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1、 2023屆新高考數(shù)學壓軸題專題突破 近來準備第一次月考，做了不少模擬題，看了一些復(fù)習書，也發(fā)現(xiàn)了自身存在的一些值得提升之處。再加上前些天看見中學數(shù)學星空公眾號中有學生投稿導(dǎo)數(shù)題，命題的質(zhì)量雖高，卻感覺和新高考差距過大，便嘗試第一次高質(zhì)量的（歷時3天）按新高考及最新模擬題的風格命制了一道導(dǎo)數(shù)壓軸題。我們將以這道題為例，逐個擊破導(dǎo)數(shù)壓軸題的各個考點（零點與雙變量、泰勒展開，主要是不等式證明）。試題如下： 已知函數(shù)fx=ex?1mx?x (m>0)在x∈(0, +∞)時有極小值． (1) 求m的取值范圍； (2) 設(shè)直線y=xm+1與fx的圖像有兩個交點，橫坐標記為x1, x2

2、 (x12m4+5m3+9m2+6m． 注：e=2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù)，ln2≈0.693． 請大家先不要往后看，自己認真想一想，還是挺有味道的。 第一次命制這種風格（之前高考卷出來后，依葫蘆畫瓢仿著出了一道三角函數(shù)為背景的，現(xiàn)在看看太low了）的導(dǎo)數(shù)壓軸題，也是第一次寫數(shù)學小專題來投稿，如有不足敬請諒解，也歡迎批評指正或提出寶貴建議；如有好的想法或者解題思路，可以下方留言；也歡迎留下聯(lián)系方式，后續(xù)可以深度交流。 乍看這題，許多同學可能感到束手無策．其實，個人認為這題的區(qū)分度還是比較高的，第(2)問的大體思路還是比較明

3、確的。 先說第(1)問，求導(dǎo)得f'x=exx?1+1?mx2mx2，若fx在x∈(0, +∞)時有極小值，則此時exx?1+1?mx2=0有解。有人可能堅信參變分離一時爽，可是這題你就會發(fā)現(xiàn)參變分離后的函數(shù)求導(dǎo)略微有些復(fù)雜，于是我們還不如直接研究gx=exx?1+1?mx2。求導(dǎo)得g'x=(ex?2m)x，設(shè)ln2m=k，gmin=?k=klnk?k+1?kln2k2，?'k=?ln2k2≤0，?1=0，所以k≥1，即m≥12。這就結(jié)束了嗎？那恭喜你掉坑了，盡管這道題你帶回檢驗時不會找到極大值點，但是m=12時極小值點為0，不合題意，故m>12。 再說第(2)問之前，我們先來看一些常用的不

4、等式。 下面正式進入第(2)問。 數(shù)感好的同學，把欲證的表達式移項后因式分解，會發(fā)現(xiàn)原命題等價于證明x2>m33+m22+m ，且x1<1m+1。這也側(cè)面體現(xiàn)了這道題的善良，你只需要分別搞定兩個零點，不用去想那些化為單變量、切線放縮之類的。 這里另提一句，有同學直接放縮x1<1，于是轉(zhuǎn)化為證明x2>m+1(m33+m22+m)，這也是可行的，但是這樣x2那邊并不好看，如果此時再將右側(cè)放到m24，便會出錯，所以我并不推薦這么做。 但是，本題不需要用到那些方法，不代表以后考試也不需要，這里給出兩道題目，簡單介紹一下化為單變量與切線放縮的具體操作，大家也可借此熱熱身。 先看這道2

5、018年理科1卷的壓軸題（難度較低，適合入門找信心）。 再看這道2022年淄博三模的壓軸題（難度略高，適合拔高提能力）。 回到本題，按照正確的（較理想的）解法，首先要用到零點存在定理。這部分新高考有著較高的要求，尤其要注意找具體的數(shù)值代入來比大小，而不能僅僅用圖像或極限來說明。 零點存在定理：假設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù)，且函數(shù)值fa與fb異號，則在開區(qū)間(a, b)上必定存在至少一個c，使得fc=0。 記φx=x+1m，由于fx下凸，回到之前的思路，要證明x2>m33+m22+m ，且x1<1m+1，由零點存在定理，只需證，①φm33+m22

6、+m>fm33+m22+m，②φ1m+1>f1m+1。 柿子先挑軟的捏，稍加分析可知顯然②比①要好證得多。那就先證明②：把兩邊分別帶進去，得到不等式(m+1)(e1m+1?1)m?1m+1<1m(m+1)+1，移項通分化簡得 e1m+1<2，分析單調(diào)性再賦值，發(fā)現(xiàn)該式顯然成立，所以φ1m+1>f1m+1。對于這一個不等式，其實就是在考察你是否能熟練地完成中考要求的分式化簡，最后一步顯得極為簡單。 那么現(xiàn)在就差證明φm33+m22+m>fm33+m22+m了，如果方法選取不當，或是放縮不夠精準，要想順利證明還是有些困難的。 真正熟悉泰勒展開的同學，一定知道lnx+1=x?x22+x33?x

