高考數(shù)學(xué)模擬試卷 (36)
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1、 2016年陜西省高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷(理科)(二) 一、選擇題(共12小題,每小題5分,滿分60分) 1.(5分)(2016?陜西二模)設(shè)集合M={x|},函數(shù)f(x)=ln(1﹣)的定義域?yàn)镹,則M∩N為( ?。? A.[,1] B.[,1) C.(0,] D.(0,) 2.(5分)(2016?陜西二模)已知命題p:?x∈R,log3x≥0,則( ?。? A.¬p:?x∈R,log3x≤0 B.¬p:?x∈R,log3x≤0 C.¬p:?x∈R,log3x<0 D.¬p:?x∈R,log3x<0 3.(5分)(2016?陜西二模)若tanα=,則sin4α﹣cos4α的值
2、為( ?。? A.﹣ B.﹣ C. D. 4.(5分)(2013?新課標(biāo)Ⅱ)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=( ) A. B. C. D. 5.(5分)(2016?陜西二模)某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積是( ) A.28π B.32π C.36π D.40π 6.(5分)(2016?陜西二模)將除顏色外完全相同的一個(gè)白球、一個(gè)黃球、兩個(gè)紅球分給三個(gè)小朋友,且每個(gè)小朋友至少分得一個(gè)球的分法有 ( ?。┓N. A.15 B.18 C.21 D.24 7.(5分)(2014?新課標(biāo)I)已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A
3、(x0,y0)是C上一點(diǎn),AF=|x0|,則x0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 8.(5分)(2016?陜西模擬)如果執(zhí)行如圖的框圖,輸入N=5,則輸出的數(shù)等于( ?。? A. B. C. D. 9.(5分)(2016?陜西二模)曲線y=e在點(diǎn)(6,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為( ?。? A. B.3e2 C.6e2 D.9e2 10.(5分)(2016?陜西二模)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,且f(α)=1,α∈(0,),則cos(2)=( ) A. B. C.﹣ D. 11.(5分)
4、(2016?陜西二模)若f(x)是定義在(﹣∞,+∞)上的偶函數(shù),?x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有,則( ) A.f(3)<f(1)<f(﹣2) B.f(1)<f(﹣1)<f(3) C.f(﹣2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(﹣2)<f(1) 12.(5分)(2016?陜西二模)若直線l1:y=x,l2:y=x+2與圓C:x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四個(gè)交點(diǎn)把圓C分成的四條弧長(zhǎng)相等,則m=( ) A.0或1 B.0或﹣1 C.1或﹣1 D.0 二、填空題(共4小題,每小題5分,滿分20分) 13.(5分)(2016?陜西二模)(x+cosx)dx=
5、 . 14.(5分)(2016?陜西二模)已知單位向量,的夾角為60°,則向量與的夾角為 ?。? 15.(5分)(2016?陜西二模)不等式a2+8b2≥λb(a+b)對(duì)于任意的a,b∈R恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 ?。? 16.(5分)(2016?陜西二模)已知F是雙曲線C:x2﹣=1的右焦點(diǎn),若P是C的左支上一點(diǎn),A(0,6)是y軸上一點(diǎn),則△APF面積的最小值為 . 三、解答題(共5小題,滿分60分) 17.(12分)(2016?陜西二模)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a+c=3,b=3. (I)求cosB的最小值; (Ⅱ)
6、若=3,求A的大?。? 18.(12分)(2016?陜西二模)“開(kāi)門(mén)大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲節(jié)目.選手面對(duì)1~8號(hào)8扇大門(mén),依次按響門(mén)上的門(mén)鈴,門(mén)鈴會(huì)播放一段音樂(lè)(將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹),選手需正確答出這首歌的名字,方可獲得該扇門(mén)對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金.在一次場(chǎng)外調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)參賽選手大多在以下兩個(gè)年齡段:21~30,31~40(單位:歲),統(tǒng)計(jì)這兩個(gè)年齡段選手答對(duì)歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示. (1)寫(xiě)出2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為答對(duì)歌曲名稱與否和年齡有關(guān),說(shuō)明你的理由.(下面的臨界值表供參考) P(K2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0
7、.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 (2)在統(tǒng)計(jì)過(guò)的參考選手中按年齡段分層選取9名選手,并抽取3名幸運(yùn)選手,求3名幸運(yùn)選手中在21~30歲年齡段的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望. (參考公式:K2=,其中n=a+b+c+d) 19.(12分)(2016?陜西二模)如圖①,在△ABC中,已知AB=15,BC=14,CA=13.將△ABC沿BC邊上的高AD折成一個(gè)如圖②所示的四面體A﹣BCD,使得圖②中的BC=11. (1)求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值; (2)在四面體A﹣BCD的棱AD上是否存在點(diǎn)P,使得?=0?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置;
8、若不存在,請(qǐng)給出證明. 20.(12分)(2016?陜西二模)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:x2+3y2=6的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且P,Q是橢圓C上不同的兩點(diǎn), (I)若直線PQ過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2,且傾斜角為30°,求證:|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數(shù)列; (Ⅱ)若P,Q兩點(diǎn)使得直線OP,PQ,QO的斜率均存在.且成等比數(shù)列.求直線PQ的斜率. 21.(12分)(2016?陜西二模)設(shè)函數(shù)f(x)=ex﹣lnx. (1)求證:函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0; (2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0的近似值x′,使得|x′﹣x0|<0.1; (3)求證:f(x)>2.
