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1、第七章 二次型與二次曲面,二次型討論的對象是多元二次齊次函數(shù)，這種函數(shù)在物理、統(tǒng)計(jì)、規(guī)劃、極值等問題中有廣泛的應(yīng)用． 例如在三維空間的幾何問題中，一般二次曲面在直角坐標(biāo)系下表示為三元二次函數(shù)，通過對二次型的討論，可以研究二次曲面的分類. 本章主要討論：,1． 二次型的理論； 2． 空間曲面與曲線； 3. 二次曲面的分類．,2．矩陣形式：,則二次型的矩陣形式為 為二次型 的矩陣, 為二次型 的秩．,3．二次型 對稱陣 注：討論二次型問題，首要的問題是給定二次型能準(zhǔn)確地寫出二次型的矩陣，反之，給定一個(gè)對稱陣，會(huì)寫出以它為矩陣的二次型. 這里的關(guān)鍵概念是二次型的矩陣是

2、一個(gè)對稱矩陣., 161電影網(wǎng)整理發(fā)布,例1 設(shè)二次型 試寫出二次型 的矩陣.（ 為三元二次型）,解：將交叉項(xiàng) 的系數(shù) 即平均分配給 及 的二次型的系數(shù)矩陣 為 .,例２ 將二次型 寫成矩陣形式. 解： 是一個(gè)四元二次型，先寫出二次型的矩陣,例３ 設(shè) ，試寫出以 為矩陣的二次型. 分析： 是一個(gè)3階對稱陣，對應(yīng)的三元二次型，把 與 合并后寫出二次型.,解：設(shè),7.1.2 合同矩陣 1．定義7.2（合同）二個(gè) 階方陣 和 ， 可逆陣 ，使 ，則稱 與 合同（Congruent）記成 . 矩陣合同的定義與矩陣相似的

3、定義很相似，也是 階方陣之間的一種等價(jià)關(guān)系. 即 2．合同 等價(jià)，合同 等秩，反之都不成立．但不等秩，則一定不合同.,3．合同關(guān)系具有以下性質(zhì)： （1）自反性： . （2）對稱性： 則 . （3）傳遞性： ，則 . （4） 與 合同，則 . 可逆， .,4．（二次型的變換）合同二次型 設(shè)二次型 ，經(jīng)可逆線性變換 （ 可逆） 其中 ，即 與 合同， 仍是對稱陣. 所以經(jīng)可逆線性變換后，二次型的對應(yīng)矩陣是合同的. 也可以說：合同的矩陣是同一二次型關(guān)于不同變量的矩陣[我們教材是將變量看成 個(gè)基下的坐標(biāo)， 是一個(gè)基到另一個(gè)基

4、的過渡矩陣，合同陣是不同基下的矩陣].,5．實(shí)對稱陣 （不但和對角陣相似，也與對角陣合同）. 由于實(shí)對稱可正交相似對角化. 所以存在正交陣 ，使 所以實(shí)對稱陣 都與對角陣合同. 換句話說，就是任意實(shí)二次型都可通過一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡婢€性變換化成只有平方項(xiàng) 而沒有混合項(xiàng) . 這就引出了二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的概念.,例4. 與矩陣 既相似又合同的矩陣是（ ） （A） . （B） . （C） . （D） .,分析： 是實(shí)對稱矩陣，所以 正交陣，使它和一個(gè)對角陣既相似又合同，對角陣的對角元恰是 的特征值.,解： 的特征值是 ，

5、與 既相似又合同的矩陣是 ，所以應(yīng)選（D）.,7.2.1 用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 對于實(shí)二次型，最實(shí)用的方法是正交變換法，即所作的可逆線性變換中可逆矩陣 不只是可逆，還是正交矩陣. 這個(gè)正交陣的存在是由實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)決定的，值得注意的是這種方法僅限于實(shí)二次型.,定理7.1 對 元實(shí)二次型 ， 正交線性變換：（不惟一） ，使二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形. 是 的 個(gè)特征值.,注1 的秩 的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不為0的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù). 2 任一個(gè)實(shí)二次型都可通過可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形. 元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不惟一，有三種方法化標(biāo)準(zhǔn)形.,例5 用正交線性變換化