7、44+… 把式中?x換成m，在兩邊同乘?1，就得到ln11?m>m33+m22+m，這時就轉(zhuǎn)化為證明x2>ln11?m，即只需證φln11?m>fln11?m。 設(shè)t=ln11?m∈(ln2, 2)，這步換元能使后面的書寫簡單許多。原不等式寫作ett?t0。到這里有的同學可能又犯難了，這么復(fù)雜的式子，總不至于直接求導(dǎo)吧。的確，一般看到et的形式，通常會想到放縮et>t+1，那就等價于證明2t2+1?et>0，分析單調(diào)性再賦值，發(fā)現(xiàn)原式恒大于兩個端點值。代入t=2發(fā)現(xiàn)大于零沒問題，可是代入t=ln2卻發(fā)現(xiàn)剛好

8、略小于零，這可有點尷尬。不妨在這個區(qū)間里隨便取個值，比如t=1，代入發(fā)現(xiàn)大于零也沒問題，故當t∈(1, 2)時，由上述推理易知原不等式成立。 至此，只需證明當t∈(ln2, 1)時，2t2+t+1?et?t2+tet>0。既然剛才的放縮略微過頭了一點，我們把精度提高，多保留一項，考慮放縮et>t22+t+1， 那么原不等式等價于證明2t2+1+t36?et>0。事到如今，似乎也只能暴力求導(dǎo)了（除非能找到et小于某個很好看的式子）。先求一階導(dǎo)4t+t22?et，再求二階導(dǎo)t+4?et，二階導(dǎo)恒大于零，t=ln2時一階導(dǎo)大于零，所以2t2+1+t36?et單調(diào)遞增，當t∈(ln2, 1)時恒大

9、于零． 綜上，6x2x1>2m4+5m3+9m2+6m得證． 最后，簡單總結(jié)一下，對于證明不等式的問題，往往有以下兩種思路。 (1) 直接構(gòu)造函數(shù)證明不等式：證明不等式最常見的方法是利于函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，即把不等式的證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，直接構(gòu)造然后再利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式.這種策略只能適用于函數(shù)形式不太復(fù)雜的情況，而且有時要結(jié)合隱零點的策略。 (2) 放縮證明不等式：對于一個函數(shù)型不等式的問題，更常見的情況是進行放縮后繼續(xù)證明，我們放縮的目的是為了進行化簡，將過于復(fù)雜的一些項給放掉。在放縮過程中，切線放縮和泰勒展開是我們放縮證明不等式的兩大法寶。 注：最后

10、一頁是完整版答案解析和評分標準。 答案詳解： (1) 求導(dǎo)得f'x=exx?1+1?mx2mx2，若fx在x∈(0, +∞)時有極小值，則此時gx=exx?1+1?mx2=0有解．g'x=(ex?2m)x，設(shè)ln2m=k，gmin=?k=klnk?k+1?kln2k2，?'k=?ln2k2≤0，?1=0，所以k≥1，即m≥12．但是m=12時極小值點為0，不合題意，故m>12． (2) 要證明6x2x1>2m4+5m3+9m2+6m，移項再因式分解后整理可得，等價于證明：x2>ln11?m>m33+m22+m (泰勒展開)且x1<1m+1．記φx=x+1m，由于fx下凸，所以只需

11、證，當m<1?1e2時：①φln11?m>fln11?m，②φ1m+1>f1m+1．先證明②：等價于證明(m+1)(e1m+1?1)m?1m+1<1m(m+1)+1，只需證e1m+1<2，分析單調(diào)性再賦值，發(fā)現(xiàn)該式顯然成立，所以φ1m+1>f1m+1．再證明①：設(shè)t=ln11?m∈(ln2, 2)，等價于證明ett?t0．當t∈(1, 2)時，考慮放縮et>t+1，等價于證明2t2+1?et>0，分析單調(diào)性再賦值，發(fā)現(xiàn)該式顯然成立；當t∈(ln2, 1)時，考慮放縮et>t22+t+1，等價于證明2t2+1+t36?et>0，先求一階導(dǎo)4t+t22?et，再求二階導(dǎo)t+4?et，二階導(dǎo)恒大于零，t=ln2時一階導(dǎo)大于零，所以2t2+1+t36?et單調(diào)遞增，當t∈(ln2, 1)時恒大于零．綜上，6x2x1>2m4+5m3+9m2+6m得證． 評分標準： 本題滿分12分．第(1)問共4分，得出?k或等價表達式2分，最終結(jié)果正確2分（m=12未舍去扣1分）．第(2)問共8分，命題的等價轉(zhuǎn)化2分，證明①共4分（當t∈(1, 2)時2分，當t∈(ln2, 1)時2分），證明②2分（若將x1放縮到1且證明正確也得2分）．其余解法酌情給分．