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1、2.1離散型隨機變量及其分布列 知識梳理 知識點1：隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母 X , Y，，，… 表示． 例如，在含有10件次品的100 件產(chǎn)品中，任意抽取4件，可能含有的次品件數(shù)X 將隨著抽取結(jié)果的變化而變化，是一個隨機變量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用隨機變量可以表達一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能說出｛X< 3 ｝在這里表示什么事件嗎？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？ 知識點2：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量. 離散型隨機變量的

2、例子很多．例如某人射擊一次可能命中的環(huán)數(shù) X 是一個離散型隨機變量，它的所有可能取值為0，1，…，10；某網(wǎng)頁在24小時內(nèi)被瀏覽的次數(shù)Y也是一個離散型隨機變量，它的所有可能取值為0, 1,2，…. 注意：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出 注意：（1）有些隨機試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)量來表達如投擲一枚硬幣，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上 （2）若是隨機變量，是常數(shù)，則也是隨機變量 知識點3： 分布

3、列 設(shè)離散型隨機變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列 . 知識點4： 分布列的兩個性質(zhì) 任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足:，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．由此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． 對于離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和 即 . 知識點5：兩點分布列 在擲一

4、枚圖釘?shù)碾S機試驗中，令如果針尖向上的概率為，試寫出隨機變量 X 的分布列．根據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是（) ．于是，隨機變量 X 的分布列是 ξ 0 1 P 像上面這樣的分布列稱為兩點分布列． 兩點分布列的應(yīng)用非常廣泛．如抽取的彩券是否中獎；買回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可以用兩點分布列來研究．如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布，而稱=P (X = 1）為成功概率． 兩點分布又稱0一1分布．由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫伯努利試驗，所以還稱這種分布為伯努利分布． ， ， ，． 知識點6：超

5、幾何分布列 一般地，在含有M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件 {X=k｝發(fā)生的概率為,其中，且． 稱分布列 X 0 1 … P … 為超幾何分布列．如果隨機變量 X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量 X 服從超幾何分布. 2.2條件概率與二項分布 知識梳理： 知識點1：設(shè)A和B為兩個事件，P(A)>0，那么，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率. 用符號“”來表示，讀作A發(fā)生的條件下B的概率. 知識點2：我們把事件A和B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A與B的交（或積），記做. 一般的我們有條件

6、概率公式定義為 .（） 條件概率的性質(zhì)： （1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即. （2）如果是B和C兩個互斥事件,則. 知識點3：相互獨立事件及其發(fā)生的概率 （1）定義：設(shè)A, B為兩個事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 則稱事件A與事件B相互獨立.事件（或）是否發(fā)生對事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件若與是相互獨立事件，則與，與，與也相互獨立 （2）相互獨立事件同時發(fā)生的概率： 兩個相互獨立事件同時

7、發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積一般地，如果事件相互獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即 ． （3）對于事件A與B及它們的和事件與積事件有下面的關(guān)系： 知識點4：獨立重復(fù)試驗 （1）定義：指在同樣條件下進行的，各次之間相互獨立的一種試驗 （2）獨立重復(fù)試驗的概率公式： 一般地，如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率．它是展開式的第項 知識點5:離散型隨機變量的二項分布 在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發(fā)

8、生的概率是P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是 ，（k＝0,1,2,…，n，）． 于是得到隨機變量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P … … 由于恰好是二項展開式 中的各項的值，所以稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布， 記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記＝b(k；n，p)． 二、典型例題分析： 題型一隨機變量、離散型隨機變量的概念 例1． （1）①某尋呼臺一小時內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；②長江上某水文站觀察到一天中的水位；③某超市一天中的顧客量 其中的是連續(xù)型隨機變量的是（ ） A．①；　　B．②

9、；　　C．③；　　D．①②③ （2）隨機變量的所有等可能取值為，若，則（ ） A．；　　B．；　　C．；　　D．不能確定 （3）拋擲兩次骰子，兩個點的和不等于8的概率為（ ） A．；　　B．；　　C．；　　D． 練習：1. 拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為ξ，試問：“ξ> 4”表示的試驗結(jié)果是什么？ 2：如果是一個離散型隨機變量，則假命題是( ) A. 取每一個可能值的概率都是非負數(shù)；B. 取所有可能值的概率之和為1； C. 取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和； D. 在某一范圍內(nèi)取值的概率大于

10、它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和 3. 隨機變量X的分布列為 X -1 0 1 2 3 p 0.16 a/10 a2 a/5 0.3 則a=＿＿＿＿＿＿＿。 4.某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率． 題型二。解決超幾何分布問題 例1．在含有 5 件次品的 100 件產(chǎn)品中，任取 3 件，試求： (1)取到的次品數(shù)X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概

