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1、 學案25　平面向量及其線性運算 導學目標： 1.了解向量的實際背景.2.理解平面向量的概念、理解兩個向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義.6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義． 自主梳理 1．向量的有關概念 (1)向量的定義：既有______又有______的量叫做向量． （2）表示方法：用 來表示向量.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示． (3)模：向量的______叫向量的模，記作_______

2、_或_______． (4)零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向是________． (5)單位向量：長度為____單位長度的向量叫做單位向量．與a平行的單位向量e＝____________. (6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：0與任一向量______． (7)相等向量：長度______且方向______的向量． 2．向量的加法運算及其幾何意義 （1）已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作=a，=b，則向量叫做a與b的 ，記作

3、 ，即 =+= ，這種求向量和的方法叫做向量加法的 . （2）以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作OACB，則以O為起點的對角線就是a與b的和，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的 . (3)加法運算律 a＋b＝________ (交換律)； (a＋b)＋c＝____________(結合律)． 3．向量的減法及其幾何意義 (1)相反向量 與a____________、____________的向量，叫做a的相反向量，記作______． (2)向量的減法 ①定

4、義a－b＝a＋________，即減去一個向量相當于加上這個向量的____________． ②如圖，＝a，，＝b，則＝ ，＝____________. 4．向量數(shù)乘運算及其幾何意義 (1)定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作______，它的長度與方向規(guī)定如下： ①|λa|＝______； ②當λ>0時，λa與a的方向______；當λ<0時，λa與a的方向______；當λ＝0時，λa＝______. (2)運算律 設λ，μ是兩個實數(shù)，則 ①λ(μa)＝________.(結合律) ②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律) ③λ(a＋

5、b)＝__________.(第二分配律) (3)兩個向量共線定理：向量b與a (a≠0)共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa. 5．重要結論 ＝(＋＋)?G為△ABC的________； ＋＋＝0?P為△ABC的________． 自我檢測 1.（2010·四川）設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，＝16，|，|則||等于 (　　) A．8 B．4 C．2 D．1 2．下列四個命題： ①對于實數(shù)m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb； ②對于實數(shù)m和向

6、量a，b (m∈R)，若ma＝mb，則a＝b； ③若ma＝na (m，n∈R，a≠0)，則m＝n； ④若a＝b，b＝c，則a＝c， 其中正確命題的個數(shù)為 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3.在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則等于 (　　) A．－a＋b B．－a＋b C．a＋b D．－a＋b 4.（2010·湖北）已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數(shù)m使得＋＝m，成立，則m等于

7、 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5.（2009·安徽）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，則λ＋μ＝______. 探究點一　平面向量的有關概念辨析 例1　①有向線段就是向量，向量就是有向線段； ②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反； ③向量與向量共線，則A、B、C、D四點共線； ④如果a∥b，b∥c，那么a∥c. 以上命題中正確的個數(shù)為

8、 (　　) A．1 B．2 C．3 D．0 變式遷移1　下列命題中正確的有________(填寫所有正確命題的序號)． ①|a|＝|b|?a＝b； ②若a＝b，b＝c，則a＝c； ③|a|＝0?a＝0； ④若A、B、C、D是不共線的四點，則＝?四邊形ABCD是平行四邊形． 探究點二　向量的線性運算 例2（2011·開封模擬）已知任意平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點.求證：＝(＋)． 變式遷移2（2011·深圳模擬）如圖所示，若四邊形ABCD是一個等腰梯形，AB∥DC，M、N分別是DC、AB的中

9、點，已知＝a，＝b，＝c，試用a、b、c表示，，＋. 探究點三　共線向量問題 例3 如圖所示，平行四邊形ABCD中，＝b，＝a，M為AB中點，N為BD靠近B的三等分點，求證：M、N、C三點共線. 變式遷移3　設兩個非零向量e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點共線； （2）如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三點共線，求k的值． 1.若點P為線段AB的中點，O為平面內的任意一點，則＝(＋)．如圖所示． 2．證明三點共線問題

