6 平面向量數(shù)量積的坐標表示,內容要求 1.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算(重點).2.能運用向量數(shù)量積的坐標表達式表示兩個向量的夾角，會判斷兩個向量的垂直關系(難點)．,知識點1 平面向量的數(shù)量積、模、夾角、垂直的坐標表示 (1)數(shù)量積的坐標表示： 設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ab＝ .,x1x2＋y1y2,(2)模、夾角、垂直的坐標表示：,【預習評價】 1．已知向量a＝(－4,7)，向量b＝(5,2)，則ab的值是( ) A．34 B．27 C．－43 D．－6 解析 ab＝(－4,7)(5,2)＝－45＋72＝－6. 答案 D,答案 C,知識點2 直線的方向向量 (1)定義：與直線l 的非零向量m稱為直線l的方向向量． (2)性質：給定斜率為k的直線l的一個方向向量為m＝ ．,共線,(1，k),【預習評價】 1．直線2x－3y＋1＝0的一個方向向量是( ) A．(2，－3) B．(2,3) C．(－3,2) D．(3,2) 答案 D 2．過點A(－2,1)且與向量a＝(3,1)平行的直線方程為_____． 答案 x－3y＋5＝0,題型一 平面向量數(shù)量積的坐標運算 【例1】 已知向量a與b同向，b＝(1,2)，ab＝10，求： (1)向量a的坐標；(2)若c＝(2，－1)，求(ac)b.,規(guī)律方法 進行向量的數(shù)量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質．解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數(shù)量積的坐標運算；二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知計算．,【訓練1】 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)ab；(2)(a＋b)(2a－b)；(3)(ab)c，a(bc)． 解 (1)ab＝(1,3)(2,5)＝12＋35＝17. (2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)， 2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a＋b)(2a－b)＝(3,8)(0,1)＝30＋81＝8. (3)(ab)c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)， a(bc)＝a[(2,5)(2,1)]＝(1,3)(22＋51)＝9(1,3)＝(9,27)．,規(guī)律方法 利用數(shù)量積求兩向量夾角的步驟,【訓練2】 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)． (1)試計算ab及|a＋b|的值； (2)求向量a與b夾角的余弦值．,【例3】 設平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)． 求a－2b的坐標和模的大?。?【遷移1】 若c＝3a－(ab)b，求|c|.,【遷移2】 若ka－b與a＋b共線，求k的值． 解 ∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)， ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)． a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)． ∵ka－b與a＋b共線， ∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1.,答案 B,答案 2,3．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的射影是________．,4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(ab)b，則|c|＝________.,5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a與b的夾角θ的余弦值； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求實數(shù)λ的值．,課堂小結 1．設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 應用該條件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反過來，由x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b. 2．向量的坐標表示與運算可以大大簡化數(shù)量積的運算，由于有關長度、角度和垂直的問題可以利用向量的數(shù)量積來解決，因此可利用向量的坐標求出向量的長度、平面內兩點間的距離、兩個向量的夾角，可判斷兩向量是否垂直.,