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2015年步步高二輪復(fù)習(xí)-專題六 第3講 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題

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1、 第3講 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題 考情解讀 1.本部分主要以解答題形式考查,往往是試卷的壓軸題之一,一般以橢圓或拋物線為背景,考查弦長(zhǎng)、定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題或探索性問題,試題難度較大.2.求軌跡方程也是高考的熱點(diǎn)與重點(diǎn),若在客觀題中出現(xiàn)通常用定義法,若在解答題中出現(xiàn)一般用直接法、代入法、參數(shù)法或待定系數(shù)法,往往出現(xiàn)在解答題的第(1)問中. 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法: 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元二次方程.若Δ>0,則直線與橢圓相交;若Δ=0,則直線與橢圓相切;若Δ<0,則直線與橢圓相離. (2)直線與雙曲線

2、的位置關(guān)系的判定方法: 將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去y(或x),得到一個(gè)一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). ①若a≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與雙曲線相交;當(dāng)Δ=0時(shí),直線與雙曲線相切;當(dāng)Δ<0時(shí),直線與雙曲線相離. ②若a=0時(shí),直線與漸近線平行,與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn). (3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法: 將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去y(或x),得到一個(gè)一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). ①當(dāng)a≠0時(shí),用Δ判定,方法同上. ②當(dāng)a=0時(shí),直線與拋物線的對(duì)稱軸平行,只有一個(gè)交點(diǎn). 2.有關(guān)弦長(zhǎng)問題 有關(guān)弦長(zhǎng)問題,應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)

3、公式及根與系數(shù)的關(guān)系,“設(shè)而不求”;有關(guān)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問題,要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用,以簡(jiǎn)化運(yùn)算. (1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長(zhǎng)|P1P2|=|x2-x1|或|P1P2|=|y2-y1|,其中求|x2-x1|與|y2-y1|時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系,即作如下變形: |x2-x1|=, |y2-y1|=. (2)當(dāng)斜率k不存在時(shí),可求出交點(diǎn)坐標(biāo),直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式). 3.弦的中點(diǎn)問題 有關(guān)弦的中點(diǎn)問題,應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”,“設(shè)而不求法”來簡(jiǎn)化運(yùn)算. 4.軌跡方程問題 (1)求軌跡方程的基本步驟: ①建立適當(dāng)?shù)钠?/p>

4、面直角坐標(biāo)系,設(shè)出軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)——解析法(坐標(biāo)法). ②尋找動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式——幾何關(guān)系. ③將動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入——幾何關(guān)系代數(shù)化. ④化簡(jiǎn)整理方程——簡(jiǎn)化. ⑤證明所得方程為所求的軌跡方程——完成其充要性. (2)求軌跡方程的常用方法: ①直接法:將幾何關(guān)系直接翻譯成代數(shù)方程; ②定義法:滿足的條件恰適合某已知曲線的定義,用待定系數(shù)法求方程; ③代入法:把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)建立聯(lián)系; ④交軌法:寫出兩條動(dòng)直線的方程直接消參,求得兩條動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡; (3)注意①建系要符合最優(yōu)化原則;②求軌跡與“求軌跡方程”不同,軌跡通常指的是圖形,而軌跡

5、方程則是代數(shù)表達(dá)式.步驟②⑤省略后,驗(yàn)證時(shí)常用途徑:化簡(jiǎn)是否同解變形,是否滿足題意,驗(yàn)證特殊點(diǎn)是否成立等. 熱點(diǎn)一 圓錐曲線中的范圍、最值問題 例1 (2013·浙江)如圖,點(diǎn)P(0,-1)是橢圓C1:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長(zhǎng)軸是圓C2:x2+y2=4的直徑.l1,l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D. (1)求橢圓C1的方程; (2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程. 思維啟迪 (1)P點(diǎn)是橢圓上頂點(diǎn),圓C2的直徑等于橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng);(2)設(shè)直線l1的斜率為k,將△ABD的面積表示為關(guān)于k的函數(shù). 解 (1

6、)由題意得 所以橢圓C1的方程為+y2=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由題意知直線l1的斜率存在,不妨設(shè)其為k, 則直線l1的方程為y=kx-1. 又圓C2:x2+y2=4, 故點(diǎn)O到直線l1的距離 d=, 所以|AB|=2=2. 又l2⊥l1,故直線l2的方程為x+ky+k=0. 由 消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 故x0=-. 所以|PD|=. 設(shè)△ABD的面積為S, 則S=|AB|·|PD|=, 所以S=≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)k=±時(shí)取等號(hào). 所以所求直線l1的方程為y=±x-1. 思維升華 求最值及參

