《Matlab輔助激光光學(xué)分析與應(yīng)用（ 第三版 word文件）》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《Matlab輔助激光光學(xué)分析與應(yīng)用（ 第三版 word文件）（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、二零一四年 第三版 Matlab輔助激光光學(xué)分析與應(yīng)用 作 者：劉良清 單 位：武漢凌云光電科技 畢業(yè)院校：華中科技大學(xué)激光技術(shù)與工程學(xué)院 學(xué) 歷：碩士研究生 研究方向：自適應(yīng)光學(xué)、非線(xiàn)性光學(xué)、激光光學(xué)、固體激光器件、激光工業(yè)應(yīng)用 2014年五月 第三版 前 言（序） 每個(gè)人都會(huì)有自己的理想和夢(mèng)想，只不過(guò)我們常常走著走著就把它們弄丟了。 也許你和我一樣，小時(shí)候也曾信誓旦旦地說(shuō)過(guò)自己的將來(lái)的理想是要當(dāng)科學(xué)家什么的。那時(shí)候不是因?yàn)槲覀兝硐牒苓h(yuǎn)大，其實(shí)我們根本就不知道理想是什么。我們不知道真正科學(xué)家到底是什么，也不知道除了科學(xué)家

2、之外還有什么可以叫做理想！ 當(dāng)然，我現(xiàn)在沒(méi)能成為科學(xué)家，將來(lái)也沒(méi)有太大的可能會(huì)成為科學(xué)家。我既不是什么教授，也不是什么專(zhuān)家，頂多算是一個(gè)普通的技術(shù)員，普通得不能再普通了。記得研二的時(shí)候，導(dǎo)師還曾擔(dān)心過(guò)我能不能正常畢業(yè)。整個(gè)大學(xué)過(guò)得似乎都有些渾渾噩噩，沒(méi)什么明確的目標(biāo)，只是盼望著大學(xué)畢業(yè)了能否找到一個(gè)溫飽不愁的工作?，F(xiàn)在我知道，這世界上根本就沒(méi)有哪一樣?xùn)|西是真正會(huì)讓你不愁的。 很早，我就有想寫(xiě)一本書(shū)的想法。開(kāi)始想寫(xiě)小說(shuō)，結(jié)果構(gòu)思來(lái)、構(gòu)思去，發(fā)現(xiàn)好的情節(jié)似乎都被作家們寫(xiě)完了。突然有一個(gè)新奇的思路的時(shí)候，才發(fā)現(xiàn)自己文筆真的不怎地，開(kāi)篇幾段就寫(xiě)不下去了。罷了，作家之夢(mèng)就這么完蛋了！ 研究生的最后

3、一年，為了畢業(yè)論文和文章，慢慢自己學(xué)會(huì)了一點(diǎn)MATLAB編程，處理一些數(shù)據(jù)和圖形。但是，后來(lái)發(fā)現(xiàn)之前做過(guò)的一些研究，突然有一天再去看的時(shí)候，竟然怎么也看不懂。于是，我就想，干脆把自己研究過(guò)的或者是純屬娛樂(lè)研究過(guò)的東西都總結(jié)在一起，把整個(gè)思路都寫(xiě)下來(lái)，這樣可以方便自己以后參考。既然要寫(xiě)，那就得像模像樣地寫(xiě)，有多少就寫(xiě)多少。我不知道什么時(shí)候會(huì)寫(xiě)完，照這個(gè)想法，也許一輩子也寫(xiě)不完。因?yàn)?，總?huì)有新的東西值得我們?nèi)パ芯俊? 那么就這樣吧，這就是我的第一本書(shū)了。書(shū)中肯定會(huì)有各種問(wèn)題和錯(cuò)誤，很多結(jié)論只代表我個(gè)人觀點(diǎn)，如有雷同請(qǐng)找專(zhuān)家。盡信書(shū)不是好書(shū)！ 目 錄 MATL