6、實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形. 化成標(biāo)準(zhǔn)形. 解：（1）二次型 的矩陣為,所以得同解方程組為 得基礎(chǔ)解系為 . 正交化：,∥,7.2.2 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 如果不考慮正交變換，可以用可逆線性變換把二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形，得到標(biāo)準(zhǔn)形不是惟一的.,可逆. 為可逆線性變換.,7.2.3 用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 矩陣的初等變換法是對二次型矩陣 ，構(gòu)造一個(gè) 的矩陣 ，對 交替作初等行變換和相應(yīng)的初等列變換， 對 作列變換時(shí)，同時(shí)對 作相同的列變換，當(dāng) 化作標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)， 就化作了 . 這就是作可逆線性變換那個(gè)可逆矩陣.

7、 對角陣.,例7 用初等變換法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆線性變換 分析：由于左上角的元素為0，而主對角線上第二個(gè)元素不為0，將第一列和第二列變換，同時(shí)將第一行和第二行交換，使得左上角元素不為0.,解：,由此得標(biāo)準(zhǔn)形 所用的可逆線性變換為 所以,7.3.2 正定二次型 對于實(shí)二次型有一個(gè)特別重要的性質(zhì)——正定性. 1．定義7.3 設(shè)有 元實(shí)二次型 ，如果對 且 ，都有 ，則稱 為正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定）二次型. 的矩陣稱為正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定）矩陣.,2．正定陣 實(shí)對稱陣，但反之不一定. 3．二次型

8、正定的充要條件：,與 正定矛盾，正慣性指數(shù) . 維實(shí)向量 ，由 可逆知 故 為正定二次型.,所以 由 可逆及 可逆，知 可逆.,定理7.4 實(shí)對稱陣 為正定的 的各階順序主子式都大于零. 即,重點(diǎn)與難點(diǎn)：在實(shí)二次型（或?qū)崒ΨQ陣）中，合同是一種分類的辦法，正定性是另一種分類的方法，重點(diǎn)是正定二次型（或正定矩陣）. 注：說 或 是正定的，已經(jīng)包涵了 實(shí)對稱， ， 可逆 ， 及 . 利用 的正定性，來證明其他的問題，則是一個(gè)難點(diǎn)，要具體問題具體分析. 1．正定陣（正定二次型的判斷）,例8 判別二次型 的正定性. 解 二次型的

9、對應(yīng)矩陣為,，,和 具有相同的正定性，故判定 的正定性即可（將分?jǐn)?shù)運(yùn)算化成參數(shù)運(yùn)算）,例9 判斷 階 矩陣 是否正定陣.,解法2 求 的特征值. 得 的特征值為 全 . 故 正定. 2．矩陣（二次型）正定性的證明,例10 設(shè) 是 階正定陣，證明 也正定. 證 因?yàn)?正定,所以 是實(shí)對稱，即 ， 可逆， 也是實(shí)對稱.,證1 用正定陣 全部特征值 . 已知 正定， 的 個(gè)特征值 都 . 又 的特征值為 都 , 正定.,證2 正定 實(shí)可逆陣 使 . 求逆 令 為實(shí)可逆陣，所以 正定.,使

10、 ，其中 是 的特征值.,7.4 曲面與曲線,在3.3節(jié)已熟悉了平面和空間的直線與三元一次方程之間的關(guān)系，現(xiàn)在在前兩節(jié)研究二次型的基礎(chǔ)上，本節(jié)重點(diǎn)又從代數(shù)轉(zhuǎn)向幾何，主要是討論二次曲面.與平面、直線一樣，曲面和曲線也可以看成是滿足某種條件的點(diǎn)的集合. 在坐標(biāo)系下，這個(gè)條件表現(xiàn)為方程.,在空間直角坐標(biāo)系下，若曲面和三元方程有下述關(guān)系：曲面上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲面上，則稱方程為曲面的方程，也稱為方程的圖形.,下面對幾何特征很明顯的幾種常見的曲面和曲線建立它們的方程.,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 形成的軌跡叫做柱面，定曲線 叫做柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫

