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北京市師大附中2010-2011學年下學期高一年級期中考試數學試卷 第Ⅰ卷（模塊卷） 本試卷分第Ⅰ卷（模塊卷，100分）和第Ⅱ卷（綜合卷，50分）兩部分，共150分，考試時間120分鐘。 一、選擇題（4＇×10=40分）：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. 不等式的解集（ ） A. B. C. D. 2. 若等差數列的前3項和且，則等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知數列是等比數列，且，，則數列的公比為（ ） A. 2 B. C. -2 D. 4. 在中，，，，則B等于（ ） A. 或 B. C. D. 以上答案都不對 5. 已知，則下列不等式中正確的是（ ） A. B. C. C. 6. 若的三個內角滿足，則（ ） A. 一定是銳角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是鈍角三角形 D. 可能是鈍角三角形，也可能是銳角三角形 7. 某工廠第一年年產量為A，第二年增長率為，第三年的增長率為，則這兩年的年平均增長率記為，則（ ） A. B. C. D. 8. 下列命題中，不正確的是（ ） A. 若，，成等差數列，則，，也成等差數列； B. 若，，成等比數列，則，，（為不等于0的常數）也成等比數列； C. 若常數，，，成等差數列，則，，成等比數列； D. 若常數且，，，成等比數列，則，，成等差數列。 9. 設。若是與的等比中項，則的最小值為（ ） A. 8 B. 4 C. 1 D. 10. 在等差數列中，，且，為數列的前項和，則使的的最小值為（ ） A. 10 B. 11 C. 20 D. 21 二、填空題（4＇×5=20分）： 11. 函數在區(qū)間上的最大值是_____________。 12. 已知為等比數列，且，那=_______。 13. 當時，函數的最小值為__________________。 14. 數列的前項和為，若，則=___________________。 15. 若，則下列不等式對一切滿足條件的，恒成立的是（寫出所有正確命題的編號）_______________。 ①；②；③；④；⑤ 三、解答題 16. 在中，，，， 求：（Ⅰ），； （Ⅱ）的值。 17. 已知函數，的解集為 （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）為何值時，的解集為R。 18. 設等差數列的前項和，在數列中，， （Ⅰ）求數列和的通項公式； （Ⅱ）設，求數列前項和。 第Ⅱ卷（綜合卷） 一、填空題（5＇×2=10分） 1. 已知函數，項數為27的等差數列滿足，且公差，若，則當________________時，。 2. 已知兩個等差數列和的前項和分別為和，且，則使得為整數的正整數的個數是______________。 二、解答題（共40分） 3. 已知，且， （Ⅰ）求的值。 （Ⅱ）求。 4. 已知函數 （Ⅰ）設，當時，求：時的取值范圍； （Ⅱ）設在內至少有一個零點，求：的取值范圍。 5. 已知數列和滿足：，，，其中為實數，為正整數。 （Ⅰ）證明：對任意的實數，數列不是等比數列； （Ⅱ）證明：當時，數列是等比數列； （Ⅲ）設為數列的前項和，是否存在實數，使得對任意正整數，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由。 【試題答案】 第Ⅰ卷 1. A 2. A 3. C 4. C 5. D 6. B 7. B 8. D 9. B 10. C 11. ； 12. -5； 13. 5； 14. ； 15. ①③⑤ 16. 解：（1）， ， 所以 （2），， 17. 解（1），；（2）。 18. （Ⅰ）當時，；當時， ， 當時， 故的通項公式為 （Ⅱ）， 兩式相減得 第Ⅱ卷 1. 14； 2. 5； 3. （Ⅰ）由，得 ， 于是 （Ⅱ）由，得 又， 由得： 4. （1） （2）。 5. （Ⅰ）證明：假設存在一個實數，使是等比數列，則有，即 ，矛盾。 所以不是等比數列。 （Ⅱ）證明： 。 又。由上式知， 故當時，數列是以為首項，為公比的等比數列。 （Ⅲ）當時，由（Ⅱ）得，于是 ， 當時，，從而。上式仍成立。 要使對任意正整數，都有。 即。 令，則 當為正奇數時，：當為正偶數時，， 的最大值為。 于是可得。 綜上所述，存在實數，使得對任意正整數，都有； 的取值范圍為。 - 6 -