7、數(shù)范圍的方法有兩種:①根據(jù)題目給出的已知條件或圖形特征列出一個(gè)關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,將其代入由題目列出的不等式(即為消元),然后求解不等式;②由題目條件和結(jié)論建立目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.  已知橢圓C的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的離心率為,且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(1,). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)線段PQ是橢圓過點(diǎn)F2的弦,且=λ,求△PF1Q內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)λ的值. 解 (1)e==,P(1,)滿足+=1, 又a2=b2+c2,∵a2=4,b2=3, ∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)顯然直線PQ不與x軸重合, 當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí),|PQ|=3,|F1

8、F2|=2, S△PF1Q=3; 當(dāng)直線PQ不與x軸垂直時(shí),設(shè)直線PQ:y=k(x-1),k≠0代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程, 整理,得(3+4k2)y2+6ky-9k2=0, Δ>0,y1+y2=,y1·y2=. S△PF1Q=×|F1F2|×|y1-y2|=12, 令t=3+4k2,∴t>3,k2=, ∴S△PF1Q=3, ∵0<<, ∴S△PF1Q∈(0,3), ∴當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)S△PF1Q最大,且最大面積為3. 設(shè)△PF1Q內(nèi)切圓半徑為r, 則S△PF1Q=(|PF1|+|QF1|+|PQ|)·r=4r≤3. 即rmax=,此時(shí)直線PQ與x軸垂直,△PF1Q內(nèi)

9、切圓面積最大, ∴=,∴λ=1. 熱點(diǎn)二 圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題 例2 (2013·陜西)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8. (1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程; (2)已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明:直線l過定點(diǎn). 思維啟迪 (1)設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo),利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)和弦心距組成的直角三角形求解;(2)設(shè)直線方程y=kx+b,將其和軌跡C的方程聯(lián)立,再設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),由題意知直線BP和BQ的斜率互為相反數(shù),推出k和b的關(guān)系,最后證明直線過定點(diǎn). (1)解 如圖,設(shè)動(dòng)圓圓心為O1(

10、x,y),由題意,得|O1A|=|O1M|, 當(dāng)O1不在y軸上時(shí),過O1作O1H⊥MN交MN于H,則H是MN的中點(diǎn), ∴|O1M|=, 又|O1A|=, ∴=, 化簡(jiǎn)得y2=8x(x≠0). 又當(dāng)O1在y軸上時(shí),O1與O重合,點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(0,0)也滿足方程y2=8x, ∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x. (2)證明 如圖由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 將y=kx+b代入y2=8x中, 得k2x2+(2bk-8)x+b2=0. 其中Δ=-32kb+64>0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1+x2=,① x1x2

11、=,② ∵x軸是∠PBQ的角平分線, ∴=-, 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0③ 將①②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此時(shí)Δ>0, ∴直線l的方程為y=k(x-1),即直線l過定點(diǎn)(1,0). 思維升華 (1)定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題,基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題,證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的. (2)由直線方程確定定點(diǎn),若得到了直線方程的點(diǎn)斜式:y-

12、y0=k(x-x0),則直線必過定點(diǎn)(x0,y0);若得到了直線方程的斜截式:y=kx+m,則直線必過定點(diǎn)(0,m).  已知橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率等于,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8y的焦點(diǎn). (1)求橢圓C的方程; (2)已知點(diǎn)P(2,3),Q(2,-3)在橢圓上,點(diǎn)A、B是橢圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請(qǐng)說明理由. 解 (1)設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0), 則b=2.由=,a2=c2+b2,得a=4, ∴橢圓C的方程為+=1. (2)當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí),PA、PB的斜率之和為0, 設(shè)直線P

13、A的斜率為k, 則PB的斜率為-k,PA的直線方程為y-3=k(x-2), 由整理得 (3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0, x1+2=, 同理PB的直線方程為y-3=-k(x-2), 可得x2+2==. ∴x1+x2=,x1-x2=, kAB== ==, ∴直線AB的斜率為定值. 熱點(diǎn)三 圓錐曲線中的探索性問題 例3 已知橢圓C1、拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上,C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O,從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中: x 3 -2 4 y -2 0 -4 (1)求C1,C2的標(biāo)準(zhǔn)方程; (

