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1、第二章邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù),2.1基本邏輯運(yùn)算2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡2.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,本章要求：掌握邏輯代數(shù)的基本公式、運(yùn)算定律、規(guī)則。熟悉邏輯函數(shù)的表示方法以及邏輯函數(shù)的公式法化簡。掌握卡諾圖及用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法。,2.1基本邏輯運(yùn)算,數(shù)字電路研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，邏輯關(guān)系一般用邏輯函數(shù)來描述，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。,在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)是由邏輯變量和基本的邏輯運(yùn)算符構(gòu)成的表達(dá)式，其變量只能取兩個值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義。,0和1表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。,例如：電位的低高（0表示低電位，1表示高

2、電位）、開關(guān)的開合等。,A為原變量，為反變量,1.基本運(yùn)算公式(0-1律，還原律)與（乘）或（加）非,2.基本運(yùn)算定律,結(jié)合律,交換律,分配律,,普通代數(shù)不適用!,證明:,右邊=(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC;分配律,=A+A(B+C)+BC;結(jié)合律,AA=A,=A(1+B+C)+BC;結(jié)合律,=A1+BC;1+B+C=1,=A+BC;A1=1,=左邊,吸收律:吸收多余（冗余）項，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。),（1）原變量的吸收：,證明：,A+AB=A(1+B)=A1=A,長中含短，留下短。,（2）反變量的吸收：,證明：,長中含反，去掉反。,想一想：?,（3）混合變

3、量的吸收：,證明：,正負(fù)相對，余全完。,反演律（德摩根(DeMorgan)定理）,可以用列真值表的方法證明：,,3.基本運(yùn)算規(guī)則,（1）運(yùn)算順序：先括號再乘法后加法。,（2）代入規(guī)則：在任何一個包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。,例：已知,則得到,（3）反演規(guī)則：將函數(shù)式F中所有的,,變量與常數(shù)均取反,,（求反運(yùn)算）,互補(bǔ)運(yùn)算,2.不是一個變量上的反號不動。,注意:,用處：實現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算（求反運(yùn)算）。,新表達(dá)式：F,顯然：,1.變換時，原函數(shù)運(yùn)算的先后順序不變,例1：,,與或式,注意括號,注意括號,,例2：,與或式,反號不動,反號不動,,,（4）對偶

4、規(guī)則：,若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。,對偶式：對于任何一個邏輯式Y(jié)，若將其中的“”換成“+”，“+”換成“”，0換成1，1換成0，則得到一個新的邏輯式Y(jié)，則Y叫做Y的對偶式,2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡,,四種表示方法,邏輯代數(shù)式(邏輯表示式,邏輯函數(shù)式),邏輯電路圖:,卡諾圖,真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對應(yīng)列出的表格。,2.2.1邏輯函數(shù)表示方法：四種，并可相互轉(zhuǎn)換,1、從真值表寫出邏輯函數(shù)式,不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換：,一般方法：（1）找出真值表中是邏輯函數(shù)為1的那些輸入變量取值的組合；（2）每組輸入變量取值的組合對應(yīng)一個乘積項，

5、其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量；（3）將這些乘積項相加，即得輸出的邏輯函數(shù)式。,例如：由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫出其邏輯函數(shù)式：,驗證：將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿足真值表中所列出的對應(yīng)的輸出狀態(tài)。,方法：一般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。,例如：,2、從邏輯函數(shù)式寫出真值表,3、從邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖,方法：圖形符號代替式中的運(yùn)算符號即可,例：已知邏輯函數(shù)為,畫出對應(yīng)的邏輯圖,邏輯代數(shù)式是把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。,例：,一個邏輯函數(shù)可以表示為不同的表達(dá)式

6、。對應(yīng)的邏輯圖也不同。實際應(yīng)用中，電路越簡單，可靠性越高，成本越低，故常需對函數(shù)式進(jìn)行變換和化簡。,2.2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡,與-或式：由幾個乘積項相加組成的邏輯式。,化簡的目的：得到邏輯函數(shù)的最簡形式。,最簡與-或式：邏輯式中包含的乘積項已經(jīng)最少，而且每個乘積項里的因子最少。,通常先化簡成最簡與-或式，再轉(zhuǎn)換成其他形式,2.2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡（公式法）,反復(fù)使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)式中多余的乘積項和多余的因子，以得到函數(shù)式的最簡形式。,例1：,(1)吸收法:利用,例2：,(2)并項法:,例3：,化簡,（3）配項法,,,化簡,（4）加項法,例5：,再看一例題,例5

