數(shù)學 練習 （2009北京高考）1．若正四棱柱的底面邊長為1，與底面成60°角，則到底面的距離為 A． B．1 C． D． （2005北京高考）2．在正四面體P—ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論中不成立的是 （ ） A．BC//平面PDF B．DF⊥PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC （2010北京高考）3．正方體ABCD-的棱長為2，動點E、F在棱上，動點P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP＝z（x，y，z大于零），則四面體PEFQ的體積 A．與x，y，z都有關 B．與x有關，與y，z無關 C．與y有關，與x，z無關 D．與z有關，與x，y無關 （2008北京高考）4．如圖，動點在正方體的對角線上．過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于．設，，則函數(shù)的圖象大致是 A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A． O y x B． O y x C． O y x D． O （2011北京高考）5．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，. （Ⅰ）求證：平面 （Ⅱ）若求與所成角的余弦值； （Ⅲ）當平面與平面垂直時，求的長. 證明：（Ⅰ）因為四邊形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD. 又因為PA⊥平面ABCD. 所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC. （Ⅱ）設AC∩BD=O. 因為∠BAD=60°，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=. 如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O—xyz，則 P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）. 所以 設PB與AC所成角為，則 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 設P（0，－，t）（t>0）， 則 設平面PBC的法向量, 則 所以 令則 所以 同理，平面PDC的法向量 因為平面PCB⊥平面PDC, 所以=0，即 解得 所以PA= （2010北京高考）6．如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1. （Ⅰ）求證：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。 （Ⅰ）略 （Ⅱ）因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面 相互垂直，且CEAC， 所以CE平面ABCD. 如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-. 則C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）, D(, 0, 0)，E(0, 0, 1)， . 所以，，. 所以, 所以,. 所以BDE. （Ⅲ）二面角的大小為. （2009北京高考）7．如圖，在三棱錐中，底面， 點，分別在棱上，且 （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由。 （Ⅰ）略 （Ⅱ）與平面所成的角的大小. （Ⅲ）∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時， 故存在點E使得二面角是直二面角. A C B P （2008北京高考）8．如圖，在三棱錐中，，，，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求二面角的大?。? （Ⅲ）求點到平面的距離． （Ⅰ）略 （Ⅱ）二面角的大小為． （Ⅲ）點到平面的距離為． （2007北京高考）9．如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上． （I）求證：平面平面； （II）當為的中點時，求異面直線與所成角的大小； （III）求與平面所成角的最大值． （I）略 （II）異面直線與所成角的大小為． （III）CD與平面所成角的最大值為． （2006北京高考）10．如圖，在底面為平行四邊表的四棱錐中，，平面，且，點是的中點. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求證：平面； （Ⅲ）求二面角的大小. （Ⅰ）略 （Ⅱ）略 （Ⅲ）二面角的大小為 （2005北京高考）11． 如圖, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足未E， （I）求證：BD⊥A1C； （II）求二面角A 1－BD－C 1的大??； （III）求異面直線 AD與 BC 1所成角的大小． （I）略 （II）二面角A1－BD－C1的大小為90°． （III）異面直線AD與BC1所成角的大小為． O A B D C （2011西城一模）12．如圖，四面體的三條棱兩兩垂直，,，為四面體外一點.給出下列命題.①不存在點,使四面體有三個面是直角三角形②不存在點,使四面體是正三棱錐③存在點,使與垂直并且相等 ④存在無數(shù)個點,使點在四面體的外接球面上其中真命題的序號是 A．①② B．②③ C．③ D．③④ （2011東城一模文）13．空間點到平面的距離如下定義：過空間一點作平面的垂線，該點和垂足之間的距離即為該點到平面的距離．平面，，兩兩互相垂直，點，點到，的距離都是，點是上的動點，滿足到的距離是到到點距離的倍，則點的軌跡上的點到的距離的最小值為 A． B． C． D． （2011西城一模）14．A B C D F E 如圖, 是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得平面，并證明你的結論. （Ⅰ）證明： 因為平面， y B C A E z D F x M 所以. ……………………2分 因為是正方形， 所以， 從而平面. ……………………4分 （Ⅱ）解：因為兩兩垂直， 所以建立空間直角坐標系如圖所示. 因為與平面所成角為，即， ………………5分 所以. 