11、做柱面的母線.,設(shè)柱面的母線 軸，準(zhǔn)線 是平面 上的 曲線 ，則此柱面方程為 . 一般地，含有兩個(gè)變量的方程在平面上表示一條曲線，在空間里表示一個(gè)柱面, 母線平行于不出現(xiàn)的那個(gè)變量對應(yīng)的坐標(biāo)軸，同理 表示母線平行于 軸的柱面， 表示母線平行于 軸的柱面.,7.4.2 柱面,,,,,,,,,,,,,,7.4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,平面曲線C繞平面一直線 L 旋轉(zhuǎn)一周，所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面. 曲線C 稱為母線，L稱為旋轉(zhuǎn)軸. 設(shè)在面 yOz上，給定曲線C ：,將其繞軸z旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)曲面方程.,設(shè)為 曲面上任一點(diǎn)，位于曲線 上點(diǎn) 的轉(zhuǎn)動(dòng)軌道（圓周）上，顯然

12、 ， 且由 到軸 的距離相等，有 ， 所以旋轉(zhuǎn)曲面方程為 . 同理曲線 繞 軸轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面方程為：,總之，在坐標(biāo)面上的曲線繞其上一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣寫處：將曲線方程中與轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng)，而把另一個(gè)變量換為它自己的平方與方程未出現(xiàn)的變量的平方和的平方根即可.,,,,,,,,,,,,,例4直線 繞 軸轉(zhuǎn)動(dòng)得到的曲面為 即 ，或 . 圖稱為圓錐面，其半頂角 的正為 .,例5 橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)橢球面：,,,,例6 雙曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,例7 拋物線 繞軸旋轉(zhuǎn)得

13、旋轉(zhuǎn)拋物面 一般地說：在一個(gè)方程中，若有兩個(gè)變量以平方和的形式出現(xiàn)，它就是旋轉(zhuǎn)曲面的方程.,,,,一、空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩曲面 ， 的交線 稱為空間曲線 的一般方程. 注：由于過曲線 的曲面有無窮多，所以 的方程不唯一.,例如，以原點(diǎn)為球心，1為半徑的球面 與 面的交線，是 平面上的以原點(diǎn)為圓心的單位圓，其方程為,7.5 空間曲線及其方程,,,,,,,例8 方程組 表示怎樣的曲線. 解 為平行于 軸的圓柱面, 為平行于 軸的平面，方程組表示平面與圓柱面的交線.,例9 方程組 表示怎樣的曲線. 解 第一個(gè)方程表示以

14、原點(diǎn)為球心，a為半徑的球的上半球面. 第二個(gè)方程表示準(zhǔn)線為 的面上的圓 且母線平行于 軸的圓柱面. 方程組為上半球面與圓柱面的交線. 也稱為維維亞尼曲線.,,,,,,,,,,,,,,①與 面的交線： 即曲線是橢圓； ②與 面的交線： 是雙曲線； ③與 面的交線： 是雙曲線,解 :,例10 曲面 與坐標(biāo)面的交線是什么?.,二、空間曲線的參數(shù)方程,與平面曲線一樣，空間曲線 也可由參數(shù)方程表示， 上的動(dòng)點(diǎn) 為參數(shù) 的函數(shù)，給定 得 上的一點(diǎn) 隨 的變動(dòng)便得到 c 的全部點(diǎn). 即 為曲線 的參數(shù)方程.,,,,,,,三、空

15、間曲線在坐標(biāo)面上的投影,以空間曲線 為準(zhǔn)線，作母線平行于 軸（或 軸、或 軸）的柱面，這個(gè)柱面與坐標(biāo)面 （或 、 ）的交線稱為曲線 在坐標(biāo)面 （或 、 ）上的投影（曲線）.,,,,,,,,,,,,,,,,求空間曲線的投影是很重要的，若已知曲線 的 方程為 從這個(gè)方程組中，消去 所得到的方程，就是 以 為準(zhǔn)線，母線平行于 軸的柱面 方程 ，故 在 面上的投影為 同樣從 的方程中消去 或 ，可得到 在 和 面上的投影.,例12 已知兩球面的方程為 ①和 ②求它們的交線在 面上的投影方程

