第十二章 二次根式 12.1(1) 二次根式 教學(xué)目標： 1、了解二次根式的概念，能判斷一個式子是不是二次根式 2、理解二次根式有意義的條件，會判斷被開方數(shù)中字母的取值范圍。 重點難點：二次根式有意義的條件 教學(xué)過程 一、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根的意義,知道了式子、、的含義。同樣地，我們也能理解、、等式子的實際意義。這些式子有什么共同特征？ 二、基本概念 1、已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的________, 記為______, a一定是_______數(shù)。 2、式子的意義是 。 3、一般地，式子叫做 ，a叫做 。 4、計算 ： (1) = 　　　(2) =（3） = ?。?）= 根據(jù)計算結(jié)果，你能得出結(jié)論： ，其中, 的意義是 。 5、當a為正數(shù)時指a的 ，而0的算術(shù)平方根是 ，負數(shù) ，只有非負數(shù)a才有算術(shù)平方根。所以，在二次根式中，字母a必須滿足 , 才有意義。 三、典型例題 例1、試一試：判斷下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？為什么？ ，，，，， 例2、x是怎樣的實數(shù)時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 四、課堂練習(xí)新 課標 第一網(wǎng) 1、x是怎樣的實數(shù)時，下列式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2、計算： （1） （2） （3）+ （4） 五、知識梳理 1．非負數(shù)a的算術(shù)平方根(a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有兩個要點：一是從形式上看，應(yīng)含有二次根號；二是被開方數(shù)的取值范圍有限制：被開方數(shù)a必須是非負數(shù)。 2．式子的取值是非負數(shù)。 六、作業(yè)：P151頁1、2 12.2(2) 二次根式 教學(xué)目標： 1、掌握二次根式的基本性質(zhì)： 2、能利用上述性質(zhì)對二次根式進行化簡. 重點難點：重點：二次根式的性質(zhì)． 難點：綜合運用性質(zhì)進行化簡和計算。 過程： 一、知識回顧 1、什么是二次根式，它有哪些性質(zhì)？ 2、下列各式要在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，說出x的取值范圍 （1） （2） （3） （4） 3、在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解： x2-6= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____) 二、自主歸納 計算： 綜上得：= = 三、典型例題 例1、計算： （1）； （2）； （3）（x》1） 例2、下列等式中，字母a應(yīng)分別符合什么條件？ （1）= （2）=-a 四、課堂練習(xí) 1、判斷正誤： （1）=2 ( ) （2）=-2 ( ) (3)=3+4 ( ) (4)=3+4 ( ) 2、計算： （1）； （2）； （3）； （4）（x》2） 3、計算 （1）； （2）； （3）； （4）（x》2）； 五、知識梳理 二次根式的性質(zhì)： 1、當a》0時，=a 2、 六、作業(yè)布置：P151頁3、4 12.2(1) 二次根式的乘除 教學(xué)目標： 1、掌握二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。 2、熟練進行二次根式的乘法運算及化簡。 重點難點： 重點： 掌握和應(yīng)用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。 難點： 正確依據(jù)二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡。過程：一、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1、計算： （1）×=______ =_______ （2） × =_______ =_______ （3） × =_______ =_______ 2、根據(jù)上題計算結(jié)果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）×_____ （2）×____ （3） ×__ 二、新知概括 二次根式的乘法法則： 三、典型例題 例1、計算： （1）×； （2）×； （3）（a》0） 例2、計算 （1）； （2）（a》0）； （3）（a》0，b》0） 注意：一般地，二次根式運算的結(jié)果中，被開方數(shù)應(yīng)不含有 。 