4、AB輔助激光光學(xué)分析與應(yīng)用 I MATLAB輔助激光光學(xué)分析與應(yīng)用 II 作 者：劉良清 II 第一章 光的波動(dòng)性和衍射 1 1.1 Maxwell方程組和電磁波 1 1.2 波動(dòng)方程 4 1.3 衍射 5 1.3.1 小孔衍射 6 1.3.2 雙縫衍射 14 1.4 波前畸變 17 1.4.1 Zernike多項(xiàng)式 17 1.4.2 畸變光束的衍射 20 1.5 光束通過(guò)光學(xué)元件的變換 24 1.5.1 平行光束通過(guò)透鏡的聚焦 24 .2 高斯光束通過(guò)透鏡的聚焦 30 1.5.3 自聚焦透鏡 32 1.6 高斯光束 36 1.6.1 高階高斯光束 3

5、6 1.6.2 高斯光束的傳輸變換 41 1.6.3 高斯光束的干涉 45 第二章 激光諧振腔 60 2.1 激光諧振腔的本征方程 60 2.2 無(wú)源腔的Fox-Li迭代方法 60 2.3 無(wú)源腔的矩陣特征向量方法 66 2.3.1 平行平面腔 67 2.3.2 雙凹腔 71 2.4 基模諧振腔 78 2.4.1 高斯光束的ABCD定律與諧振腔 80 2.4.2 基模諧振腔的穩(wěn)定性 91 2.4.3 基模諧振腔設(shè)計(jì)實(shí)例 97 2.4.4 基模諧振腔設(shè)計(jì)的逆向方法 107 第三章 激光工程設(shè)計(jì) 118 3.1 速率方程的求解 118 3.1.1 主動(dòng)調(diào)Q速率方

6、程的求解 118 3.1.2 被動(dòng)調(diào)Q速率方程的求解 125 3.1.3 脈沖泵浦速率方程的求解 132 3.2 非線(xiàn)性激光光學(xué) 136 3.2.1 非線(xiàn)性晶體 136 3.2.2 非線(xiàn)性晶體相位匹配 161 第四章 MATLAB數(shù)據(jù)與圖像處理 172 4.1 Matlab圖像處理應(yīng)用 172 4.1.1 自制特殊圖形 172 .2 圖像數(shù)據(jù)處理 180 4.2 Matlab數(shù)據(jù)處理應(yīng)用 197 4.2.1 批量數(shù)據(jù)處理 197 4.3 Matlab方程求解應(yīng)用 211 含參數(shù)非線(xiàn)性方程組的求解 211 第一章 光的波動(dòng)性和衍射 1.1 Maxwell

7、方程組和電磁波 十八世紀(jì)中葉，James Maxwell將已知的各種電磁作用關(guān)系用一組方程組合起來(lái)，形成了一個(gè)方程組： (源于庫(kù)倫定律的高斯定律) (1.1) (源于畢奧-薩瓦爾定律的高斯定律) (1.2) (法拉第定律) (1.3) (Maxwell修正的安培定律) (1.4) 式中，和分別代表了電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量。電荷密度描述路徑空間單位體積內(nèi)的電荷量分布；電流描述電荷的移動(dòng)(單位電荷乘以速度)。表示真空介電常數(shù)，其值為。表示真空磁導(dǎo)率常數(shù)，其值為（或者）。 在安培定律中引入了一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)之

8、后，Maxwell意識(shí)到，方程組構(gòu)成了一個(gè)完美的電磁現(xiàn)象自洽理論。此外，方程組預(yù)言了電磁波的存在，并以光速傳播。在Maxwell時(shí)代之前就已經(jīng)有人對(duì)光速進(jìn)行了測(cè)量，因此一個(gè)顯而易見(jiàn)的結(jié)果(當(dāng)時(shí)還難以令人置信)便是，光是一種高頻振蕩表現(xiàn)，類(lèi)似并超越了支配電流和電荷的影響因素。而在此之前，光學(xué)還仍然作為一種獨(dú)立于電學(xué)和磁學(xué)的主體進(jìn)行討論的。 這里，我們不再對(duì)電磁學(xué)的基本知識(shí)進(jìn)行詳細(xì)的討論，因?yàn)樗鼈冊(cè)谄胀ㄎ锢碚n程中都有講述，并且有大量的文獻(xiàn)和書(shū)籍對(duì)其進(jìn)行了細(xì)致的分析。但我們要簡(jiǎn)要的從波動(dòng)方程出發(fā)，求解旁軸近似下的Maxwell方程組，得到激光傳輸與變換的基本方程，以方便我們后續(xù)的討論和應(yīng)用。 為