9、3對(duì)x∈(0,+∞)恒成立. (參考數(shù)據(jù):e≈2.718,ln2≈0.693,ln3≈1.099,ln5≈1.609,ln7≈1.946). [選修4-1:幾何證明選講] 22.(10分)(2016?陜西二模)如圖,已知AB為⊙O的直徑,C,F(xiàn)為⊙O上的兩點(diǎn),OC⊥AB,過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線FD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接CF交AB于點(diǎn)E.求證:DE2=DA?DB. [選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23.(2016?陜西二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x﹣2)2+y2=4. (Ⅰ)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別求
10、圓C1與圓C2的極坐標(biāo)方程及兩圓交點(diǎn)的極坐標(biāo); (Ⅱ)求圓C1與圓C2的公共弦的參數(shù)方程. [選修4-5:不等式選講] 24.(2016?陜西二模)已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣2|x|. (1)求不等式f(x)≤﹣6的解集; (2)若存在實(shí)數(shù)x滿足f(x)=log2a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 2016年陜西省高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷(理科)(二) 參考答案與試題解析 一、選擇題(共12小題,每小題5分,滿分60分) 1.(5分)(2016?陜西二模)設(shè)集合M={x|},函數(shù)f(x)=ln(1﹣)的定義域?yàn)镹,則M∩N為( ) A.[,1] B.[,1)
11、C.(0,] D.(0,) 【解答】解:集合M={x|}=[,3),函數(shù)f(x)=ln(1﹣)=[0,1), 則M∩N=[,1), 故選:B. 2.(5分)(2016?陜西二模)已知命題p:?x∈R,log3x≥0,則( ?。? A.¬p:?x∈R,log3x≤0 B.¬p:?x∈R,log3x≤0 C.¬p:?x∈R,log3x<0 D.¬p:?x∈R,log3x<0 【解答】解:命題p:?x∈R,log3x≥0,則¬p:?x∈R,log3x<0. 故選:C. 3.(5分)(2016?陜西二模)若tanα=,則sin4α﹣cos4α的值為( ) A.﹣ B.﹣
12、 C. D. 【解答】解:∵tan,則sin4α﹣cos4α=(sin2α+cos2α)?(sin2α﹣cos2α)=sin2α﹣cos2α ===﹣, 故選:B. 4.(5分)(2013?新課標(biāo)Ⅱ)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=( ) A. B. C. D. 【解答】解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, ∵S3=a2+10a1,a5=9, ∴,解得. ∴. 故選C. 5.(5分)(2016?陜西二模)某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積是( ) A.28π B.32π C.36π D.40π 【
13、解答】解:圖為三視圖復(fù)原的幾何體是一圓臺(tái)和一個(gè)圓柱的組合體,圓柱的底面半徑為2,高為2,體積為:22π?2=8π. 圓臺(tái)的底面半徑為4,上底面半徑為2,高為3,體積為:=28π, 幾何體的體積為:36π. 故選:C. 6.(5分)(2016?陜西二模)將除顏色外完全相同的一個(gè)白球、一個(gè)黃球、兩個(gè)紅球分給三個(gè)小朋友,且每個(gè)小朋友至少分得一個(gè)球的分法有 ( ?。┓N. A.15 B.18 C.21 D.24 【解答】解:把4個(gè)小球分成(2,1,1)組,其中2個(gè)小球分給同一個(gè)小朋友的有4種方法(紅紅,紅黃,紅白,白黃), 若(紅紅,紅黃,紅白)分給其中一個(gè)小朋友,則剩下的兩個(gè)球分給
14、2個(gè)小朋友,共有3×3×A22=18種, 若(白黃兩個(gè)小球)分給其中一個(gè)小朋友,剩下的兩個(gè)紅色小球只有1種分法,故有3×1=3種, 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得,共有18+3=21種. 故選:C. 7.(5分)(2014?新課標(biāo)I)已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),AF=|x0|,則x0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解答】解:拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F, ∵A(x0,y0)是C上一點(diǎn),AF=|x0|, ∴=x0+, 解得x0=1. 故選:A. 8.(5分)(2016?陜西模擬)如果執(zhí)行如圖的框圖,輸入N=5,則輸出的數(shù)等于
