10、=3++
=3+。故選D。
（2）解：（1）由，
，
由正弦定理知，
（2），。
由余弦定理知：
點(diǎn)評(píng)：本題考查了在三角形正弦定理的的運(yùn)用，以及三角公式恒等變形、化簡(jiǎn)等知識(shí)的運(yùn)用。
例6．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知，（1）求的值；（2）若，，求的值。
解析：（1）因?yàn)殇J角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以cosA＝，
則
（2），則bc＝3。
將a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中，
得解得b＝。
點(diǎn)評(píng)：知道三角形邊外的元素如中線長(zhǎng)、面積、周長(zhǎng)等時(shí)，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。
題型4：三角形中求值問(wèn)題
例7．的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最
11、大值，并求出這個(gè)最大值。
解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos =sin。
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin － )2+ ；
當(dāng)sin = ，即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為。
點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。
例8．（06四川文，18）已知A、B、C是三內(nèi)角，向量，且，（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若
解析：（Ⅰ）∵ ∴，即，
，；
∵，∴，∴。
（Ⅱ）由題知，
整理得，∴ ∴；
∴或，而使，舍去；
∴。
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考察三角函數(shù)概念、
12、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。
題型5：三角形中的三角恒等變換問(wèn)題
例9．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。
分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。
解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac。
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。
在△ABC中，由正弦定
13、理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，
∴=sin60°=。
解法二：在△ABC中，
由面積公式得bcsinA=acsinB。
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
∴=sinA=。
評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。
例10．（2002京皖春，17）在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求的值。
解析：因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，
從而＝60°，故tan.由兩角和的正切公式，
得。
所以
。
點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)求值問(wèn)題中的解題思路，一般是運(yùn)用基
14、本公式，將未知角變換為已知角求解，同時(shí)結(jié)合三角變換公式的逆用。
題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀
例11．（2002上海春，14）在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等邊三角形
答案：C
解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，
∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過(guò)觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑。
例12．（06安徽理，11）如果的三個(gè)內(nèi)
15、角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（ ）
A．和都是銳角三角形
B．和都是鈍角三角形
C．是鈍角三角形，是銳角三角形
D．是銳角三角形，是鈍角三角形
解析：的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，
若是銳角三角形，由，得，
那么，，所以是鈍角三角形。故選D。
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題時(shí)要結(jié)合三角形內(nèi)角和的取值問(wèn)題，同時(shí)注意實(shí)施關(guān)于三角形內(nèi)角的一些變形公式。
北
20
10
A
B
?
?C
題型7：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用
例13．（06上海理，18）如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救．甲船立即前往救援，同時(shí)
16、把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問(wèn)乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？
解析：連接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10。 ∵，∴sin∠ACB=，
∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。
∴乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援。
點(diǎn)評(píng)：解三角形等內(nèi)容提到高中來(lái)學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低，對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問(wèn)題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識(shí)、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過(guò)關(guān)。
例14．（06江西理，19
17、）如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是
邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)△ABC的中心G，設(shè)DMGA＝a（）
（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）；
（2）表示為a的函數(shù)，求y＝的最大值與最小值。
解析：（1）因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，所以 AG＝，DMAG＝，由正弦定理得，則S1＝GM·GA·sina＝。同理可求得S2＝。
（2）y＝＝＝72（3＋cot2a）因?yàn)椋?
所以當(dāng)a＝或a＝時(shí)，y取得最大值ymax＝240，當(dāng)a＝時(shí)，y取得最小值ymin＝216。
點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。通過(guò)引入角度，
18、將圖形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語(yǔ)言，再通過(guò)局部的換元，又將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)，這些解題思維的拐點(diǎn)，你能否很快的想到呢？
五．思維總結(jié)
1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是：
（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；
（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；
（3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；
（4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由
19、A+B+C = π，求角C。
2．三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，；
3．三角學(xué)中的射影定理：在△ABC 中，，…
4．兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC 中，，…
5．解三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來(lái)幫助理解”。
普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué) [人教版]
高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座29）—等比數(shù)列
一．課標(biāo)要求：
1．通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念；
2．探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式；
3．能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)
20、系。
二．命題走向
等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)。客觀性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對(duì)基本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識(shí)為工具。
預(yù)測(cè)07年高考對(duì)本講的考察為：
（1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的1~2道客觀題目；
（2）關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題或知識(shí)交匯題的解答題也是重點(diǎn)；
（3）解決問(wèn)題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過(guò)逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
三．要點(diǎn)精講
1．等比數(shù)列定義
一般地
21、，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：：數(shù)列對(duì)于數(shù)列（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零）
2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：。
說(shuō)明：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則。
3．等比中項(xiàng)
如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。
4．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式
一般地，
22、設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)， 或；當(dāng)q=1時(shí)，（錯(cuò)位相減法）。
說(shuō)明：（1）和各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況。
四．典例解析
題型1：等比數(shù)列的概念
例1．“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個(gè)命題中，正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