14、2)是否存在直線l滿足條件:①過C2的焦點(diǎn)F;②與C1交于不同的兩點(diǎn)M,N,且滿足⊥?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由. 思維啟迪 (1)比較橢圓及拋物線方程可知,C2的方程易求,確定其上兩點(diǎn),剩余兩點(diǎn),利用待定系數(shù)法求C1方程. (2) 聯(lián)立方程,轉(zhuǎn)化已知條件進(jìn)行求解. 解 (1)設(shè)拋物線C2:y2=2px(p≠0), 則有=2p(x≠0), 據(jù)此驗(yàn)證四個(gè)點(diǎn)知(3,-2),(4,-4)在C2上, 易求得C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x. 設(shè)橢圓C1:+=1(a>b>0), 把點(diǎn)(-2,0),(,)代入得, 解得,所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)容易驗(yàn)證當(dāng)直線

15、l的斜率不存在時(shí),不滿足題意. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=k(x-1), 與C1的交點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2). 由 消去y并整理得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0, 于是x1+x2=,① x1x2=.② 所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1) =k2[x1x2-(x1+x2)+1] =k2[-+1]=-.③ 由⊥,即·=0,得x1x2+y1y2=0.(*) 將②③代入(*)式,得-==0, 解得k=±2,所以存在直線l滿足條件, 且直線l的方程為2x-y-2=0或2x+y-2=0. 思維升華 解析幾何中的探索性問題,從類型

16、上看,主要是存在類型的相關(guān)題型.解決問題的一般策略是先假設(shè)結(jié)論成立,然后進(jìn)行演繹推理或?qū)С雒?,即可否定假設(shè)或推出合理結(jié)論,驗(yàn)證后肯定結(jié)論,對(duì)于“存在”或“不存在”的問題,直接用條件證明或采用反證法證明.解答時(shí),不但需要熟練掌握?qǐng)A錐曲線的概念、性質(zhì)、方程及不等式、判別式等知識(shí),還要具備較強(qiáng)的審題能力、邏輯思維能力以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題的能力.  如圖,拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F,拋物線上一定點(diǎn)Q(1,2). (1)求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程. (2)過焦點(diǎn)F的直線(不經(jīng)過Q點(diǎn))與拋物線交于A,B兩點(diǎn),與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M,記QA,QB,QM的斜率分別為k1,k2,

17、k3,問是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3成立,若存在λ,求出λ的值;若不存在,說明理由. 解 (1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4, 所以拋物線方程為y2=4x,準(zhǔn)線l的方程:x=-1. (2)由條件可設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),k≠0. 由拋物線準(zhǔn)線l:x=-1,可知M(-1,-2k). 又Q(1,2),所以k3==k+1, 即k3=k+1. 把直線AB的方程y=k(x-1),代入拋物線方程y2=4x,并整理,可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系,知 x1+x2=,x1x2=1. 又Q

18、(1,2),則k1=,k2=. 因?yàn)锳,F(xiàn),B共線,所以kAF=kBF=k, 即==k. 所以k1+k2=+=+-=2k-=2k+2, 即k1+k2=2k+2. 又k3=k+1,可得k1+k2=2k3. 即存在常數(shù)λ=2,使得k1+k2=λk3成立. 1.圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法 (1)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決; (2)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值,在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮: ①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)

19、的取值范圍; ②利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系; ③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍; ④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍; ⑤利用函數(shù)的值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍. 2.定點(diǎn)、定值問題的處理方法 定值包括幾何量的定值或曲線過定點(diǎn)等問題,處理時(shí)可以直接推理求出定值,也可以先通過特定位置猜測(cè)結(jié)論后進(jìn)行一般性證明.對(duì)于客觀題,通過特殊值法探求定點(diǎn)、定值能達(dá)到事半功倍的效果. 3.探索性問題的解法 探索是否存在的問題,一般是先假設(shè)存在,然后尋找理由去確定結(jié)論,如果真的存在,則可以得出相應(yīng)存在的結(jié)論;若不存

20、在,則會(huì)由條件得出矛盾,再下結(jié)論不存在即可. 真題感悟 (2014·北京)已知橢圓C:x2+2y2=4. (1)求橢圓C的離心率; (2)設(shè)O為原點(diǎn),若點(diǎn)A在橢圓C上,點(diǎn)B在直線y=2上,且OA⊥OB,試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 解 (1)由題意,得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1, 所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2. 因此a=2,c=. 故橢圓C的離心率e==. (2)直線AB與圓x2+y2=2相切.證明如下: 設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x0,y0),(t,2),其中x0≠0. 因?yàn)镺A⊥OB,所以·=0, 即tx0+2y0