10、，可用向量共線來解決，但應注意向量與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線． 3．三點共線的性質定理： （1）若平面上三點A、B、C共線，則＝λ. （2）若平面上三點A、B、C共線，O為不同于A、B、C的任意一點，則＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．若O、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是 (　　) A.＝＋ Ｂ.＝－ Ｃ.＝－＋ D. ＝－－ 2.設a，b為不共線向量， ＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則下列關系式

11、中正確的是 (　　) A.＝ B.＝2 C.＝－ D.＝－2 3．(2011·杭州模擬)設a，b是任意的兩個向量，λ∈R，給出下面四個結論： ①若a與b共線，則b＝λa； ②若b＝－λa，則a與b共線； ③若a＝λb，則a與b共線； ④當b≠0時，a與b共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ＝λ1，使得a＝λ1b. 其中正確的結論有

12、 (　　) A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 4.在△ABC中，＝c，＝b，若點D滿足＝2，則等于 (　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 5.（2010·廣東中山高三六校聯(lián)考）在△ABC中，已知D是AB邊上一點，＝2，＝＋λ，則λ等于 （ ） A. B. C．－ D．－ 題號 1 2 3 4 5 答案

13、 二、填空題(每小題4分，共12分) 6.（2009·湖南）如下圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，則x＝______，y＝__________. 7.已知＝a，＝b，＝λ，則＝_________. 8. （2011·青島模擬）O是平面上一點，A，B，C是平面上不共線三點，動點P滿足＝＋λ(＋)，λ＝時，則·(＋)的值為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)若a，b是兩個不共線的非零向量，a與b起點相同，則當t為何值時，a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一條直線上？ 10.(12分)在△ABC中，BE與CD交于點P，

14、且＝a，＝b，用a，b表示. 11．(14分)(2011·黃山模擬)已知點G是△ABO的重心，M是AB邊的中點． （1）求＋＋； （2）若PQ過△ABO的重心G，且，＝a，＝b，＝ma，＝nb，求證：＋＝3. 答案 自主梳理 1.（1）大小 方 向 （2）有向線段 （3）長度 |a|| (4)任意的　(5)1個　±　(6)相同　相反　非零　共線向量　平行　(7)相等　相同　2.(1)和　a＋b　a＋b　　三角形法則　(2)平行四邊形法則　(3)b＋a　a＋(b＋c)　3.(1)長度相等　方向相反?。璦　(2)①(－b)　相反向量　

15、②a＋b　a－b　4.(1)λa?、質λ||a|　②相同　相反　0　(2)①(λμ)a?、讦薬＋μa　③λa＋λb　5.(1)重心　(2)重心 自我檢測 1. 2．C　[①根據(jù)實數(shù)與向量積的運算可判斷其正確；②當m＝0時，ma＝mb＝0，但a與b不一定相等，故②錯誤；③正確；④由于向量相等具有傳遞性，故④正確．] 3.A [由＝3得4＝3＝3(a＋b)， 又＝a＋b，所以＝(a＋b)－ ＝－a＋b.] 4．B　[由題目條件可知，M為△ABC的重心，連接AM并延長交BC于D， 則＝，① 因為AD為中線，＋＝2＝m， 即2＝m，② 聯(lián)立①②可得m＝3.]

16、 5. 解析 設＝a，＝b， 那么＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b， ＝(＋)，即λ＝μ＝， ∴λ＋μ＝. 課堂活動區(qū) 例1　D　[①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段； ②不正確，若a與b中有一個為零向量時也互相平行，但零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反； ③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行； ④不正確，如果b＝0時，則a與c不一定平行． 所以應選D.] 變式遷移1?、冖邰? 解析?、倌Ｏ嗤较虿灰欢ㄏ嗤?， 故①不正確； ②兩向量相等，要滿足模相等且方向相同，故向量相等具備傳遞性，②正確； ③只有零向量的模才為0

