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§7.5 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、柱面,四、二次曲面,三、旋轉(zhuǎn)曲面,五、小結(jié),1,水桶的表面、臺燈的罩子面等.,曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡.,1、曲面方程的定義,曲面的實(shí)例:,一、曲面方程的概念,若曲面 S 與三元方程 F ( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:,(1) 曲面 S 上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;,(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足此方程,,則稱方程 F( x, y, z ) = 0 為曲面 S 的方程, 而曲面 S 稱 為方程 F ( x, y, z ) = 0 的圖形.,2,2、常見曲面的方程,解,則由題意知,∴所求球面方程為,若球心在原點(diǎn), 則球面方程為,例 1 建立球心在點(diǎn) M0 (x0 , y0 , z0)、半徑為 R 的球 面的方程.,設(shè) M (x, y, z) 是球面上的任一點(diǎn),,即,3,則由題意知,∴所求平面方程為,解,例 2 設(shè)有點(diǎn) A (1, 2, 3) 和 B (2, -1, 4), 求線段 AB 的垂直平分面的方程.,設(shè) M (x, y, z) 為所求平面上的任一點(diǎn),,即,4,(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時, 建立這曲面 的方程;,以上幾例表明, 研究空間曲面有兩個基本問題:,(2) 已知坐標(biāo) x、y 和 z 間的一個方程時, 研究這方 程所表示的曲面的形狀.,（討論旋轉(zhuǎn)曲面）,（討論柱面、二次曲面）,5,例 3 方程 表示怎樣的曲 面?,原方程可化為,解,∴原方程表示球心在點(diǎn) M0 (1, -2, 0)、半徑為 R = 的球面.,6,說明: 如下形式的三元二次方程,都可通過配方來研究它的圖形,,其圖形可能是一個球面,,或者點(diǎn), 或者虛軌跡.,7,二、柱面,引例 方程,表示怎樣的曲面.,的坐標(biāo)也滿足方程,解,表示圓 C,,沿圓周 C 平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為,故在空間,過此點(diǎn)作,圓柱面.,對任意 z, 點(diǎn),平行 z 軸的直線 l ,,表示圓柱面.,,在圓 C 上任取一點(diǎn),,,,其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,,在 xOy 面上,,8,播放,定義: 直線 L 沿定曲線 C 平行移動形成的軌跡稱 為柱面. 定曲線 C 稱為柱面的準(zhǔn)線, 動直線 L 稱為柱面 的母線.,觀察柱面的形成過程:,9,柱面舉例,,,,,拋物柱面,平面,10,柱面的特征:,（其他類推）,實(shí) 例,橢圓柱面 // 軸,雙曲柱面 // 軸,拋物柱面 // 軸,只含 x、y 而缺 z 的方程 F (x, y) = 0 在空間直角 坐標(biāo)系中表示母線平行于 z 軸的柱面, 其準(zhǔn)線是 xOy 面上的曲線 C: F (x, y) = 0.,11,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義: 以一條平 面曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周所 成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲 面,旋轉(zhuǎn)曲線和定直線 分別稱為旋轉(zhuǎn)曲面的 母線和軸.,播放,12,,設(shè) M1(0, y1, z1)為曲線 C 上的任一點(diǎn),,設(shè)在 yOz 坐標(biāo)面上有一已知曲線 C, 它的方程為,將這曲線繞 z 軸旋一周, 就得到一個以 z 軸為軸的旋轉(zhuǎn) 曲面.,則有,當(dāng)曲線 C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn) 時, 點(diǎn) M1 (0, y1, z1) 繞 z 軸 轉(zhuǎn)到另一點(diǎn) M (x, y, z),,13,這時,(1) z = z1;,(2) 點(diǎn) M 到 z 軸的距離為,將 代入 f (y1 , z1) = 0, 得,這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.,14,同理, 曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為,由此可知, 在曲線 C 的方程 f (y, z) = 0 中將 y 改成 , 便得曲線 C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的 方程.,15,例 4 直線 L 繞另一條與 L 相交的直線旋轉(zhuǎn)一周, 所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面. 兩直線的交點(diǎn)稱為圓錐面 的頂點(diǎn), 兩直線的夾角α ( ) 稱為圓錐面的半 頂角. 試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) O, 旋轉(zhuǎn)軸為 z 軸, 半頂 角為α 的圓錐面的方程.,16,,,解,,,∴所求圓錐面的方程為,在 yOz 坐標(biāo)面上, 直線 L 的方程為,∵旋轉(zhuǎn)軸為 z 軸,,或,其中 a = cotα.,17,例 5 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生 成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.,旋轉(zhuǎn)雙曲面,,(1) 雙曲線 分別繞 x 軸和 z 軸;,若繞 x 軸旋轉(zhuǎn), 則得,若繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 則得,18,旋轉(zhuǎn)橢球面,旋轉(zhuǎn)拋物面,(2) 橢圓 分別繞 y 軸和 z 軸;,若繞 y 軸旋轉(zhuǎn), 則得,若繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 則得,(3) 拋物線 繞 z 軸.,若繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 則得,19,四、二次曲面,三元二次方程 F (x, y, z) = 0 所表示的曲面稱為二 次曲面.,相應(yīng)地, 平面被稱為一次曲面.,1、二次曲面的定義,其基本類型:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面.,2、研究二次曲面性狀的截痕法,平面 z = t 與曲面 F (x, y, z) = 0 的交線稱為截痕. 