解析：四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題。
命題1中未考慮各項(xiàng)
23、都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列；
命題2中可知an+1=an×，an+1an，即an+1>an，此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列；
命題3中，若a=b=0，c∈R，此時(shí)有，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。
點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。
例2．命題1：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a≠1)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
命題2：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a≠0)，則
24、數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
命題3：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na－n，則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個(gè)命題中，真命題有（ ）
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
解析： 由命題1得，a1=a+b，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=(a－1)·an－1。若{an}是等比數(shù)列，則=a，即=a，所以只有當(dāng)b=－1且a≠0時(shí)，此數(shù)列才是等比數(shù)列。
由命題2得，a1=a+b+c，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差數(shù)列，則a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)列{an}才是等差數(shù)列
25、。
由命題3得，a1=a－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=a－1，顯然{an}是一個(gè)常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng)a－1≠0；即a≠1時(shí)數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列。
點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個(gè)命題均涉及到Sn與an的關(guān)系，它們是an=，正確判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系。上述三個(gè)命題都不是真命題，選擇A。
題型2：等比數(shù)列的判定
例3．（2000全國(guó)理，20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛cn｝，其中cn＝2n＋3n，且數(shù)列｛cn＋1－pcn｝為等比數(shù)列，求常數(shù)p；（Ⅱ）設(shè)｛an｝、｛bn｝是公比不相
26、等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn=an+bn，證明數(shù)列｛cn｝不是等比數(shù)列。
解析：（Ⅰ）解：因?yàn)椋鹀n＋1－pcn｝是等比數(shù)列，
故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1），
將cn＝2n＋3n代入上式，得：
［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］·［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］，
即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2
＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］，
整理得（2－p）（3－p）·2n·3n＝0，解得p=2或p=3。
（Ⅱ）證明：設(shè)｛
27、an｝、｛bn｝的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn。
為證｛cn｝不是等比數(shù)列只需證c22≠c1·c3。
事實(shí)上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq，
c1·c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2），
由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不為零，
因此c22≠c1·c3，故｛cn｝不是等比數(shù)列。
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。
例4．（2003京春，21）如圖3—1，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的圖3—1
內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切
28、，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（n∈N*），證明{an}是等比數(shù)列；
證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30°=。=sin30°=，所以rn=rn－1（n≥2），于是a1=πr12=，故{an}成等比數(shù)列。
點(diǎn)評(píng)：該題考察實(shí)際問(wèn)題的判定，需要對(duì)實(shí)際問(wèn)題情景進(jìn)行分析，最終對(duì)應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。
題型3：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用
例5．一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來(lái)的等比數(shù)列。
解析
29、：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；
則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；
解得a=2，q=3或a=，q=－5；
故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，－，。
點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁。
例6．（2006年陜西卷）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)
解析：∵10Sn=an2+5an+6， ①
∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3。
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①
30、－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2)。
當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比數(shù)列
∴a1≠3；
當(dāng)a1=2時(shí),，a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3。
點(diǎn)評(píng)：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。
題型4：等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用
例7．（1）（2006年遼寧卷）在等比數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ）
A．
31、 B． C． D．
（2）（2006年北京卷）設(shè)，則等于（ ）
A． B． C． D．
（3）（1996全國(guó)文，21）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求數(shù)列的公比q；解析：（1）因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，
則
即，所以，故選擇答案C。
（2）D；
（3）解：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。
因a1≠0，得S3+S6≠2S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q≠1。
由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6－q3－1）=0，由q≠0，得2q6－q3－1=0，從而（2q3＋1
32、）（q3－1）=0，因q3≠1，故q3=－，所以q=－。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于等比數(shù)列求和問(wèn)題要先分清數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)應(yīng)好首項(xiàng)和公比求出最終結(jié)果即可。
例8．（1）（2002江蘇，18）設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝b3，b2b4＝a3．分別求出｛an｝及｛bn｝的前10項(xiàng)的和S10及T10；
（2）（2001全國(guó)春季北京、安徽，20）在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1，a2，a3……，an，使這n＋2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1，b2，b3，……，bn，使這n＋2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An＝a1a2a3……an，Bn＝b1＋b2＋b3＋……＋bn
33、.
（Ⅰ）求數(shù)列｛An｝和｛Bn｝的通項(xiàng)；
（Ⅱ）當(dāng)n≥7時(shí)，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。
（3）（2002天津理，22）已知｛an｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1＝0，a2＝3，
an＋1an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3，4，5，…．
（Ⅰ）求a3；
（Ⅱ）證明an＝an－2＋2，n＝3，4，5，…；
（Ⅲ）求｛an｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn。
解析：（1）∵｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，
∴a2＋a4＝2a3，b2b4＝b32．
已知a2＋a4＝b3，b2b4＝a3，
∴b3＝2a3，a3＝b32．
得 b3＝2b32．
∵b
34、3≠0 ∴b3＝，a3＝．
由a1＝1，a3＝知｛an｝的公差為d＝，
∴S10＝10a1＋．
由b1＝1，b3＝知｛bn｝的公比為q＝或q＝．
當(dāng)q＝時(shí)，，
當(dāng)q＝時(shí)，。
（2）（Ⅰ）設(shè)公比為q，公差為d，等比數(shù)列1，a1，a2，……，an，2，等差數(shù)列1，b1，b2，……，bn，2。
則A1＝a1＝1·q A2＝1·q·1·q2 A3＝1·q·1·q2·1·q3
又∵an＋2＝1·qn＋1＝2得qn＋1＝2，
An＝q·q2…qn＝q（n＝1，2，3…）
又∵bn＋2＝1＋（n＋1）d＝2 ∴（n＋1）d＝1
B1＝b1＝1＋d B2＝b2＋b1＝1＋d＋1
35、＋2d Bn＝1＋d＋…＋1＋nd＝n
（Ⅱ）An＞Bn，當(dāng)n≥7時(shí)
證明：當(dāng)n＝7時(shí)，23．5＝8·＝An Bn＝×7，∴An＞Bn
設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，An＞Bn，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
又∵Ak+1＝· 且Ak＞Bk ∴Ak＋1＞·k
∴Ak＋1－Bk＋1＞
又∵k＝8，9，10… ∴Ak＋1－Bk＋1＞0，綜上所述，An＞Bn成立.
