能 力 提 升 一、選擇題 1．已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上(不包括端點A、C)，則＝(　　) A．λ(＋)　λ∈(0,1) B．λ(＋)　λ∈(0，) C．λ(－)　λ∈(0,1) D．λ(－)　λ∈(0，) [答案]　A [解析]　設(shè)P是對角線AC上的一點(不含A、C)，過P分別作BC、AB的平分線，設(shè)＝λ，則λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)． 2．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝2，＝＋λ，則λ等于(　　) A. B. C．－ D．－ [答案]　A [分析]　將、都用從C點出發(fā)的向量表示． [解析]　(方法一)：由＝2， 可得－＝2(－)?＝＋， 所以λ＝.故選A. (方法二)：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故選A. 3．點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，若＝λ＋，其中λ∈R，則點P一定在(　　) A．△ABC內(nèi)部 B．AC邊所在的直線上 C．AB邊所在的直線上 D．BC邊所在的直線上 [答案]　B [解析]　∵＝λ＋，∴－＝λ. ∴＝λ. ∴P、A、C三點共線． ∴點P一定在AC邊所在的直線上． 4．已知平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，其對角線交點為O，則等于(　　) A.a＋b B．a(chǎn)＋b C.(a＋b) D．a(chǎn)＋b [答案]　C [解析]　＋＝＋＝＝2， 所以＝(a＋b)，故選C. 5．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點是(　　) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D [答案]　A [解析]?。剑?－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2，所以，A、B、D三點共線． 6．如圖所示，向量、、的終點A、B、C在一條直線上，且＝－3.設(shè)＝p，＝q，＝r，則以下等式中成立的是(　　) A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q C．r＝p－q D．r＝－q＋2p [答案]　A [解析]　∵＝＋，＝－3＝3， ∴＝. ∴＝＋＝＋(－)． ∴r＝q＋(r－p)． ∴r＝－p＋q. 二、填空題 7．若2(x－a)－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a、b、c為已知向量，則未知向量x＝________. [答案]　a－b＋c [解析]　∵2x－a－b－c＋x＋b＝0， ∴x＝a－b＋c. ∴x＝a－b＋c 8．如圖所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則＝____________.(用a、b表示)． [答案]　(b－a) [解析]?。剑? ＝－＋＋ ＝－－＋(＋) ＝－b－a＋(a＋b) ＝b－a＝(b－a)． 9．(2013·四川理)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝________. [答案]　2 [解析]　本題考查向量加法的幾何意義． ＋＝＝2，∴λ＝2. 三、解答題 10．已知e、f為兩個不共線的向量，若四邊形ABCD滿足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f. (1)將用e，f表示； (2)證明四邊形ABCD為梯形． [解析]　(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f. (2)因為＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2， 即＝2， 所以根據(jù)數(shù)乘向量的定義，與同方向，且長度為的長度的2倍， 所以在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四邊形ABCD是梯形． 11．設(shè)兩個不共線的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實數(shù)λ、μ，使向量d＝λa＋μb與向量c共線？ [解析]　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d與c共線，則存在實數(shù)k使d＝k·c， 即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2 ＝2ke2－9ke2.由， 得λ＝－2μ，故存在這樣的實數(shù)λ和μ， 只要λ＝－2μ，就能使d與c共線． 12．如圖，平行四邊形ABCD中，＝b，＝a，M為AB中點，N為BD靠近B的三等分點，求證：M、N、C三點共線． [解析]　在△ABD中，＝－，因為＝a，＝b，所以＝b－a. ∵N點是BD的三等分點，∴＝＝(b－a)． ∵＝b，∴＝－＝(b－a)－b＝－a－b.?、? ∵M為AB中點，∴＝a， ∴＝－＝－(＋)＝－＝－a－b.?、? 由①②可得：＝. 由共線向量定理知：∥，又∵與有公共點C，∴C、M、N三點共線．