17、，故③正確； ④＝，即模相等且方向相同，即平行四邊形對邊平行且相等．故④正確． 故應選②③④. 例2　證明　方法一　如圖所示， 在四邊形CDEF中，＋＋＋＝0.① 在四邊形ABFE中，＋＋＋＝0.② ①＋②得 (＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＝0. ∵E、F分別是AD、BC的中點， ∴＋＝0，＋＝0. ∴2＝－－＝＋， 即＝(＋)． 方法二　取以A為起點的向量，應用三角形法則求證． ∵E為AD的中點，∴＝. ∵F是BC的中點，∴＝（＋)． 又＝＋， ∴＝（＋＋)＝（＋)＋ ＝（＋)＋ ∴＝－＝（＋)． 即＝（＋)． 變式遷移2　 解 ＝＋＋

18、例3　解題導引　(1)在平面幾何中，向量之間的關系一般通過兩個指定的向量來表示，向量共線應存在實數(shù)λ使兩向量能互相表示． (2)向量共線的判斷(或證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，從而判斷共線． 證明 在△ABD中＝－. 因為＝a, ＝b，所以＝b－a. ① ② 由共線向量定理知：∥， 又∵與有公共點C，∴M、N、C三點共線． 變式遷移3 （1）證明∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2， ∴＝＋＝e1－e2＋3e1＋2e2 ＝4e1＋e2＝（－8e1－2e2) ＝． ∴與共線． 又∵與有公共點C，∴A、C、D三

19、點共線． （2）＝＋＝（e1＋e2)＋（2e1－3e2) ＝3e1－2e2，∵A、C、D三點共線，∴與共線． 從而存在實數(shù)λ使得＝λ 即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)． 由平面向量的基本定理得 解之，得∴k的值為. 課后練習區(qū) 1．B　[由減法的三角形法則知＝－.] 3．D　[題目考查兩向量共線的充要條件，此定理應把握好兩點：(1)與λ相乘的向量為非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正確．] 5. 6．1＋　 解析　 作DF⊥AB交AB的延長線于F，設AB＝AC＝1?BC＝DE＝，∵∠DEB＝60°，∴BD＝. 由∠DBF＝45°， 得D

20、F＝BF＝×＝， 所以＝＝， 所以＝＋＋＝（）＋. 7.a＋b ＝a＋(b－a)＝a＋b. 8．0 解析 由＝＋λ(＋)，λ＝，得－（＋)，即點P為△ABC中BC邊的中點， ∴＋＝0. ∴·(＋)＝·0＝0. 9．解 設＝a，＝tb，＝(a＋b)， ∴＝－＝－a＋b，……………………………………………………………(4分) ＝－＝tb－a.……………………………………………………………………(6分) 要使A、B、C三點共線，只需＝λ， 即－a＋b＝λtb－λa，……………………………………………………………………(8分) ∴　∴………………………………………

21、……………(11分) ∴當t＝時，三向量終點在同一直線上．……………………………………………(12分) 10．解　 取AE的三等分點M， 使|AM|＝|AE|，連結DM. 設|AM|＝t，則|ME|＝2t. 又|AE|＝|AC|， ∴|AC|＝12t，|EC|＝9t， ＝＝，…………………………………………………………………………(4分) ∴DM∥BE，∴＝＝＝. ∴|DP|＝|DC|.…………………………………………………………………………(8分) ∴＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋ ＝＋＝a＋b.……………………………………………………………(12分) 11．(1)

22、解　∵點G是△ABO的重心， ∴＋＋＝0.……………………………………………………………………(2分) (2)證明　∵M是AB邊的中點，∴＝(a＋b)． ∵G是△ABO的重心，∴＝＝(a＋b)． ∵P、G、Q三點共線，∴∥， 且有且只有一個實數(shù)λ,使＝λ.…………………………………………………(5分) ， ∴(－m)a＋b＝λ[－a＋(n－)b]．…………………………………………………(8分) 又因為a、b不共線，所以 ，……………………………………………………………………(10分) 消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.……………………………………………(14分) 11