例3：思維拓展 （1）； （2） 二次根式乘法運算的拓展： 四、課堂練習(xí)： 1、計算： （1）×； （2）3×2； （3）×； （4）× 2、化簡： （1）； （2）； （3）（a≥0）； （4）（a≥0，b≥0） （5） 五、知識梳理 ·=（≥0，b≥0） =·（≥0，b≥0） 六、作業(yè)布置 P160頁1、2 12.2(2) 二次根式的乘除 教學(xué)目標： 1、進一步理解二次根式的乘法法則，能熟練地進行二次根式的乘法運算 2、能熟練地進行二次根式的化簡及變形 重點難點： 重點：熟練地進行二次根式的化簡、乘法運算 難點：熟練地進行二次根式的化簡、乘法運算 教學(xué)過程： 一、知識回顧 1、二次根式乘法運算的法則： ·=（≥0，b≥0） =·（≥0，b≥0） 2、化簡： （1） （2）(x≥0，y≥0) （3）(x≥0，x+y≥0)二、典型例題 例1：計算： ⑴· ⑵· ⑶·（a≥0，b≥0） 例2、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=10㎝，BC=24㎝，求AB。 三、課堂練習(xí) 1、化簡 （1）； （2）； （3）（x≥0，y≥0）； （4）（x≥0，y≥0）； 2、計算： （1）×； （2）×； （3） ×； （4）（a≥0，b≥0） 3、已知長方形兩鄰邊的長分別為20cm、40cm，求對角線的長。 4、求下列根式的值： （1），其中a=2，b=3； （2），其中a=3，b=- 5、化簡： ⑴(x＜0，y＜0) ⑵(m ＜2) 四、課堂小結(jié) 五、作業(yè)布置 P160頁3、4 12.2(3) 二次根式的乘除 教學(xué)目標： 1、經(jīng)歷二次根式除法法則的探究過程，進一步理解除法法則 2、能運用二次根式除法則進行二次根式的除法運算 3、理解商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，并能運用于二次根式的化簡和計算 教學(xué)重點1、二次根式的除法法則及商的算術(shù)平方根的性質(zhì) 教學(xué)難點2、二次根式的除法法則及商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的理解與運用 教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境 1、預(yù)習(xí)題：填空： （1）=________，=_________ （2）=________，=________ （3）=________，=________ 2、請同學(xué)們觀察以上式子及運算結(jié)果，看看其中有什么規(guī)律？學(xué)生分小組討論。 3、全班交流。 4、概括法則： 二次根式的除法法則： 5、思考：由=（a≥0，b＞0）反過來可得: = （ ） 利用這個等式可以化簡一些二次根式. 二、交流導(dǎo)引 例1、計算： ⑴ 　 ⑵ ⑶÷ ⑷÷ 例2：化簡： ⑴ 　 　 ⑵ ⑶ ⑷（a＞0，b≥0） 三、練習(xí): 1、計算： （1）； （2）； （3）÷； （4）÷； 2、化簡： （1）； （2）； （3）； （4）（a≥0，b≥0，c＞0）； 4、判斷下列各式是否正確，為什么？ （1）=；（2）=；（3）=（a＞0，b≥0） 四、拓展提高 五、課堂總結(jié) 1、二次根式的除法法則： 。 2、 把這個法則反過來，得到商的算術(shù)平方根性質(zhì) 。 六、課堂作業(yè)： P160 第 5、6題 12.2(4) 二次根式的乘除 教學(xué)目標： 1、能運用法則=（a≥0，b＞0）化去被開方數(shù)的分母或分母中的根號 2、進一步明確二次根式化簡結(jié)果中的被開方數(shù)應(yīng)不含有能開得盡方的因數(shù)或因式，也不含有分母，根式運算的結(jié)果中分母不含有根號 教學(xué)重點：商的算術(shù)平方根的性質(zhì)及二次根式的除法法則的應(yīng)用 教學(xué)難點：商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的理解與運用 教學(xué)過程：一、自學(xué)并回答下列問題： 1、= （a__，b__）,= （a__，b__） 2、思考：如何化去的被開方數(shù)中的分母呢? 猜想： 3、 思考：如何化去，的被開方數(shù)中的分母呢? 二、例題講評： 例1、化去根號內(nèi)的分母: （1） （2） （3） （4）（a〉0,b≥0） 練習(xí)：化去根號內(nèi)的分母： （1）； （2）； （3）（a＞0，b≥0）；（4） 三、交流引導(dǎo) 思考：如果首先化成,那么該怎樣化去分母中的根號呢? 