11、率． 變式1：袋中有大小相同的個白球和個黑球，從中任意摸出個，求下列事件發(fā)生的概率 (1)摸出個或個白球 (2)至少摸出一個黑球 2．盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機地抽取4只，那么為（　?。? Ａ．恰有1只壞的概率 Ｂ．恰有2只好的概率 Ｃ．4只全是好的概率 Ｄ．至多2只壞的概率 3．袋子里裝有大小相同的黑白兩色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，現(xiàn)從中隨機地取出2只手套，如果2只是同色手套則甲獲勝，2只手套顏色不同則乙獲勝．試問：甲、乙獲勝的機會是（　?。? Ａ．甲多 Ｂ．乙多 Ｃ．一樣多 Ｄ．不確定 題

12、型三：求離散型隨機變量的分布列 例1．（1）一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個數(shù)是綠球個數(shù)的兩倍，黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半．現(xiàn)從該盒中隨機取出一個球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得－1分，試寫出從該盒中取出一球所得分數(shù)ξ的分布列． （2）．擲3枚均勻硬幣一次，求正面?zhèn)€數(shù)與反面?zhèn)€數(shù)之差X的分布列． 變式1. 袋子中有1個白球和2個紅球． ⑴ 每次取1個球，不放回，直到取到白球為止．求取球次數(shù)的分布列． ⑵ 每次取1個球，放回，直到取到白球為止．求取球次數(shù)的分布列． 例2. 一袋

13、中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以表示取出球的最大號碼，求的分布列． 變式訓練2：現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占30%，從中任取2粒，記為2粒中優(yōu)質(zhì)良種粒數(shù)，則的分布列是 . 題型四：求條件概率 計算事件發(fā)生的條件下的條件概率，有2種方法： (1)利用定義： (2)利用古典概型公式： 例1：拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子所得的樣本空間為S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P（A），P（B），P（AB），P（A︱B）。 變式1：

14、在一個盒子中有大小一樣的20個球，其中10和紅球，10個白球。求第1個人摸出1個紅球，緊接著第2個人摸出1個白球的概率。 2、從一副不含大小王的張撲克牌中不放回地抽取張，每次抽張，已知第一次抽到，第二次也抽到的概率為 . 3、擲骰子次，每個結(jié)果以記之，其中，分別表示第一顆，第二顆骰子的點數(shù)，設(shè)，，則 . 題型五：相互獨立事件的概率計算 例1：甲、乙二射擊運動員分別對一目標射擊次，甲射中的概率為，乙射中的概率為，求： （1）人都射中目標的概率； （2）人中恰有人射中目標的概率； （3）人至少有人射中

15、目標的概率； （4）人至多有人射中目標的概率？ 變式1．甲、乙兩名籃球運動員分別進行一次投籃，如果兩人投中的概率都是，計算： (1)兩人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概 變式2：重復(fù)拋擲一枚篩子5次得到點數(shù)為6的次數(shù)記為ξ，求P(ξ>3)． 例 2.在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關(guān)，只要其中有1個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率 變式1：如圖添加第四個開關(guān)與其它三個開關(guān)

16、串聯(lián)，在某段時間內(nèi)此開關(guān)能夠閉合的概率也是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率 變式2：如圖兩個開關(guān)串聯(lián)再與第三個開關(guān)并聯(lián)，在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率 例 3.已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機的概率為0.2． （1）假定有5門這種高炮控制某個區(qū)域，求敵機進入這個區(qū)域后未被擊中的概率； （2）要使敵機一旦進入這個區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？ 分析:因為敵機被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機，故敵機被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機的概率 變式1：某人對一目標

17、進行射擊，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少應(yīng)射擊幾次？ 變式2：一批玉米種子，其發(fā)芽率是0.8.（1）問每穴至少種幾粒，才能保證每穴至少有一粒發(fā)芽的概率大于？（2）若每穴種3粒，求恰好兩粒發(fā)芽的概率．（） 題型五獨立重復(fù)試驗問題的計算 例1．實力相等的甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，規(guī)定5局3勝制（即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止比賽）． （1）試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率． （2）按比賽規(guī)則甲獲勝的概率． 變式：某車間的5臺機床在1小時內(nèi)需要工人照管的概率都是，求1小時內(nèi)5臺機床中至少2臺需要工人照管的概率是

18、多少？（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字） 三、課堂總結(jié) ： 1.隨機變量離散型、隨機變量連續(xù)型隨機變量的概念．隨機變量ξ是關(guān)于試驗結(jié)果的函數(shù)，即每一個試驗結(jié)果對應(yīng)著一個實數(shù)；隨機變量ξ的線性組合η=aξ+b(其中a、b是常數(shù))也是隨機變量． 2.⑴根據(jù)隨機變量的概率分步（分步列），可以求隨機事件的概率；⑵兩點分布是一種常見的離散型隨機變量的分布，它是概率論中最重要的幾種分布之一．(3) 離散型隨機變量的超幾何分布． 3.兩個事件相互獨立，是指它們其中一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響一般地，兩個事件不可能即互斥又相互獨立，因為互斥事件是不可能同時發(fā)生