21、=0,解得t=-. 當(dāng)x0=t時(shí),y0=-,代入橢圓C的方程,得t=±, 故直線AB的方程為x=±, 圓心O到直線AB的距離d=. 此時(shí)直線AB與圓x2+y2=2相切. 當(dāng)x0≠t時(shí),直線AB的方程為y-2=(x-t). 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圓心O到直線AB的距離 d=. 又x+2y=4,t=-, 故d===. 此時(shí)直線AB與圓x2+y2=2相切. 押題精練 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,其左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于E、G兩點(diǎn),且△EGF2的周長(zhǎng)為4. (1)求橢圓C的方程; (2)若過

22、點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且滿足+=t(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)|-|<時(shí),求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解 (1)由題意知橢圓的離心率e==, ∴e2===,即a2=2b2. 又△EGF2的周長(zhǎng)為4,即4a=4, ∴a2=2,b2=1. ∴橢圓C的方程為+y2=1. (2)由題意知直線AB的斜率存在,即t≠0. 設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 由得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0. 由Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,得k2<. x1+x2=,x1x2=, ∵+=

23、t, ∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y), x==, y==[k(x1+x2)-4k]=. ∵點(diǎn)P在橢圓C上,∴+2=2, ∴16k2=t2(1+2k2). ∵|-|<,∴|x1-x2|<, ∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<, ∴(1+k2)[-4·]<, ∴(4k2-1)(14k2+13)>0,∴k2>.∴

24、曲線-=1的左、右焦點(diǎn)的距離之比為2∶3,則點(diǎn)M的軌跡方程為(  ) A.x2-y2+26x+25=0 B.x2+y2+16x+81=0 C.x2+y2+26x+25=0 D.x2+y2+16x-81=0 答案 C 解析 設(shè)點(diǎn)M(x,y),F(xiàn)1(-5,0),F(xiàn)2(5,0), 則由題意得=, 將坐標(biāo)代入,得=, 化簡(jiǎn),得x2+y2+26x+25=0. 2.已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點(diǎn),若△PF1F2為直角三角形,則橢圓E的離心率為(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由題意可知,∠F1PF2是直

25、角,且tan∠PF1F2=2, ∴=2,又|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PF1|=,|PF2|=. 根據(jù)勾股定理得2+2=(2c)2, 所以離心率e==. 3.已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C:-=1(a>0,b>0)漸近線的距離為,點(diǎn)P是拋物線y2=8x上的一動(dòng)點(diǎn),P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1(0,c)的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3,則該雙曲線的方程為(  ) A.-=1 B.y2-=1 C.-x2=1 D.-=1 答案 C 解析 由題意得,拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F(2,0), 雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為ax-by

26、=0, ∵拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C:-=1(a>0,b>0)漸近線的距離為, ∴=, ∴a=2b. ∵P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1(0,c)的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3, ∴|FF1|=3,∴c2+4=9,∴c=, ∵c2=a2+b2,a=2b,∴a=2,b=1. ∴雙曲線的方程為-x2=1,故選C. 4.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則·的最大值為(  ) A.2 B.3 C.6 D.8 答案 C 解析 設(shè)P(x0,y0),則 +=1,即y=3-, 又因?yàn)镕(-1,0), 所以·=x0·(x0+1)

27、+y=x+x0+3 =(x0+2)2+2, 又x0∈[-2,2],即·∈[2,6], 所以(·)max=6. 5.設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn),以F為圓心,|FM|為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交,則y0的取值范圍是(  ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 答案 C 解析 依題意得F(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2, 又∵以F為圓心,|FM|為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交,且|FM|=|y0+2|, ∴|FM|>4,即|y0+2|>4, 又y0≥0,∴y0>2. 6.已知雙曲線-=1(a>0,b>

28、0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足=,則該雙曲線的離心率的取值范圍為(  ) A.(1,+1) B.(1,) C.(,+∞) D.(+1,+∞) 答案 A 解析 根據(jù)正弦定理得=, 所以由= 可得=, 即==e, 所以|PF1|=e|PF2|. 因?yàn)閑>1,所以|PF1|>|PF2|, 點(diǎn)P在雙曲線的右支上. 又|PF1|-|PF2|=e|PF2|-|PF2| =|PF2|(e-1)=2a, 解得|PF2|=, 因?yàn)閨PF2|>c-a, 所以>c-a,即>e-1, 即(e-1)2<2,解得1-

29、e>1,所以e∈(1,+1),故選A. 二、填空題 7.直線y=kx+1與橢圓+=1恒有公共點(diǎn),則m的取值范圍是________. 答案 m≥1且m≠5 解析 ∵方程+=1表示橢圓, ∴m>0且m≠5. ∵直線y=kx+1恒過(0,1)點(diǎn), ∴要使直線與橢圓總有公共點(diǎn),應(yīng)有: +≤1,m≥1, ∴m的取值范圍是m≥1且m≠5. 8.在直線y=-2上任取一點(diǎn)Q,過Q作拋物線x2=4y的切線,切點(diǎn)分別為A、B,則直線AB恒過定點(diǎn)________. 答案 (0,2) 解析 設(shè)Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程變?yōu)閥=x2,則y′=x,則在點(diǎn)A處的切