猜想： 四、例題講評 例2、化去分母中根號: （1） （2） （3） 點撥：化簡二次根式（最簡二次根式）達到的要求： 1、被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式 2、被開方數(shù)中不含分母 3、分母中不含有根號 練習(xí)： 化去分母中的根號： （1）； （2）； （3）（a＞0，b≥0） 五、拓展提高： 六、課堂小結(jié)： 七、作業(yè)： P160---161 第 8、9題 12.3(1) 二次根式的加減 教學(xué)目標： 1、了解同類二次根式的概念，掌握判斷同類二次根式的方法 2、能正確合并同類二次根式，進行二次根式的加減運算 重點難點： 重點：同類二次根式的概念及掌握合并同類二次根式的方法 難點：同類二次根式的概念 教學(xué)過程： 一、預(yù)習(xí)指導(dǎo) 1、什么是同類項？ 2、如何進行整式的加減運算？ 3、計算：（1）2x-3x+5x （2） 4、下列3組二次根式，各有什么共同特征？ （1），，，，…… （2），，，，…… （3），，，，…… ，稱為同類二次根式。 思考：（1）要進行二次根式加減運算,它們具備什么特征才能進行合并？ （2）怎樣合并同類二次根式： （3）二次根式加減運算的步驟: 二、典型例題 例1 ：計算： 1、 + － + 2、 + － － 3、 － + 例2：如圖，兩個圓的圓心相同，面積分別為8㎝2、18㎝2，求圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差） 三、課堂練習(xí) 1、計算： （1）3--+2+2； （2）--+； （3）4+5--（a≥0，b≥0） （4）2a-+（a＞0） 2、計算： （1）（2-）-（-4）； （2）5+-+ （3）2-3+5-2b（a≥0，b＞0） 3、（1）兩個正方形的面積分別為2、8，求這兩個正方形邊長的和； （2）兩個正方形的面積分別為s、4s（s＞0），求這兩個正方形邊長的和； 四、課堂小結(jié)： 五、作業(yè)布置： P165 第1、2的奇數(shù)題 12.3(2) 二次根式的加減 教學(xué)目標： 1、掌握二次根式的運算方法，明確數(shù)的運算順序、運算律及乘法公式在二次根式的運算中仍然適用 2、正確運用二次根式的性質(zhì)及運算法則進行二次根式的混合運算 重點難點： 重點：熟練進行二次根式的混合運算。 難點：混合運算的順序、乘法公式的綜合運用。 教學(xué)過程： 一、知識回顧 填空 ： （1）整式混合運算的順序是： （2）二次根式的乘除法法則是： （3）二次根式的加減法法則是： （4）回顧整式的乘法公式： 多項式乘法公式： 平方差公式： 完全平方公式： 注：在進行二次根式的混合運算時，我們曾學(xué)過的整式運算的運算律和乘法公式仍然適用。 二、典型例題 例1、計算： （1）（+2）×； （2）（3+）（-）； 例2、計算： （1）（+）（-）； （2） 三、課堂練習(xí) 1、計算： （1）（+2）×； （2）×（-）； （3）（-+1）×2 2、計算： （1）（-2）（2-）； （2）（-）（+）； （3）（5-）（+）； （4）（a++b）（-）（a≥0，b≥0）； 3、計算： （1）（+1）（-1）； （2）（+）（-）（a≥0，b≥0）； （3）； （4）（a≥0，b≥0）； 四、課堂小結(jié)： 二次根式在進行運算時要注意： 1、二次根式四則混合運算的順序和整式的四則混合運算的順序是一樣的，含相同二次根式的項要合并 2、運算律同樣適用于二次根式的運算 3、計算結(jié)果要最簡 五、作業(yè)布置：P166頁3、4的奇數(shù)題 第十二章 二次根式復(fù)習(xí)(1)） 教學(xué)目標：1．能夠比較熟練地應(yīng)用二次根式的性質(zhì)進行化簡； 2．能熟練進行二次根式的化簡及運算； 3．會運用二次根式的性質(zhì)解決簡單的實際問題. 教學(xué)重點：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用；二次根式的運算． 教學(xué)難點：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用． 一、本章知識結(jié)構(gòu)圖： 二、本章基本概念： １．二次根式的定義：形如　（a　≥ 0）的式子叫做二次根式． ２．二次根式的識別：（１）被開方數(shù)a≥0； （２）根指數(shù)是２． 例：下列各式中哪些是二次根式？哪些不是？為什么？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ３．二次根式的性質(zhì) （1） ； （2） ； （3） 題型一：確定二次根式中被開方數(shù)所含字母的取值范圍 1．使式子有意義的條件是 ． 2．當 時，有意義． 