9、了體現(xiàn)Matlab在可視化方面的優(yōu)勢(shì)，我們先以一個(gè)簡(jiǎn)單的例子作為本書(shū)的開(kāi)篇，以達(dá)到拋磚引玉的效果。在電動(dòng)力學(xué)中，我們會(huì)遇到真空電磁場(chǎng)波動(dòng)方程的旁軸近似解，眾所周知，其解為具有高斯分布的電場(chǎng)復(fù)振幅： (1.5) 式中，為光波傳播常數(shù)。、、是與光束有關(guān)的傳播參數(shù)。分別表示為： (1.6) (0.7) (0.8) 光束遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角為： (0.9) 或者 (0.10) 我們可以用幾行簡(jiǎn)單matlab程序就可以畫(huà)出具有高斯分布的電場(chǎng)強(qiáng)度，如圖1.1所示，圖形美觀，方便對(duì)光強(qiáng)的分布有一個(gè)感性的視覺(jué)認(rèn)識(shí)。程序代碼為： 1- clear; 2- clc; 3-

10、w0=0.5; 4- r=linspace(0,3*w0,200); 5- eta=linspace(0,2*pi,200); 6- [rho,theta]=meshgrid(r,eta); 7- [x,y]=pol2cart(theta,rho); 8- Iopt=exp(-2*rho.^2/w0^2); 9- surf(x,y,Iopt); 10- shading interp; 11- xlabel('位置 /mm'); 12- ylabel('位置 /mm'); 13- zlabel('相對(duì)強(qiáng)度 /a.u.'); 14- title('高斯強(qiáng)度分布'); 15-

11、 axis([-3*w0,3*w0,-3*w0,3*w0,0,1]); 16- colorbar; 17- colormap('hot'); 18- box on; 19- grid off; 圖1.1 高斯光強(qiáng)分布 另外，我們還可以畫(huà)出高斯光束在自由傳輸過(guò)程中的強(qiáng)度變化，如圖1.2所示，程序代碼如下： 1- clear; 2- clc; 3- lambda=1.064e-3; 4- w0=0.5; 5- ZR=pi*w0^2/lambda; 6- z=linspace(-2*ZR,2*ZR,200); 7- y=linspace(-4*w0,4*w0,20

12、0); 8- [py,pz]=meshgrid(y,z); 9- wz=w0*sqrt(1+(lambda*pz/pi/w0^2).^2); 10- Iopt=w0^2./wz.^2.*exp(-2*py.^2./wz.^2); 11- surf(pz,py,Iopt); 12- shading interp; 13- xlabel('位置 /mm'); 14- ylabel('位置 /mm'); 15- zlabel('相對(duì)強(qiáng)度 /a.u.'); 16- title('高斯強(qiáng)度分布的傳輸'); 17- colorbar; 18- colormap('hot'); 19

13、- box on; 20- grid off; 圖1.2 高斯光束自由傳輸強(qiáng)度變化 以上我們以簡(jiǎn)單的例子展示了Matlab在可視化方面的強(qiáng)大功能，但本文不再對(duì)Matlab的基本功能和語(yǔ)法常識(shí)進(jìn)行介紹，我們認(rèn)為本書(shū)的讀者已經(jīng)具備了基本的Matlab編程技巧?；蛘哒f(shuō)，我們所做的只是將我們的實(shí)際運(yùn)用跟讀者進(jìn)行交流討論，促進(jìn)大家共同進(jìn)步。當(dāng)然，我們會(huì)在一些比較關(guān)鍵的地方指出編程過(guò)程中需要注意的問(wèn)題。 1.2 波動(dòng)方程 當(dāng)Maxwell統(tǒng)一了電磁理論以后，他馬上意識(shí)到，波動(dòng)可能是該方程組的解的形式。事實(shí)上，他希望找到一組滿(mǎn)足波動(dòng)形式的方程組，以輔助他完成找到真正的波動(dòng)方程。既然已經(jīng)知