15、( ) A. B. C. D. 【解答】解:經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到 S=,滿足進(jìn)入循環(huán)的條件,k=2, 經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)得到S=+=,滿足進(jìn)入循環(huán)的條件,k=3, 經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到S=+=,滿足進(jìn)入循環(huán)的條件,k=4, 經(jīng)過(guò)第四次循環(huán)得到S=+=,滿足進(jìn)入循環(huán)的條件,k=5, 經(jīng)過(guò)第五次循環(huán)得到S=+=,不滿足進(jìn)入循環(huán)的條件,執(zhí)行輸出, 故輸出結(jié)果為:, 故選:D 9.(5分)(2016?陜西二模)曲線y=e在點(diǎn)(6,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為( ?。? A. B.3e2 C.6e2 D.9e2 【解答】解:y=e的導(dǎo)數(shù)為y′=e, 可得在點(diǎn)(6
16、,e2)處的切線斜率為e2, 即有在點(diǎn)(6,e2)處的切線方程為y﹣e2=e2(x﹣6), 即為y=e2x﹣e2, 令x=0,可得y=﹣e2;令y=0,可得x=3. 即有切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為?3?e2=e2. 故選:A. 10.(5分)(2016?陜西二模)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,且f(α)=1,α∈(0,),則cos(2)=( ?。? A. B. C.﹣ D. 【解答】解:由圖象可得A=3,=4(﹣),解得ω=2, 故f(x)=3sin(2x+φ),代入點(diǎn)(,﹣3)可得3sin(+φ)=﹣
17、3, 故sin(+φ)=﹣1,+φ=2kπ﹣,∴φ=2kπ﹣,k∈Z 結(jié)合0<φ<π可得當(dāng)k=1時(shí),φ=,故f(x)=3sin(2x+), ∵f(α)=3sin(2α+)=1,∴sin(2α+)=, ∵α∈(0,),∴2α+∈(,), ∴cos(2)=﹣=﹣, 故選:C. 11.(5分)(2016?陜西二模)若f(x)是定義在(﹣∞,+∞)上的偶函數(shù),?x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有,則( ?。? A.f(3)<f(1)<f(﹣2) B.f(1)<f(﹣1)<f(3) C.f(﹣2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(﹣2)<f(1) 【解答】解:∵?x1
18、,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有, ∴當(dāng)x≥0時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù), ∵f(x)是定義在(﹣∞,+∞)上的偶函數(shù), ∴f(3)<f(2)<f(1), 即f(3)<f(﹣2)<f(1), 故選:D 12.(5分)(2016?陜西二模)若直線l1:y=x,l2:y=x+2與圓C:x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四個(gè)交點(diǎn)把圓C分成的四條弧長(zhǎng)相等,則m=( ?。? A.0或1 B.0或﹣1 C.1或﹣1 D.0 【解答】解:∵l1:y=x,l2:y=x+2與圓C:x2+y2﹣2mx﹣2ny=0, ∴直線l1∥l2,且l1、l2把⊙C分成的四條弧長(zhǎng)相等, 畫(huà)出圖形,如圖所
19、示. 又⊙C可化為(x﹣m)2+(y﹣n)2=m2+n2, 當(dāng)m=0,n=1時(shí),圓心為(0,1),半徑r=1, 此時(shí)l1、l2與⊙C的四個(gè)交點(diǎn)(0,0),(1,1),(0,2),(﹣1,1)把⊙C分成的四條弧長(zhǎng)相等; 當(dāng)m=﹣1,n=0時(shí),圓心為(﹣1,0),半徑r=1, 此時(shí)l1、l2與⊙C的四個(gè)交點(diǎn)(0,0),(﹣1,1),(﹣2,0),(﹣1,﹣1)也把⊙C分成的四條弧長(zhǎng)相等; 故選:B. 二、填空題(共4小題,每小題5分,滿分20分) 13.(5分)(2016?陜西二模)(x+cosx)dx= ?。? 【解答】解:(x2+sinx)|= 故答案為:.