19、的，而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提的相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積,這一點與互斥事件的概率和也是不同的 4．獨立重復(fù)試驗要從三方面考慮：第一，每次試驗是在同樣條件下進行；第二，各次試驗中的事件是相互獨立的第三，每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生 5．如果1次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率為對于此式可以這么理解：由于1次試驗中事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，所以在次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次，則在另外的次中沒有發(fā)生，即發(fā)生，由，所以上面的公式恰為展開式中的第項，可見排列組合、二項式定理及概率間存在著密切的聯(lián)系

20、 關(guān)于求概率方法小結(jié)： 1．運用 P(A·B)＝P(A)·P(B)等概率公式時，應(yīng)特別注意各自成立的前提條件，切勿混淆不清．如當為相互獨立事件時運用便錯． 2．獨立重復(fù)試驗是指在同樣條件下可重復(fù)進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，每次試驗都只有兩重結(jié)果（即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生），并且在任何一次試驗中，事件發(fā)生的概率均相等． 獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例（概率公式也是如此），就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只是有“恰好”字樣的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣． 3．解決概率問題要注意“三個步

21、驟，一個結(jié)合”： （1）求概率的步驟是： 和事件 積事件 第一步，確定事件性質(zhì)，即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種． 第二步，判斷事件的運算，即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件． 第三步，運用公式求得．等可能事件： 互斥事件：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A·B)＝0 獨立事件：P(A·B)＝P(A)·P(B)等 n 次獨立重復(fù)試驗： 課后練習： 一、選擇題 1．已知非空集合A、B滿足AB，給出以下四個命題： ①若任取x∈A，則x∈B是必然事件 ②若xA，則x∈B是不可能事件 ③若任取x∈B，則x∈A是隨機事件

22、④若xB，則xA是必然事件 其中正確的個數(shù)是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 2．一射手對同一目標獨立地射擊四次，已知至少命中一次的概率為，則此射手每次射擊命中的概率為（ ） A. B. C. D. 3．設(shè)是離散型隨機變量，，，且，現(xiàn)已知：，，則的值為（ ） (A)　　　　　(B)　　　　　　(C) ３　　(D)　　 4．福娃是北京2008年第29屆奧運會吉祥物，每組福娃都由“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮”這五個福娃組成．甲、乙

23、兩位好友分別從同一組福娃中各隨機選擇一個福娃留作紀念，按先甲選再乙選的順序不放回地選擇，則在這兩位好友所選擇的福娃中，“貝貝”和“晶晶”恰好只有一個被選中的概率為（ ） A． B． C． D． 5．（漢沽一中2008~2009屆月考文9）.面積為S的△ABC，D是BC的中點，向△ABC內(nèi)部投一點，那么點落在△ABD內(nèi)的概率為 ( ) A. B. C. D. 7．在圓周上有10個等分，以這些點為頂點，每3個點可以構(gòu)成一個三角形，如果隨機選擇了3個點，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是（ ） A. B. C.

24、 D. 8．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽車的準時到站率為60%，則他在3天乘車中，此班次公共汽車至少有2天準時到站的概率為 （ ） A． B． C． D． 9．甲、乙、丙三位同學上課后獨立完成5道自我檢測題，甲及格概率為，乙及格概率為，丙及格概率為，則三人中至少有一人及格的概率為（ ） A．　　　　B．　　　　　 C．　　　　　　D． 10．從集合中隨機取出6個不同的數(shù)，在這些選法中，第二小的數(shù)為的概率是 A. B. C. D. 二、填空題 11．已知離散型隨機變量的分布列如右表．若，，則

25、 ， ． 12．點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為 。 13．6位身高不同的同學拍照，要求分成兩排，每排3人，則后排每人均比其前排的同學身材要高的概率是_________. 14．從分別寫有的五張卡片中第一次取出一張卡片，記下數(shù)字后放回，再從中取出一張卡片.兩次取出的卡片上的數(shù)字和恰好等于4的概率是 . 三、解答題 15．將、兩枚骰子各拋擲一次，觀察向上的點數(shù)，問： （1）共有多少種不同的結(jié)果？ （2）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？ （3）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少？ 16．甲、乙兩人進行摸球游戲，一袋中裝有2個黑球和1個紅球。規(guī)則如下：若一方摸中紅球，將此球放入袋中，此人繼續(xù)摸球；若一方?jīng)]有摸到紅球，將摸到的球放入袋中，則由對方摸彩球?，F(xiàn)甲進行第一次摸球。 (1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次紅球的所有情況； （2）在前四次摸球中，甲恰好摸中兩次紅球的概率； （3）設(shè)是前三次摸球中，甲摸到的紅球的次數(shù)，求隨機變量的概率分布。