30、線方程為y-y1=x1(x-x1),化簡(jiǎn)得,y=x1x-y1,同理,在點(diǎn)B處的切線方程為y=x2x-y2.又點(diǎn)Q(t,-2)的坐標(biāo)滿足這兩個(gè)方程,代入得:-2=x1t-y1,-2=x2t-y2,則說明A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足方程-2=xt-y,即直線AB的方程為:y-2=tx,因此直線AB恒過定點(diǎn)(0,2). 9.(2014·遼寧)已知橢圓C:+=1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合.若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則|AN|+|BN|=________. 答案 12 解析 橢圓+=1中,a=3. 如圖,設(shè)MN的中點(diǎn)為D, 則|DF1|+|DF2|=2

31、a=6. ∵D,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為MN,AM,BM的中點(diǎn), ∴|BN|=2|DF2|, |AN|=2|DF1|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12. 10.(2013·安徽)已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得∠ACB為直角,則a的取值范圍為________. 答案 [1,+∞) 解析 以AB為直徑的圓的方程為x2+(y-a)2=a, 由 得y2+(1-2a)y+a2-a=0. 即(y-a)[y-(a-1)]=0, 由已知解得a≥1. 三、解答題 11.如圖所示,橢圓C1:+=1(a>b>0)的離心率為,x軸被曲

32、線C2:y=x2-b截得的線段長(zhǎng)等于C1的短軸長(zhǎng).C2與y軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與C1相交于點(diǎn)D,E. (1)求C1,C2的方程; (2)求證:MA⊥MB; (3)記△MAB,△MDE的面積分別為S1,S2,若=λ,求λ的取值范圍. (1)解 由題意,知=, 所以a2=2b2. 又2=2b,得b=1. 所以曲線C2的方程y=x2-1,橢圓C1的方程+y2=1. (2)證明 設(shè)直線AB:y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2), 由題意,知M(0,-1). 則?x2-kx-1=0, ·=(x1,y1+1)·(x2,y2

33、+1)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=-(1+k2)+k2+1=0, 所以MA⊥MB. (3)解 設(shè)直線MA:y=k1x-1,MB:y=k2x-1,k1k2=-1,M(0,-1), 由解得或 所以A(k1,k-1). 同理,可得B(k2,k-1). 故S1=|MA|·|MB|=·|k1||k2|. 由解得或 所以D(,). 同理,可得E(,). 故S2=|MD|·|ME| =·, =λ==≥, 則λ的取值范圍是[,+∞). 12.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的焦距為2,其一條漸近線的傾斜角為θ,且tan θ=.以雙曲線C的實(shí)軸為長(zhǎng)軸,虛軸為短

34、軸的橢圓記為E. (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)點(diǎn)A是橢圓E的左頂點(diǎn),P、Q為橢圓E上異于點(diǎn)A的兩動(dòng)點(diǎn),若直線AP、AQ的斜率之積為-,問直線PQ是否恒過定點(diǎn)?若恒過定點(diǎn),求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不恒過定點(diǎn),說明理由. 解 (1)雙曲線-=1的焦距2c=2, 則c=,∴a2+b2=7.① 漸近線方程y=±x, 由題意知tan θ==.② 由①②得a2=4,b2=3, 所以橢圓E的方程為+=1. (2)在(1)的條件下,當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí), 設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m, 由,消去y得 (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2

35、), 則x1+x2=,x1x2=, 又A(-2,0), 由題意知kAP·kAQ=·=-, 則(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0,且x1x2≠-2. 則x1x2+2(x1+x2)+4+4(kx1+m)(kx2+m) =(1+4k2)x1x2+(2+4km)(x1+x2)+4m2+4=0. 則m2-km-2k2=0. ∴(m-2k)(m+k)=0.∴m=2k或m=-k. 當(dāng)m=2k時(shí),直線PQ的方程是y=kx+2k. 此時(shí)直線PQ過定點(diǎn)(-2,0),顯然不符合題意. 當(dāng)m=-k時(shí),直線PQ的方程為y=kx-k,此時(shí)直線PQ過定點(diǎn)(1,0). 當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí),若直線PQ過定點(diǎn), P,Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1,),(1,-), 滿足kAP·kAQ=-. 綜上,直線PQ恒過定點(diǎn)(1,0).

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