20、 14.(5分)(2016?陜西二模)已知單位向量,的夾角為60°,則向量與的夾角為 ?。? 【解答】解:∵單位向量,的夾角為60°, ∴|+|===, ||==, (+)()=﹣?﹣2+=﹣﹣2+1=﹣, 設(shè)向量與的夾角為θ, 則cosθ==﹣, 故θ=, 故答案為:. 15.(5分)(2016?陜西二模)不等式a2+8b2≥λb(a+b)對(duì)于任意的a,b∈R恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 [﹣8,4]?。? 【解答】解:∵a2+8b2≥λb(a+b)對(duì)于任意的a,b∈R恒成 ∴a2+8b2﹣λb(a+b)≥0對(duì)于任意的a,b∈R恒成 即a2﹣(λb)a+(8﹣λ)b
21、2≥0恒成立, 由二次不等式的性質(zhì)可得,△=λ2+4(λ﹣8)=λ2+4λ﹣32≤0 ∴(λ+8)(λ﹣4)≤0 解不等式可得,﹣8≤λ≤4 故答案為:[﹣8,4] 16.(5分)(2016?陜西二模)已知F是雙曲線C:x2﹣=1的右焦點(diǎn),若P是C的左支上一點(diǎn),A(0,6)是y軸上一點(diǎn),則△APF面積的最小值為 6+9 . 【解答】解:雙曲線C:x2﹣=1的右焦點(diǎn)為(3,0), 由A(0,6),可得直線AF的方程為y=﹣2x+6, |AF|==15, 設(shè)直線y=﹣2x+t與雙曲線相切,且切點(diǎn)為左支上一點(diǎn), 聯(lián)立,可得16x2﹣4tx+t2+8=0, 由判別式為0,即
22、有96t2﹣4×16(t2+8)=0, 解得t=﹣4(4舍去), 可得P到直線AF的距離為d==, 即有△APF的面積的最小值為d?|AF|=××15=6+9. 故答案為:6+9. 三、解答題(共5小題,滿分60分) 17.(12分)(2016?陜西二模)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a+c=3,b=3. (I)求cosB的最小值; (Ⅱ)若=3,求A的大小. 【解答】解:(I)在△ABC中,由余弦定理得cosB===. ∵ac≤()2=. ∴當(dāng)ac=時(shí),cosB取得最小值. (II)由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB. ∵=
23、accosB=3. ∴9=a2+c2﹣6,∴a2+c2=15. 又∵a+c=3,∴ac=6. ∴a=2,c=或a=,c=2. ∴cosB=,sinB=. 由正弦定理得, ∴sinA==1或. ∴A=或A=. 18.(12分)(2016?陜西二模)“開(kāi)門(mén)大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲節(jié)目.選手面對(duì)1~8號(hào)8扇大門(mén),依次按響門(mén)上的門(mén)鈴,門(mén)鈴會(huì)播放一段音樂(lè)(將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹),選手需正確答出這首歌的名字,方可獲得該扇門(mén)對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金.在一次場(chǎng)外調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)參賽選手大多在以下兩個(gè)年齡段:21~30,31~40(單位:歲),統(tǒng)計(jì)這兩個(gè)年齡段選手答對(duì)歌曲名稱與
24、否的人數(shù)如圖所示. (1)寫(xiě)出2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為答對(duì)歌曲名稱與否和年齡有關(guān),說(shuō)明你的理由.(下面的臨界值表供參考) P(K2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 (2)在統(tǒng)計(jì)過(guò)的參考選手中按年齡段分層選取9名選手,并抽取3名幸運(yùn)選手,求3名幸運(yùn)選手中在21~30歲年齡段的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望. (參考公式:K2=,其中n=a+b+c+d) 【解答】解:(1)2×2列聯(lián)表 正確 錯(cuò)誤 合計(jì) 21~30 10 30 40 31~40 10
25、70 80 合計(jì) 20 100 120 ∴K2==3>2.706 有90%的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱與否和年齡有關(guān).﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分) (2)按照分層抽樣方法可知:21~30(歲)抽取3人,31~40(歲)抽取6人. 設(shè)3名選手中在21~30歲之間的人數(shù)為ξ,可能取值為0,1,2,3﹣﹣﹣﹣(5分) P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==.﹣﹣﹣﹣﹣(10分) ξD的分布列 ξ 0 1 2 3 P ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分) E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