16、 解 先求母線平行 軸過曲線 的柱面方程，從①②中 消去 ，①-②化簡得 再以 代入①或②得柱面方程為 兩球面交線在 面上的投影是,7.6 二次曲面,在第五節(jié)我們講了空間曲面的概念，建立了球面方程和各種柱面方程等.這節(jié)我們要專門討論二次曲面，在平面幾何中我們研究了二次曲線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等，在空間解析幾何中我們將三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面，平面稱為一次曲面. 7.4節(jié)講過球面、圓柱面、拋物面和雙曲面，這些都是二次曲面在那節(jié)里我們只是粗略地描繪它們的圖形. 平面解析幾何中有時(shí)用描點(diǎn)法研究它的圖形，對于三元方程所表示的曲面的形狀，顯然難以用描點(diǎn)法得到，這節(jié)我

17、們用截痕法來研究常用的二次曲面，即用坐標(biāo)和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌）.,一、橢球面 由方程 （1） 所確定的曲面叫做橢球面, 稱為橢球面的半軸， 由（1）知 ， 即,橢球面（1）完全包含在以原點(diǎn)為中心的長方體內(nèi). 為了知道這一曲面的形狀，我們先求出它與三個(gè)坐標(biāo)面 的交線,這些交線都是橢圓，再看這曲面與平行于 面的平面 的交線,這是 平面內(nèi)的橢圓，它的兩個(gè)半軸分別為, 當(dāng) 由小變大時(shí)，橢圓的截面由大到小，最后縮成一點(diǎn)，且這一系列橢圓的中心都在 軸上，同樣用平行于 面和平行于

18、 面的平面截橢球面，分別可得類似的結(jié)論. 根據(jù)這些截痕，就可以知道橢球面的形狀. 特殊地：當(dāng) 時(shí)，方程（1）變?yōu)榍蛎? ，當(dāng) 時(shí)，（1）變 為 ，是由 繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)橢球面.,,,,,,,,,,,,,,,,由方程 （ 與 同號），所表示的曲面叫做橢圓拋物面，不妨設(shè) ，用截痕法來考察它的,（1）用坐標(biāo)面 與這曲面相截，截得一點(diǎn)為原點(diǎn) ，即為曲面的頂點(diǎn)，用 截曲面，其交線為 這是 平 面上橢圓，中心在 軸，兩個(gè)半軸為 ， 當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種橢園的中心都在 軸上， 面 與這曲面

19、不相交.,二、拋物面,,,,,,,,,,,,,,,,,形狀,,（2）用 坐標(biāo)面 截這曲面所得截痕為拋物線 對稱軸是 軸，頂點(diǎn) , 開口 向上，若用平面 去截時(shí)，得拋物線 對稱軸平行于 軸，頂點(diǎn)為 開口向上.,（3）同理用 （ 面）去截，或 去截得交線都是拋物線.,,,,,,,,,,,,,綜上所述，橢園拋物面的形狀就很清楚了，若 異號，即 （ 與 同號），所表示的曲 面叫做雙曲拋物面，或（鞍形曲面） 時(shí)，方程,,,,,,,,,變?yōu)? 為旋轉(zhuǎn)拋物面,繞z軸旋轉(zhuǎn)得到的.,1．由方程 （3）所確定的,

20、2．由方程仿照前面的討論，可得出形狀. 所表示的圖形稱為雙葉雙曲面.,三、單葉雙曲面,,,曲面叫做單葉雙曲面.,由方程 （4） 所確定的曲面叫做二次錐面,（1）先看曲面與 的交線 , 是一個(gè)原 點(diǎn)，稱為錐面頂點(diǎn)，用 平面去截曲面，交線為 這是 平面上的橢圓， 半軸是 .,四、二次錐面,,,,,,,,（1）錐面與面 的交線各為一對直線 當(dāng) 時(shí)，方程（4）稱為圓錐面，指出下列方程表示怎樣的曲面，,（1） 橢球面. （2） ， 橢圓拋物面.,,,,,,,,,（3） 雙葉雙曲面. （4） 錐面.,（5） 雙曲拋物面 （6） 橢圓拋物面.,,,,,