14、道了光是以波動(dòng)方式傳播的，基爾霍夫首先注意到了正好給出了精確的光速(之前就已經(jīng)被測(cè)量過(guò))，并且法拉第和克爾已經(jīng)觀測(cè)到強(qiáng)磁場(chǎng)和強(qiáng)電場(chǎng)會(huì)影響光在晶體中的傳播。對(duì)初始接觸Maxwell方程組的人來(lái)說(shuō)，并不能一眼就看出它的解具有波動(dòng)形式。但是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)操作，我們就可以將它變?yōu)椴▌?dòng)方程的形式。 我們來(lái)推到電場(chǎng)E的波動(dòng)方程，磁場(chǎng)B的波動(dòng)方程的推到過(guò)程是類(lèi)似的。我們將方程進(jìn)行卷積，可得： (1.11) 該方程可以由矢量微分恒等式簡(jiǎn)化： (1.12) 卷積可由式代換，由此得到： (1.13) 再由式代入上式，經(jīng)過(guò)整理就可得到： (1.14) 需要指出的是，上式中沒(méi)有考慮到

15、介質(zhì)的極化。若考慮到介質(zhì)的極化和實(shí)際一般光學(xué)問(wèn)題中自由電荷為零的條件，上式修正為： (1.15) 式中，為極化強(qiáng)度矢量。這樣我們得到了一般的電場(chǎng)傳播方程，該方程在非線(xiàn)性光學(xué)中有很重要的地位。當(dāng)光在真空中傳播時(shí)，式中的右邊所有項(xiàng)均為零，方程簡(jiǎn)化為： (1.16) 這樣我們就得到了電場(chǎng)傳播的波動(dòng)方程形式。當(dāng)然在有些實(shí)際問(wèn)題中，式中右邊的項(xiàng)并不是都為零，至少會(huì)有一項(xiàng)不為零，這與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)。 1.3 衍射 考慮一個(gè)振動(dòng)頻率為的光場(chǎng)，其復(fù)振幅可以表述為，則它也必須滿(mǎn)足波動(dòng)方程： (1.17) 由于(是假設(shè))電場(chǎng)振幅的含時(shí)部分是顯式給出的，則方程可以簡(jiǎn)化為： (1.1

16、8) 式中是波矢量的大小。式就是所謂的赫姆霍茲方程。如果我們忽略波動(dòng)的矢量特性，而只考慮它的振幅(這里不再詳細(xì)討論其過(guò)程)，那么在標(biāo)量近似下，就得到了標(biāo)量赫姆霍茲方程： (1.19) 然后，我們考慮一束沿z軸傳播的光束，它的電場(chǎng)復(fù)振幅寫(xiě)成的形式。我們將它代入標(biāo)量赫姆霍茲方程式，得到： (1.20) 在旁軸近似下，有。即是說(shuō)，我們假設(shè)了電場(chǎng)的復(fù)振幅沿z軸傳播方向是緩慢變化的，與平面波類(lèi)似。但是我們?cè)试S振幅沿z軸在遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)量級(jí)的范圍上有明顯的變化。這樣就得到了旁軸波方程： (1.21) 求解方程式，得到： (1.22) 于是電場(chǎng)的表達(dá)式為： (1.23)

17、 值得一提的是，基爾霍夫早在1887年就提出了著名的菲涅耳-基爾霍夫衍射公式： (1.24) 式和在分母時(shí)具有一致性，并在指數(shù)上： (1.25) 同時(shí)，式是式在滿(mǎn)足條件下的菲尼爾旁軸近似。另外，如果進(jìn)一步滿(mǎn)足遠(yuǎn)場(chǎng)條件，就得到夫瑯禾費(fèi)衍射近似： (1.26) 小孔衍射 假設(shè)光場(chǎng)透過(guò)一個(gè)圓柱對(duì)稱(chēng)的小孔，這時(shí)，孔徑上的場(chǎng)分布可以寫(xiě)為： (1.27) 這樣，二維衍射積分可以簡(jiǎn)化為一維衍射積分。將式代入到菲尼爾衍射積分公式中，得到簡(jiǎn)化衍射積分式： (1.28) 對(duì)角度的積分項(xiàng)，我們可以借助下面的公式完成： (1.29) 式中，稱(chēng)為零階Bessel函數(shù)。