7、：,化簡,,吸收,吸收,,吸收,,吸收,利用公式法進(jìn)行化簡的問題：復(fù)雜技巧性強(qiáng)是否最簡尚不得而知,2.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,2.3.1.最小項和最大項,一、最小項,1、定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項。即輸入變量的每一種組合，它構(gòu)成邏輯函數(shù)的基本單元。2、特點(diǎn)：,（1）n變量的最小項應(yīng)為2n個；（2）在輸入變量的任何取值下必有一個最小項而且僅有一個最小項的值為1;（3）全體最小項之和為1;（4）任意兩個最小項的乘積為0;（5）相鄰性：若兩個最小項只有一個因子不同則這兩個最小項具有相鄰性。（6

8、）具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子;,以三變量的邏輯函數(shù)為例分析最小項表示及特點(diǎn),變量賦值為1時用該變量表示；賦0時用該變量的反來表示。,可見輸入變量的八種狀態(tài)分別唯一地對應(yīng)著八個最小項。,當(dāng)輸入變量的賦值使某一個最小項等于1時，其他的最小項均等于0。,之所以稱之為最小項，是因為該項已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。,例如：對于三變量的邏輯函數(shù)，如果某一項的變量數(shù)少于3個，則該項可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等于3個，則該項不能繼續(xù)分解。,相鄰最小項的合并：若兩個最小項邏輯相鄰則可以消去一對互反的因子合并成一項。,,邏輯相鄰的項可以合并，消去一個因子,二、最大項,1、定義：在n

9、變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量之和，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。2、特點(diǎn)：（1）n變量的最大項應(yīng)為2n個。（2）輸入變量的每一組取值都使一個且僅有對應(yīng)的最大項的值等于0。,（3）全體最大項之積為0；（4）任意兩個最大項的和為1；（5）相鄰性：若兩個最大項只有一個因子不同則這兩個最大項具有相鄰性。（6）具有相鄰性的兩個最大項之積可以合并成一項并消去一對因子;,,,三、最大項和最小項之間的關(guān)系,例如,2.3.2邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式,可以把任何一個邏輯函數(shù)一般表達(dá)式化為最小項之和的標(biāo)準(zhǔn)形式,利用,,1.最小項之和形式標(biāo)準(zhǔn)的與或表達(dá)式,例如給定邏輯

10、函數(shù),則可化為,,,,,例：將邏輯函數(shù),展開為最小項之和的形式,2.最大項之積形式,任何一個邏輯函數(shù)都可以化成最大項之積的標(biāo)準(zhǔn)形式,若給定,則,,例：將邏輯函數(shù),展開成最大項之積的形式,解：已求得,,2.3.3卡諾圖,卡諾圖：將n個輸入變量的全部最小項用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是n變量的卡諾圖。,表示最小項的卡諾圖,兩變量卡諾圖,四變量卡諾圖,三變量卡諾圖,說明：一格一個最小項相鄰兩格為邏輯相鄰項,有時為了方便，用二進(jìn)制對應(yīng)的十進(jìn)制表示單元格的編號。單元格的值用函數(shù)式表示。,F(A,B,C)=(1,2,4,7),1,2,4,7單元取1，其它

11、取0,四變量卡諾圖單元格的編號:,從真值表到卡諾圖：對應(yīng)填寫,2.3.4邏輯函數(shù)的卡諾圖表示,輸入變量,例1：二輸入變量卡諾圖,輸入變量,例2：三輸入變量卡諾圖,注意：00與10邏輯相鄰。,例3：四輸入變量卡諾圖,2.3.4邏輯函數(shù)的卡諾圖表示,把邏輯函數(shù)化為最小項之和的形式；在卡諾圖上與這些最小項對應(yīng)的位置添1；在其余的位置上添入0；,任何一個邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中添入1的那些最小項之和。,從函數(shù)式到卡諾圖：,例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù),解：先將邏輯函數(shù)化為最小項之和形式,已知函數(shù)的卡諾圖，寫出該其邏輯式,2.3.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡,1.合并最小項的規(guī)則：,個最小項相鄰并排成一個矩形組