通過綜合截痕的變化來了解曲面形狀的方法稱為截痕 法.,20,1、橢球面,(1) 范圍,由方程可知,即,這說明橢球面包含在由平面 x = ±a, y = ±b, z = ±c 圍 成的長方體內(nèi).,21,橢圓,,,,(2) 橢球面與三個坐標(biāo)面的交線:,22,橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.,(3) 截痕:,同理, 橢球面與平面 x = x1 和 y = y1 的交線為橢圓,,橢球面與平面 z = z1 的交線為橢圓,23,橢球面的幾種特殊情況:,(旋轉(zhuǎn)橢球面),,由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成,,方程可寫為,① 若 a = b, 則橢球面變?yōu)?24,(球面),,截面上圓的方程,方程可寫為,② 若 a = b = c, 則橢球面變?yōu)?旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別:,與平面 的交線為圓,,25,2、拋物面,原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).,① 用坐標(biāo)面 xOy (z = 0) 與曲面相截, 得坐標(biāo)原點(diǎn) O (0, 0, 0).,與平面 z = z1 (z1 0) 的交線為橢圓,與平面 z = z1 (z1 0) 不相交.,(1) 橢圓拋物面,當(dāng) z1 變動時, 這種橢圓的中心都在 z 軸上.,26,② 用坐標(biāo)面 xOz (y = 0) 與曲面相截, 得拋物線,與平面 y = y1 的交線為拋物線,它的軸平行于 z 軸,,頂點(diǎn)為,③ 用坐標(biāo)面 yOz (x = 0), 平面 x = x1 與曲面相截, 均可得拋物線.,27,綜上所述, 橢圓拋物面的圖形如下:,28,特別地, 當(dāng) a = b = 時, 方程變?yōu)?旋轉(zhuǎn)拋物面,由 zOx 面上的拋物線 x 2 = 2pz 繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的.,與平面 z = z1 (z1 0) 的交線為圓,當(dāng) z1 變動時, 這種圓的中心都在 z 軸上.,29,雙曲拋物面又稱馬鞍面,,也可用截痕法討論, 其圖形如下:,(2) 雙曲拋物面,30,3、雙曲面,① 用坐標(biāo)面 xOy (z = 0) 與曲面相截, 得中心在原點(diǎn) O (0, 0, 0) 的橢圓,與平面 z = z1 的交線為橢圓,(1) 單葉雙曲面,當(dāng) z1 變動時, 這種橢圓的中心都在 z 軸上.,31,實(shí)軸與 軸相合, 虛軸與 軸相合.,② 用坐標(biāo)面 xOz (y = 0) 與曲面相截, 得中心在原 點(diǎn) O (0, 0, 0) 的雙曲線,與平面 y = y1 (y1 ≠ ±b) 的交線為雙曲線,雙曲線的中心都在 軸上.,32,則截痕為一對相交于點(diǎn) (0,±b,0) 的直線,(i) 若 | y1 | b,,則實(shí)軸與 x 軸平行, 虛軸與 z 軸平行;,(ii) 若 | y1 | b,,則實(shí)軸與 z 軸平行, 虛軸與 x 軸平行;,(iii) 若 | y1 | = b,,33,綜上所述, 單葉雙曲面的圖形如下:,平面 x = ±a 與曲面的截痕是兩對相交直線.,③ 用坐標(biāo)面 yOz (x = 0), 平面 x = x1 與曲面相截, 均可得雙曲線.,34,(2) 雙葉雙曲面,35,1、曲面方程的概念,2、柱面的概念 (母線、準(zhǔn)線).,3、旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.,五、小結(jié),4、橢球面、拋物面、雙曲面、錐面、截痕法.,（熟知這幾個常見曲面的特性）,36,思考題一,指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何 中分別表示什么圖形？,37,,,思考題一解答,平面解析幾何中,空間解析幾何中,方程,平行于 y 軸的直線,平行于 yOz 面的平面,圓心在 (0, 0), 半徑 為 2 的圓,以 z 軸為中心軸的圓柱面,斜率為 1 的直線,平行于 z 軸的平面,38,思考題二,方程,表示怎樣的曲線？,39,思考題二解答,表示雙曲線.,,40,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,41,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,,42,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,,43,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,,44,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,,45,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,,46,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,,47,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,,48,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,,49,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,,50,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,,51,三、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸．,,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,