18、這樣，式可以簡(jiǎn)化為： (1.30) 式中的積分項(xiàng)也稱(chēng)為的漢克爾變換。在夫瑯禾費(fèi)衍射近似下，項(xiàng)等于1，積分項(xiàng)變?yōu)榈臐h克爾變換。于是夫瑯禾費(fèi)柱對(duì)稱(chēng)圓孔衍射方程為： (1.31) 雖然經(jīng)過(guò)了一系列簡(jiǎn)化，然而是復(fù)振幅通常都是不確定的，即使知道了強(qiáng)度分布，相位分布也可能是比較難預(yù)測(cè)的。當(dāng)然，也可以通過(guò)輔助手段測(cè)量強(qiáng)度分布和相位分布。這里，我們以平面波入射為例，討論圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射問(wèn)題。這時(shí)可用常數(shù)代替，不妨設(shè)為1。利用Bessel函數(shù)的遞推關(guān)系，我們可以得到解析的圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射公式： (1.32) 圖1.3 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射 (孔徑，距離1m遠(yuǎn)) 即使是解析式，我們還是

19、不能直觀地感受到衍射斑的樣式。下面我們利用Matlab給出夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的強(qiáng)度分布。程序代碼如下： 1- R=0.1; 2- lambda=1.064e-3; 3- k=2*pi/lambda; 4- z=1.0e3; 5- r=linspace(0,2*1.22*lambda/2/R*z,201); 6- eta=linspace(0,2*pi,201); 7- [rho,theta]=meshgrid(r,eta); 8- [x,y]=pol2cart(theta,rho); 9- Bess=besselj(1,rho*R*k/z); 10- Ie=4*pi^2*R^

20、2*Bess.^2./(rho*k).^2/lambda^2; 11- surf(x,y,Ie); 12- axis([-max(r),max(r),-max(r),max(r),0,max(Ie(:))]); 13- shading interp;box on; grid off; 14- figure;plot(x(1,:),Ie(1,:),'k',x(101,:),Ie(101,:),'k'); 程序中使用了這樣一個(gè)參數(shù)，因?yàn)槠矫娌僭O(shè)具有最小的衍射角，這個(gè)參數(shù)就稱(chēng)為衍射極限角，所以在衍射區(qū)域里，只取二倍衍射極限范圍就可以大致看出小孔的衍射特性。并且，對(duì)于解析表達(dá)，Matl

21、ab提供了Bessel函數(shù)工具箱，可以直接調(diào)用。當(dāng)然，為了能夠從圖上看到跟實(shí)際觀測(cè)相近的衍射環(huán)，可以將相對(duì)強(qiáng)度分布取四次開(kāi)根號(hào)，如圖1.3下圖所示。 圖1.4 數(shù)值積分法計(jì)算的夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射 上面，我們使用的解析表達(dá)式繪圖。接下來(lái)，我們采用數(shù)值積分方法直接求解式夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射分布。這需要將目標(biāo)平面劃分網(wǎng)格，然后用網(wǎng)格格點(diǎn)上的復(fù)振幅代替領(lǐng)域內(nèi)的平均振幅分布求相面上的振幅分布。為了簡(jiǎn)化計(jì)算量，我們不再計(jì)算二維分布，只計(jì)算一維分布，計(jì)算結(jié)果如圖1.4所示。程序代碼如下： 1- R=0.1; 2- lambda=1.064e-3; 3- k=2*pi/lambda; 4- z=1