3. 若有意義，則的取值范圍是 ． 4. 當x___________時，是二次根式． 說明：因為二次根式的被開方數(shù)不小于0，所以求二次根式中字母的取值范圍常轉(zhuǎn)化為不等式（組）． 題型二：二次根式的非負數(shù)性的應(yīng)用 1. 已知： +＝0, 試求 x－y 的值． 2. 若，試求的值． 3. 已知為實數(shù)，且，求的值． 讓學(xué)生搶答:判斷下列二次根式是否是最簡二次根式,并說明理由： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 錯誤！未定義書簽。 說明: 滿足下列兩個條件的二次根式,叫做最簡二次根式 （1）被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)或因式． 例1．把下列各式化成最簡二次根式： （1） (2) (3) 4 (4) x2 化簡二次根式的方法： （1）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先因數(shù)分解或因式分解,然后利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì),將式子化簡． （2）如果被開方數(shù)是分數(shù)或分式時,先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì),將其變?yōu)槎胃较喑男问?然后利用分母有理化,將式子化簡． 4. 二次根式性質(zhì)及運算律: （1) ·＝（a≥0，b≥0），反之＝·（a≥0，b≥0） （2) ＝（a≥0，b>0），反過來＝（a≥0，b>0） 5. 二次根式的應(yīng)用： （1）二次根式的加減法：通常先把各個二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式； （2）二次根式的乘法類似于多項式的乘法，運算公式為·＝（a≥0，b≥0）；對于二次根式的除法，通常是先化成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算，有時可以約分，有時可以利用公式，但運算的結(jié)果都一定要化成最簡二次根式． 題型一：化簡下列各式 (1)+(－3)2；(2)÷·；(3)－(－3)；(4)(－3)(2+1) 題型二：計算下列各題，并概括二次根式的運算的一般步驟 (1) 9+7－5 (2) (－4)－(3－4) (3) (3+2)(3－2) (4) ·(÷) 三、自主評價：1. 本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？ 2．本節(jié)課中你最大的收獲是什么？ 四、教學(xué)反思： 第十章 二次根式復(fù)習(xí)（2） 教學(xué)目標：１.進一步加深對二次根式有關(guān)概念的理解； 2．熟練掌握二次根式的化簡和加、減、乘除、乘方等混合運算． 教學(xué)重點：二次根式的化簡與加減、乘除、乘方混合運算．　 教學(xué)難點：解決問題使用的思想方法． 一、化簡與運算的步驟： 1．二次根式的化簡步驟： （1）一分：分解因數(shù)（因式）、平方數(shù)（式）； （2）二移：根據(jù)算術(shù)平方根的概念，把根號內(nèi)的平方數(shù)或者平方式移到根號外面； （3）三化：化去被開方數(shù)中的分母． 2．二次根式混合運算的步驟： （1）乘方運算；（2）乘除運算；（3）加減運算． 二、解決問題使用的思想方法： （一）整體思想： 例題1．化簡： 練習(xí)：化簡 （二）分類思想： 例題2．化簡： 提示：零點分段法．具體操作：先令求和的各項值為0，求出對應(yīng)的未知數(shù)的值，然后分區(qū)間討論． 練習(xí)：化簡 （三）數(shù)形結(jié)合： 例題3．已知：數(shù)軸上點A表示的實數(shù)為a，化簡． 練習(xí)：a、b、c、在數(shù)軸上的位置如圖所示， 請化簡式子． (四)二次根式的非負性： 例題4．（1）已知：，試求的值． （2）已知：，求的值． 練習(xí)：已知△ABC的三邊長為a、b、c，且a、b滿足條件：． 試求c的取值范圍． 三．鞏固練習(xí)： 1. 如果，求2x＋３ｙ的平方根． 2．已知互為相反數(shù)，求a、b的值． 3. 已知三角形的三邊長分別是a、b、c，且，那么 ＝ ． 4．已知x、y是實數(shù)，且 ，試求3x＋4y的值． 5．已知，求x2y＋xy2的值． 6. 如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝Rt∠，已知∠B＝450， AB＝ ， CD＝． 試求：（1）四邊形ABCD的周長；（2）四邊形ABCD的面積． 四、課后作業(yè)： P168頁5題的奇數(shù)、9題 五、教學(xué)反思：