26、 19.(12分)(2016?陜西二模)如圖①,在△ABC中,已知AB=15,BC=14,CA=13.將△ABC沿BC邊上的高AD折成一個(gè)如圖②所示的四面體A﹣BCD,使得圖②中的BC=11. (1)求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值; (2)在四面體A﹣BCD的棱AD上是否存在點(diǎn)P,使得?=0?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)給出證明. 【解答】解:(1)由已知AD⊥BD,AD⊥CD, 故二面角B﹣AD﹣C的平面角為∠BDC, 在圖①,設(shè)BD=x,AD=h,則CD=14﹣x, 在△ABD與△ACD中,分別用勾股定理得x2+h2=152,(14﹣x)2+h2=132
27、, 得x=9,h=12,從而AD=12,BD=9,CD=5, 在圖②的△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+CD2﹣2BD?CDcos∠BDC, 即112=92+52﹣2×9×5cos∠BDC,則cos∠BDC=﹣, 即二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值是﹣. (2)假設(shè)在四面體A﹣BCD的棱AD上存在點(diǎn)P,使得, 則0==(+)?(+)=2+?+?+?=2+0+0+9×5×(﹣)=2﹣, 則||=<12,符號(hào)題意, 即在棱AD上存在點(diǎn)P,使得,此時(shí)||=. 20.(12分)(2016?陜西二模)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:x2+3y2=6的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且P
28、,Q是橢圓C上不同的兩點(diǎn), (I)若直線PQ過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2,且傾斜角為30°,求證:|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數(shù)列; (Ⅱ)若P,Q兩點(diǎn)使得直線OP,PQ,QO的斜率均存在.且成等比數(shù)列.求直線PQ的斜率. 【解答】解:(I)證明:x2+3y2=6即為+=1, 即有a=,b=,c==2, 由直線PQ過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2(2,0),且傾斜角為30°, 可得直線PQ的方程為y=(x﹣2), 代入橢圓方程可得,x2﹣2x﹣1=0, 即有x1+x2=2,x1x2=﹣1, 由弦長(zhǎng)公式可得|PQ|=? =?=, 由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a
29、=4, 可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|, 則有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數(shù)列; (Ⅱ)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,代入橢圓方程x2+3y2=6, 消去y得:(1+3k2)x2+6kmx+3(m2﹣2)=0, 則△=36k2m2﹣12(1+3k2)(m2﹣2) =12(6k2﹣m2+2)>0, x1+x2=﹣,x1x2=, 故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2, ∵直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列, ∴?==k2, 即km(x1+x2)+m2=0,即有﹣+m2=0, 由于m≠0,故k2=,
30、 ∴直線PQ的斜率k為±. 21.(12分)(2016?陜西二模)設(shè)函數(shù)f(x)=ex﹣lnx. (1)求證:函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0; (2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0的近似值x′,使得|x′﹣x0|<0.1; (3)求證:f(x)>2.3對(duì)x∈(0,+∞)恒成立. (參考數(shù)據(jù):e≈2.718,ln2≈0.693,ln3≈1.099,ln5≈1.609,ln7≈1.946). 【解答】(1)證明:f(x)的定義域是(0,+∞),f′(x)=ex﹣, ∵函數(shù)y=ex和y=﹣在(0,+∞)均遞增, ∴f′(x)在(0,+∞)遞增, 而f′()=﹣2<0,f′(