（3）（Ⅰ）解：由題設(shè)得a3a4＝10，且a3、a4均為非負(fù)整數(shù)，所以a3的可能的值為1，2，5，10．
若a3＝1，則a4＝10，a5＝，與題設(shè)矛盾．
若a3＝5，則a4＝2，a5＝，與題設(shè)矛盾．
若a3＝10，則a4＝1，a5＝6
36、0，a6＝，與題設(shè)矛盾.
所以a3＝2.
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n＝3，a3＝a1＋2，等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥3）時(shí)等式成立，即ak＝ak－2＋2,由題設(shè)ak＋1ak＝（ak－1＋2）·（ak－2＋2），因?yàn)閍k＝ak－2＋2≠0，所以ak＋1＝ak－1＋2，
也就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式ak＋1＝ak－1＋2成立；
根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥3，有an+1=an－1+2。
（Ⅲ）解：由a2k－1＝a2（k－1）－1＋2，a1＝0，及a2k＝a2（k－1）＋2，a2＝3得a2k－1＝2（k－1），a2k＝2k＋1，k＝1，2，3，…，即an＝n＋（－1）n，n＝
37、1，2，3，…。
所以Sn＝
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問(wèn)題的能力。
題型5：等比數(shù)列的性質(zhì)
例9．（1）（2005江蘇3）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前三項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5＝（ ）
（A）33 （B）72 （C）84 （D）189
（2）（2000上海，12）在等差數(shù)列｛an｝中，若a10＝0，則有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛bn｝中，若b9＝1，則有等式
38、成立。
解析：（1）答案：C；解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=－3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C。
（2）答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）；
解：在等差數(shù)列｛an｝中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19
39、－n＝－an＋1
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n，
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n，
相應(yīng)地等比數(shù)列｛bn｝中，則可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計(jì)算能力。
例10．（1）設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，前2n項(xiàng)和為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比q。
（2）在和之間插入n個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個(gè)數(shù)之積。
（3）設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，
40、它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問(wèn)數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4)
解析：（1）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，依題意設(shè)：a1＞0，Sn=80 ，S2n=6560。
∵S2n≠2Sn ，∴q≠1；
從而 =80，且=6560。
兩式相除得1+qn=82 ，即qn=81。
∴a1=q－1＞0 即q＞1,從而等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第n項(xiàng)。
∴a1qn-1=54,從而(q－1)qn-1=qn-qn-1=54。
∴qn-1=81－54=27
∴q==3。
∴a1
41、=q－1=2
故此數(shù)列的首為2，公比為3。
（2）解法1：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為，且公比為q，
則
。
解法2：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為，
。
（3）解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N*，
依題意有：，
化簡(jiǎn)得，
設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn，
則Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)
=nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3
=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n
可見，當(dāng)n=時(shí)，Sn最大，
而=5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大，
解法二 接前，,于是lgan=
42、lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg，
∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列，
令lgan≥0，得2lg2－(n－4)lg3≥0，
∴n≤=5.5，
由于n∈N*,可見數(shù)列{lgan}的前5項(xiàng)和最大。
點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到。
題型6：等差、等比綜合問(wèn)題
例11．（2006年廣東卷）已知公比為的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為。
43、(Ⅰ)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；
(Ⅱ)對(duì)給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．求數(shù)列的前10項(xiàng)之和。
解析：(Ⅰ)依題意可知：，
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,，所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差，,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。
五．思維總結(jié)
1．等比數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)）
（1）掌握等比數(shù)列定義＝q（常數(shù)）（nN），同樣是證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由an·an＋2＝來(lái)判斷；
（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1·qn－1；
（3）對(duì)于G 是a、b 的等差中項(xiàng)，則G2＝ab，G＝±；
（4）特別要注意等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式應(yīng)分為q＝1與q≠1兩類，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝，Sn＝。
2．等比數(shù)列的判定方法
①定義法：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列；
②等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。
3．等比數(shù)列的性質(zhì)
①等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有；
②對(duì)于等比數(shù)列，若，則，也就是：，如圖所示：。
③若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等比數(shù)列。
如下圖所示：
《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第27講 正、余弦定理及應(yīng)用