22、.0e3; 5- r=linspace(0,2*1.22*lambda/2/R*z,201); 6- eta=linspace(0,2*pi,201); 7- [rho,theta]=meshgrid(r,eta); 8- [x,y]=pol2cart(theta,rho); 9- r0=linspace(0,R,201); 10- eta0=linspace(0,2*pi,201); 11- [rho0,theta0]=meshgrid(r0,eta0); 12- [x0,y0]=pol2cart(theta0,rho0); 13- deta=R/200*2*pi/200;

23、 14- E2=zeros(201,1); 15- for gk=1:201 16- for m=1:200 17- for n=1:201 18- E2(gk)=E2(gk)-j/lambda/z*exp(((x(1,gk)^2+y(1,gk)^2)/z/2+z)... 19- *j*k)*exp(j*k*(x(1,gk)*x0(m,n)+y(1,gk)*y0(m,n))/z)... 20- *deta*rho0(m,n); 21- end 22-

24、 end 23- end 24- Ie=conj(E2).*E2; 25- plot(r,Ie,'k',-r,Ie,'k'); 比較圖1.3和圖1.4，可以看出，數(shù)值積分法計(jì)算出的衍射斑與理論解析結(jié)果是一致的。另外，值得注意的是，從圖上看到，一級(jí)衍射峰值比零級(jí)衍射峰值要低很多，其他級(jí)次就更低了。那為什么我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中仍然可以清晰地看到許多級(jí)次的衍射環(huán)呢？那是因?yàn)槿搜蹖?duì)光子的感光度比較高，而實(shí)驗(yàn)所用的激光都具有很高的光子數(shù)密度，因此還是可以看到很多的衍射級(jí)次。 對(duì)于旁軸遠(yuǎn)場(chǎng)條件不夠滿(mǎn)足的情況，夫瑯禾費(fèi)近似不成立，即使是菲涅耳近似也可能不成立，這時(shí)必須使用更為嚴(yán)格的菲涅耳-基爾

25、霍夫標(biāo)量衍射公式： (1.33) 式中，。我們?nèi)匀灰云矫娌ǖ膱A孔衍射為例，對(duì)式數(shù)值計(jì)算不同相面上的衍射圖樣，如圖1.5所示。程序代碼如下： 1- %exmp1_3_1 2- R=0.1; 3- lambda=1.064e-3; 4- k=2*pi/lambda; 5- for z=0.5:5:25; 6- r=linspace(0,2*1.22*lambda/2/R*z,201); 7- eta=linspace(0,2*pi,201); 8- [rho,theta]=meshgrid(r,eta); 9- [x,y]=pol2cart

26、(theta,rho); 10- r0=linspace(0,R,201); 11- eta0=linspace(0,2*pi,201); 12- [rho0,theta0]=meshgrid(r0,eta0); 13- [x0,y0]=pol2cart(theta0,rho0); 14- deta=R/200*2*pi/200; 15- E2=zeros(201,1); 16- for gk=1:201 17- for m=1:200 18- for n=1:201 19-

27、 Rrho=sqrt((x(1,gk)-x0(m,n))^2+(y(1,gk)-y0(m,n))^2+z^2); 20- Rtheta=z/Rrho; 21- E2(gk)=E2(gk)-j/lambda/2*exp(Rrho*j*k)... 22- *(1+Rtheta)/Rrho*deta*rho0(m,n); 23- end 24- end 25- end 26- Ie=conj(E2).

28、*E2; 27- Ie=Ie/max(Ie); 28- plot3(z*ones(size(r)),r,Ie,'k',z*ones(size(r)),-r,Ie,'k'); 29- hold on; 30- end 圖1.5 不同傳輸距離處的圓孔衍射樣式(孔徑) 可見(jiàn)，在遠(yuǎn)場(chǎng)條件不滿(mǎn)的情況下，衍射樣式有較大的差異。遠(yuǎn)場(chǎng)條件由菲涅耳數(shù)決定： (1.34) 式中，a為對(duì)光束起實(shí)際限制作用元件的橫向限度(半徑)，L為傳輸距離。當(dāng)F滿(mǎn)足約為1的數(shù)量級(jí)時(shí)，菲涅耳衍射近似成立，當(dāng)F滿(mǎn)足遠(yuǎn)小于1的數(shù)量級(jí)時(shí)，夫瑯禾費(fèi)衍射近似成立。 (a)