12、，,如果由,則它們可以合并為一項，并消去n對互反因子。,n=1，合并一對因子,n=2，合并兩對因子,,,,,,,,合并兩個相鄰最小項,,,,,,合并四個相臨最小項,,,,,B,合并八個相臨最小項,2.卡諾圖化簡的步驟,將函數(shù)化為最小項之和的形式；畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；找出可以合并的最小項；選取化簡后的乘積項；,合并圈的選?。喝簩幋笪鹦?；圈數(shù)寧少勿多；圈圈含新,例1：化簡,F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15),,,,,,解：,例2：化簡,例3：化簡,解：,,,,例4：化簡邏輯函數(shù),解：由Y畫出卡諾圖，得出,,想一想：能否圈0？,3.具有

13、無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡,舉例說明：三個邏輯變量A、B、C分別表示一臺電動機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止的命令。A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止可能取值只有001，010，100當(dāng)中的某一種；而000，011，101，110，111中的任何一種都不可能出現(xiàn)，可表示為：,（1）約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項,約束項：這些恒等于0的最小項。由于函數(shù)對輸入變量取值所加的限制而產(chǎn)生的，根本不會出現(xiàn)，故寫進(jìn)函數(shù)式中不會改變函數(shù)值。,,或,任意項：在輸入變量的某些取值下函數(shù)值是1是0皆可，并不影響電路的功能,在這些變量取值組合下，其值等于1的那些最小項。,無關(guān)項：約束項和任意項的統(tǒng)稱,常用d表示

14、。約束項和任意項即可以寫入函數(shù)式，也可從函數(shù)式中刪掉，不影響函數(shù)值。,（2）具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡,在真值表和卡諾圖中用（或）表示無關(guān)項。合并最小項時，無關(guān)項即可作為0（圈0）又可作為1（圈1），以期得到最大的圈。,解：,例6：利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),解：由F畫出卡諾圖，得出,,,我們來分析一個實際問題：某水庫設(shè)有三個水位檢測點(diǎn)，裝有A、B、C三個干濕傳感器，當(dāng)傳感器被水浸泡時輸出1，否則（不浸水時）輸出0。該水庫有大小兩個閘門GL、GS。A為警戒水位點(diǎn)，B比警戒水位A高1米，C比警戒水位高2米。防汛部規(guī)定當(dāng)水位低于警戒水位A時，關(guān)閘蓄水。當(dāng)水位超過A時，開小閘門GS放水，當(dāng)水位超過B時

15、，開啟大閘門GL（關(guān)閉小閘門）泄洪；當(dāng)水位超過C時，大小閘門LS同時開啟泄洪。如果用1表示閘門關(guān)閉，閘門與水庫水位之間的邏輯關(guān)系真值表如下：,無關(guān)項在邏輯函數(shù)化簡中的應(yīng)用,說明：水位低于警戒線，關(guān)閘蓄水水位超警戒線A，只開小閘門放水水位超警戒線B，只開大閘門泄洪水位超警戒線C，大小閘門同時泄洪,還能再化簡嗎？,從前面講過的內(nèi)容來看,這兩個邏輯函數(shù)已經(jīng)不能再化簡了，但從現(xiàn)實角度看應(yīng)該有更簡化的結(jié)果GL=B，因為只要水位超過B（B1），大閘門就要開啟，與是否超過C無關(guān)（因為C1時，B也等于1，同樣,說明前面講過的內(nèi)容還有欠缺的地方。,我們觀察上面的真值表發(fā)現(xiàn)，A、B、C三個代表水位的邏輯變量，可能的取值只有000、100、110和111四種。其余四種取值001、010、011和101永遠(yuǎn)不可能出現(xiàn)。因為沒有物理意義。如果001，C1，AB0這是不可能的。即：,所以：,2.5邏輯函數(shù)門電路的實現(xiàn),方法：1.化簡函數(shù)式，得最簡形式2.根據(jù)提供的器件類型不同，將函數(shù)變換為不同形式，如只提供與非門，則根據(jù)反演定理將函數(shù)變換為與非與非形式。例：,可用三個與門，一個三輸入的或門實現(xiàn)；也可用四個與非門實現(xiàn),與或邏輯電路,與非邏輯電路,