徑為________ cm.把擺球用細線懸掛在鐵架臺上，測量擺線長，通過計算得到擺長L. 圖8 (2)用秒表測量單擺的周期．當單擺擺

16、動穩(wěn)定且到達最低點時開始計時并記為n＝1，單擺每經過最低點記一次數(shù)，當數(shù)到n＝60時秒表的示數(shù)如圖乙所示，該單擺的周期是T＝________ s(結果保留三位有效數(shù)字)． (3)測量出多組周期T、擺長L的數(shù)值后，畫出T2－L圖線如圖丙，此圖線斜率的物理意義是(　　) A．g B. C. D. (4)在(3)中，描點時若誤將擺線長當作擺長，那么畫出的直線將不通過原點，由圖線斜率得到的重力加速度與原來相比，其大小(　　) A．偏大 B．偏小 C．不變 D．都有可能 (5)該小組的另一同學沒有使用游標卡尺也測出了重力加速度，他采用的方法是：先測出一擺線較長的單擺的振動周期T1，

17、然后把擺線縮短適當?shù)拈L度ΔL，再測出其振動周期T2.用該同學測出的物理量表示重力加速度g＝________. 答案　(1)2.06　(2)2.28　(3)C (4)C　(5) 解析　(1)擺球的直徑為d＝20 mm＋6× mm＝20.6 mm＝2.06 cm.(2)秒表的讀數(shù)為t＝60 s＋7.4 s＝67.4 s，根據題意t＝T＝T，所以周期T＝≈2.28 s．(3)根據單擺周期公式T＝2π，可得＝＝k(常數(shù))，所以選項C正確．(4)因為＝＝k(常數(shù))，所以＝＝k，若誤將擺線長當作擺長，畫出的直線將不通過原點，但圖線的斜率仍然滿足＝＝k，所以由圖線的斜率得到的重力加速度不變．(5)根據

18、(4)的分析，＝，所以g＝＝. 5．[數(shù)據處理]有兩個同學利用假期分別去參觀北大和南大的物理實驗室，各自利用先進的DIS系統(tǒng)較準確地探究了“單擺的周期T與擺長L的關系”，他們通過校園網交換了實驗數(shù)據，并由計算機繪制了T2－L圖象，如圖9甲所示 .去北大的同學們所測實結果對應的圖線是________(選填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同學還利用計算機繪制了兩種單擺的振動圖象(如圖乙)，由圖可知，兩單擺擺長之比＝________. 圖9 答案　B　2 解析　由T＝2π得，T2＝L，根據題圖甲可知＞，即gA＜gB，因為北大更靠近北極，其所在的重力加速度更大些，所以應選B；根據題圖

19、甲可知＝·＝＝，由題圖乙可得＝，根據T2＝L得＝2. 考點三　實驗拓展與創(chuàng)新 例3　(1)在“探究單擺周期與擺長的關系”實驗中，兩位同學用游標卡尺測量小球的直徑的操作如圖10甲、乙所示．測量方法正確的是________(選填“甲”或“乙”)． 圖10 (2)實驗時，若擺球在垂直紙面的平面內擺動，為了將人工記錄振動次數(shù)改為自動記錄振動次數(shù)，在擺球運動的最低點的左、右兩側分別放置一激光光源與光敏電阻，如圖11甲所示．光敏電阻與某一自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖線如圖乙所示，則該單擺的振動周期為________．若保持懸點到小球頂點的繩長不變，改用直徑是原小球

20、直徑2倍的另一小球進行實驗，則該單擺的周期將________(填“變大”“不變”或“變小”)，圖乙中的Δt將________(填“變大”“不變”或“變小”)． 圖11 解析　(1)游標卡尺應該用兩外測量爪對齊的地方測量，正確的是圖乙． (2)一個周期內小球應該兩次經過最低點，使光敏電阻的阻值發(fā)生變化，故周期為t1＋2t0－t1＝2t0；小球的直徑變大后，擺長變長，周期變大；同時小球直徑變大后使得每次經過最低點時擺球的擋光的時間變長，即Δt變大． 答案　(1)乙　(2)2t0　變大　變大 變式題組 6．[實驗創(chuàng)新]為了研究滑塊的運動，選用滑塊、鉤碼、紙帶、毫米刻度尺、帶滑輪的木板

21、以及由漏斗和細線構成的單擺等組成如圖12甲所示裝置，實驗中，滑塊在鉤碼作用下拖動紙帶做勻加速直線運動，同時讓單擺垂直于紙帶運動方向做小擺幅擺動，漏斗可以漏出很細的有色液體，在紙帶上留下的痕跡記錄了漏斗在不同時刻的位置，如圖乙所示． 圖12 (1)漏斗和細線構成的單擺在該實驗中所起的作用與下列哪個儀器相同？________(填寫儀器序號)． A．打點計時器　B．秒表　C．毫米刻度尺　D．電流表 (2)已知單擺周期T＝2 s，在圖乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm，則單擺在經過D點時，滑塊的瞬時速度為vD＝________

22、 m/s，滑塊的加速度為a＝________ m/s2(結果保留兩位小數(shù))． 答案　(1)A　(2)0.34　0.04 解析　(1)單擺振動具有周期性，擺球每隔半個周期經過紙帶中線一次，單擺在該實驗中所起的作用與打點計時器相同，故選A. (2)在勻變速直線運動中時間中點的瞬時速度大小等于該過程中的平均速度大小，故有vD＝＝0.34 m/s據勻變速直線運動的推論Δx＝aT2，有： x4－x2＝2a1()2 ①　x3－x1＝2a2()2 ② 聯(lián)立①②有：a＝＝ 代入數(shù)據得a＝0.04 m/s2 7. [實驗創(chuàng)新]將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h(未知)且開口向下的小筒中(單擺的下部

23、分露于筒外)，如圖13所示，將懸線拉離平衡位置一個小角度后由靜止釋放，單擺振動過程中懸線不會碰到筒壁，如果本實驗的長度測量工具只能測量出筒的下端口到擺球球心的距離L，并通過改變L而測出對應的擺動周期T，再以T2為縱軸、L為橫軸作出T2－L函數(shù)關系圖象，那么就可以通過此圖象得出小筒的深度h和當?shù)氐闹亓铀俣萭. 圖13 (1)如果實驗中所得到的T2－L關系圖象如圖14所示，那么真正的圖象應該是a、b、c中的________； 圖14 (2)由圖可知，小筒的深度h＝________ m，當?shù)刂亓λ俣萭＝________ m/s2；(計算結果保留三位有效數(shù)字) (3)在實驗中，每次

24、測量時總是錯誤地把擺線加上球直徑當成了擺長，如果仍然采用題中圖象方法處理數(shù)據，你認為會對實驗結果造成怎么樣的影響？對h的影響是________，對g的影響是________． A．無影響　B．比真實值小　C．比真實值大　D．不確定 答案　(1)a　(2)0.315　9.86　(3)B　A 解析　(1)由單擺周期公式T＝2π 得T2＝＋ 當L＝0時，T2＝＞0，則真正的圖象是a. (2)當T2＝0時，L＝－h(huán)，即圖象與L軸交點坐標h＝－L＝31.5 cm＝0.315 m．圖線的斜率大小k＝，由圖象可得k＝4，代入解得：g≈9.86 m/s2. (3)根據(1)中分析可知把擺線加上球直徑當成了擺長，即L偏大，導致圖線的縱軸截距偏小，斜率不變．故對h的影響是比真實值小，對g的值沒有影響．