29、(b) 圖1.6 矩孔衍射圖樣D= (a)z=20,(b)z=500 當(dāng)衍射孔為矩形孔時(shí)，同樣利用式，可以數(shù)值求解不同相面上的衍射樣式。如圖1.6所示。其中左圖為衍射樣式的相對(duì)強(qiáng)度分布，右圖為了突出與實(shí)際觀測(cè)的近似，對(duì)強(qiáng)度分布取四次開(kāi)根號(hào)。程序代碼如下： 1- %exmp1_3_2 矩孔衍射 2- clear; 3- tic; 4- R=0.1; 5- lambda=1.064e-3; 6- k=2*pi/lambda; 7- z=500; 8- xmax=2*1.22*lambda/2/R*z; 9- x=linspace(-xmax,xmax,61); 10- y=

30、x; 11- [x,y]=meshgrid(x,y); 12- x0=linspace(-R,R,61); 13- y0=x0; 14- [x0,y0]=meshgrid(x0,y0); 15- deta=(2*R/60)^2; 16- E2=zeros(61,61); 17- for bk=1:61 18- for gk=1:61 19- for m=1:60 20- for n=1:60 21- Rrho=sqrt((x(gk,bk)-x0(m,n))^2+(y(gk,bk)-y0(m,n

31、))^2+z^2); 22- Rtheta=z/Rrho; 23- E2(gk,bk)=E2(gk,bk)-j/lambda/2*exp(Rrho*j*k)*(1+Rtheta)... 24- /Rrho*deta; 25- end 26- end 27- end 28- end 29- Ie=conj(E2).*E2; 30- surf(x,y,Ie); 31- shading interp; 32- axis([-xm

32、ax,xmax,-xmax,xmax]); 33- figure; 34- Ie=conj(E2).*E2; 35- surf(x,y,Ie.^(1/4)); 36- shading interp; 37- axis([-xmax,xmax,-xmax,xmax]); 38- toc; 另外，矩孔衍射也可以求得平面波衍射夫瑯禾費(fèi)近似解析表達(dá)式： (1.35) 則遠(yuǎn)場(chǎng)衍射的強(qiáng)度分布為： (1.36) 式中，a和b分別為矩孔的邊長(zhǎng)。它的衍射圖樣如圖1.7所示，單縫衍射與此有相類(lèi)似的分布，只不過(guò)去除一個(gè)自由度，這里就不再贅述。程序代碼如下： 1- %矩孔衍射的解析

33、計(jì)算 exmp1_3_3 2- R=0.1; 3- lambda=1.064e-3; 4- k=2*pi/lambda; 5- z=1.0e3; 6- xmax=8*1.22*lambda/2/R*z; 7- x=linspace(-xmax,xmax,200); 8- y=x; 9- [x,y]=meshgrid(x,y); 10- IF=sin(k*x*R/z).^2.*sin(k*y*R/z).^2./(k*x/2/z).^2./(k*y/2/z).^2/lambda^2/z^2; 11- surf(x,y,IF.^(1/2)); 12- colormap('hot

34、') 13- axis equal 14- shading interp; 圖1.7 夫瑯禾費(fèi)矩孔衍射振幅絕對(duì)值圖樣 雙縫衍射 對(duì)于雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射，根據(jù)相干疊加原理，只需要將稍作調(diào)整并疊加： (1.37) 式中，a為縫寬，d為縫的中心間距。計(jì)算結(jié)果如圖1.8所示。程序代碼如下： 1- %雙縫衍射解析計(jì)算exmp1_3_4 2- clear; 3- R=0.1; 4- d=4*R; 5- lambda=1.064e-3; 6- k=2*pi/lambda; 7- z=1.0e3; 8- xmax=3*1.22*lambda/2/R*z; 9- x=