31、1)=e﹣1>0, ∴f′(x)在(,1)上存在零點(diǎn),記x0, 且f′(x)在x0左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào), 綜上,f′(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0, 即函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0; (2)解:∵ln=ln5﹣ln3≈0.51<?>, 且f′(x)在[,]上的圖象連續(xù), f′()<0,f′()=﹣>0, ∴f′(x)的零點(diǎn)x0∈(,), 即f(x)的極值點(diǎn)x0∈(,),即x0∈(0.5,0.6), ∴x0的近似值x′可以取x′=0.55, 此時(shí)的x′滿足|x′﹣x0|<0.6﹣.05=0.1; (3)證明:∵ln=ln7﹣2ln2≈0.56<?>, 且f′(x)在[
32、,]上圖象連續(xù), f′()<0,f′()=﹣>0, ∴f′(x)的零點(diǎn)x0∈(,), f(x)的極值點(diǎn)x0∈(,)?x0<, 由(1)知:f′(x0)=﹣=0, 且f(x)的最小值是f(x0)=﹣lnx0=﹣lnx0, ∵函數(shù)g(x)=﹣lnx在(0,+∞)遞減,且x0<, ∴g(x0)>g()=1.75﹣(2ln2﹣ln7)≈2.31>2.3, ∴f(x)≥f(x0)=﹣lnx0>2.3對(duì)x∈(0,+∞)恒成立. [選修4-1:幾何證明選講] 22.(10分)(2016?陜西二模)如圖,已知AB為⊙O的直徑,C,F(xiàn)為⊙O上的兩點(diǎn),OC⊥AB,過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線FD交
33、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接CF交AB于點(diǎn)E.求證:DE2=DA?DB. 【解答】證明:連接OF. 因?yàn)镈F切⊙O于F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因?yàn)镺C=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因?yàn)镃O⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°.(5分) 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF=DE. 因?yàn)镈F是⊙O的切線,所以DF2=DB?DA. 所以DE2=DB?DA.(10分) [選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23.(2016?陜西二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x﹣2)2+y2=4.
34、(Ⅰ)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別求圓C1與圓C2的極坐標(biāo)方程及兩圓交點(diǎn)的極坐標(biāo); (Ⅱ)求圓C1與圓C2的公共弦的參數(shù)方程. 【解答】解:(Ⅰ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:x2+y2=4, 轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為:ρ=2. 圓C2:(x﹣2)2+y2=4. 轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為:ρ=4cosθ, 所以: 解得:ρ=2,,(k∈Z). 交點(diǎn)坐標(biāo)為:(2,2kπ+),(2,2k). (Ⅱ)已知圓C1:x2+y2=4① 圓C2:(x﹣2)2+y2=4② 所以:①﹣②得:x=1,y=, 即(1,﹣),(1,). 所以公共弦的參數(shù)方程為:. [
35、選修4-5:不等式選講] 24.(2016?陜西二模)已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣2|x|. (1)求不等式f(x)≤﹣6的解集; (2)若存在實(shí)數(shù)x滿足f(x)=log2a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解答】解:(1)x≥0時(shí),f(x)=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6, 解得:x≥7, ﹣1<x<0時(shí),f(x)=x+1+2x≤﹣6,無(wú)解, x≤﹣1時(shí),f(x)=﹣x﹣1+2x≤﹣6, 解得:x≤﹣7, 故不等式的解集是{x|x≥7或x≤﹣7}; (2)x≥0時(shí),f(x)=﹣x+1≤1, ﹣1<x<0時(shí),f(x)=3x+1,﹣2<f(x)<1, x≤﹣1時(shí),f(x)=x﹣1≤﹣2, 故f(x)的最大值是1, 若存在實(shí)數(shù)x滿足f(x)=log2a, 只需≤1即可,解得:0<a≤2. 第18頁(yè)(共18頁(yè))
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