35、linspace(-xmax,xmax,200); 10- y=x; 11- [x,y]=meshgrid(x,y); 12- IF1=j*exp(j*k*((x-d/2).^2/2/z+z)).*sin(k*(x-d/2)*R/z)./(k*(x-d/2)/2/z)/lambda/z; 13- IF2=j*exp(j*k*((x+d/2).^2/2/z+z)).*sin(k*(x+d/2)*R/z)./(k*(x+d/2)/2/z)/lambda/z; 14- IF=IF1+IF2; 15- surf(y,x,abs(IF)); 16- colormap('hot') 17-

36、 shading interp; 18- figure; 19- plot(abs(IF(100,:)).^2,x(100,:)); 圖1.8 夫瑯禾費(fèi)雙縫衍射(孔徑=，縫間距d=) 如果不滿(mǎn)足夫瑯禾費(fèi)遠(yuǎn)場(chǎng)條件或者入射光場(chǎng)不是平面波，則不能直接求取目標(biāo)平面上的衍射場(chǎng)的解析表達(dá)式。這時(shí)，也只能使用菲涅耳-基爾霍夫標(biāo)量衍射公式式。例如，假設(shè)入射到兩狹縫的光場(chǎng)振幅均為超高斯分布： (1.38) 當(dāng)指數(shù)項(xiàng)中的n>2時(shí)，稱(chēng)為超高斯分布，且n越大越接近平頂分布。同時(shí)，雙縫衍射可以減少一個(gè)自由度，積分公式變?yōu)椋? (1.39) 式中，。設(shè)縫寬a=，=，n=4,縫的間距d=

37、，入射場(chǎng)的傳播軸與縫的中心平行。計(jì)算過(guò)節(jié)如圖1.9所示，程序代碼如下： 1- %exmp1_3_5 雙縫衍射數(shù)值解 2- clear; 3- tic; 4- R=0.1; 5- d=0.2; 6- ws=0.08; 7- lambda=1.064e-3; 8- k=2*pi/lambda; 9- z=1.0e3; 10- xmax=3*1.22*lambda/2/R*z; 11- x=linspace(-xmax,xmax,61); 12- y=x; 13- [x,y]=meshgrid(x,y); 14- x0=linspace(-R-d,R+d,61); 15

38、- y0=x0; 16- [x0,y0]=meshgrid(x0,y0); 17- E0=exp(-(x0-d).^4/ws^4)+exp(-(x0+d).^4/ws^4); 18- deta=(2*R/60)^2; 19- E2=zeros(61,61); 20- for bk=1:61 21- for gk=1:61 22- for m=1:60 23- for n=1:60 24- Rrho=sqrt((x(gk,bk)-x0(m,n))^2+z^2); 25-

39、 Rtheta=z/Rrho; 26- E2(gk,bk)=E2(gk,bk)-j/lambda/2*E0(m,n)*exp(Rrho*j*k)... 27- *(1+Rtheta)/Rrho*deta; 28- end 29- end 30- end 31- end 32- Ie=conj(E2).*E2; 33- surf(x,y,Ie); 34- shading interp; 35- axis([-xmax,xmax,-xmax

40、,xmax]); 36- figure; 37- Ie=conj(E2).*E2; 38- surf(x,y,Ie.^(1/2)); 39- shading interp; 40- axis([-xmax,xmax,-xmax,xmax]); 41- toc; 圖1.9 超高斯光束雙縫衍射，左圖為相對(duì)強(qiáng)度，右圖為振幅絕對(duì)值 (縫寬D=縫間距d=,距離z=1m) 雖然可以減少一個(gè)自由度，但上面的程序仍然使用了二維數(shù)值積分，這是為了畫(huà)出二維強(qiáng)度分布圖。如果只是關(guān)注一維強(qiáng)度分布的話(huà)，則程序可以再簡(jiǎn)化，以減少計(jì)算量，節(jié)約程序運(yùn)行時(shí)間。原則上，我們可以模擬任意復(fù)振幅分布入射的雙縫衍射，甚至其他幾何孔徑的衍射，只要確定知道了復(fù)振幅分布的具體數(shù)值。例子很多，這里就不再一一演示了。 1.4 （最新版2014年第三版 完整內(nèi)容在淘寶發(fā)售） 感興趣的讀者可在淘寶搜索書(shū)名找到。 (未完待續(xù))