由可知，. ………………6分 則，，，，， 所以，， ………………7分 設平面的法向量為，則，即， 令，則. …………………8分 因為平面，所以為平面的法向量，， 所以. …………………9分 因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為. ………………10分 （Ⅲ）解：點是線段上一個動點，設. 則， 因為平面， 所以， …………………11分 即，解得. …………………12分 此時，點坐標為，，符合題意. …………………13分 （2011海淀一模）15．在如圖的多面體中，⊥平面，,，， ，，， 是的中點． (Ⅰ) 求證：平面； (Ⅱ) 求證：； (Ⅲ) 求二面角的余弦值. 解：(Ⅰ)證明：∵， ∴. 又∵,是的中點， ∴， ∴四邊形是平行四邊形， ∴ . ……………2分 ∵平面，平面， ∴平面. …………………4分 (Ⅱ) 解法1 證明：∵平面，平面， ∴， 又，平面， ∴平面. ………………………5分 過作交于，則平面. ∵平面， ∴. ………………………6分 ∵，∴四邊形平行四邊形， ∴， ∴，又， ∴四邊形為正方形， ∴， ………………………7分 又平面，平面, ∴⊥平面. ………………………8分 ∵平面, ∴. ………………………9分 解法2 ∵平面，平面，平面，∴，， 又, ∴兩兩垂直. ……………………5分 以點E為坐標原點，分別為軸建立如圖的空間直角坐標系. 由已知得，（0，0，2），（2，0，0）， （2，4，0），（0，3，0），（0，2，2）， （2，2，0）. …………………………6分 ∴，，………7分 ∴, ………8分 ∴. …………………………9分 (Ⅲ)由已知得是平面的法向量. …………………………10分 設平面的法向量為，∵， ∴，即，令,得. …………………………12分 設二面角的大小為， 則， …………………………13分 ∴二面角的余弦值為 …………………………14分 （2011海淀二模）15．在一個正方體中，為正方形四邊上的動點，為底面正方形的中心，分別為中點，點為平面內一點，線段與互相平分，則滿足的實數(shù)的值有 A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 （2011海淀二模）16．如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個邊長為的正三角形，，為的中點，為的中點． (Ⅰ)求證：平面； (Ⅱ)求證：平面； (Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值． （Ⅰ）證明：設為的中點，連接，則 ∵，，， F ∴四邊形為正方形， ∵為的中點， ∴為的交點， ∵， ∴， ………………………………..2分 ∵， ∴，， 在三角形中，，∴，……………………………4分 ∵，∴平面； ……………………………5分 (Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點，為中點， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. ……………………………9分 F 方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 由已知得： ，， ，，， ， 則，，，. ∴ ∴ ∵平面，平面， ∴平面； …………………………………9分 (Ⅲ) 設平面的法向量為，直線與平面所成角， 則，即， 解得，令，則平面的一個法向量為， 又 則， ∴直線與平面所成角的正弦值為. （2011西城二模）17．如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐. （Ⅰ）若點是棱的中點，求證:平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； M （Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論. （Ⅰ）證明：因為點是菱形的對角線的交點， 所以是的中點.又點是棱的中點， 所以是的中位線，. ………………1分 因為平面,平面, A B C O D x y z M 所以平面. ………………3分 （Ⅱ）解：由題意，， 因為， 所以，. ………………4分 又因為菱形，所以，. 建立空間直角坐標系，如圖所示. . 所以 ………………6分 設平面的法向量為， 則有即： 令，則，所以. ………………7分 因為,所以平面. 平面的法向量與平行， 所以平面的法向量為. ………………8分 ， 因為二面角是銳角， 所以二面角的余弦值為. ……………9分 （Ⅲ）解：因為是線段上一個動點，設，， 則， 所以， ……………10分 則，， 由得，即，…………11分 解得或， ……………12分 所以點的坐標為或. ……………13分 （也可以答是線段的三等分點，或） （2010海淀一模）18．如圖，三棱柱中，側面底面，, 且,O為中點. （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在上是否存在一點，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點的位置. 解：（Ⅰ）證明：因為，且O為AC的中點， 所以. ………………1分 又由題意可知，平面平面，交線為，且平面， 所以平面. ………………4分 （Ⅱ）如圖，以O為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系. 由題意可知，又 所以得: 則有： ………………6分 設平面的一個法向量為，則有 ，令，得 所以. ………………7分 . ………………9分 因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以. ………………10分 （Ⅲ）設 ………………11分 即，得 所以得 ………………12分 令平面，得 ， ………………13分 即得 即存在這樣的點E，E為的中點. ………………14分 （2009海淀一模）19．如圖，在Rt中，，點、分別在線段、上，且，將沿折起到的位置，使得二面角的大小為. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）當點為線段的中點時，求與平面所成角的大小； （Ⅲ）求四棱錐體積的最大值. （Ⅰ）證明：在Rt中，， ∴. ∴. 又∵， ∴平面. ………………………………………2分 又∵平面， ∴. ………………4分 （Ⅱ）解法一：過點作交于，連結. ∵平面，平面， ∴. ∵，∴平面. ∴是在平面內的射影. ∴是與平面所成的角. ………………………………………6分 ∵點為線段的中點，， ∴. ∵， ∴是二面角的平面角. ………………………………………8分 ∵二面角的大小為， ∴. 在Rt△中，. ∴. 在Rt△中，. ∴在Rt△中，. ∴與平面所成角的大小為. ……………9分 解法二：如圖，以為原點建立空間直角坐標系． ∵點為線段的中點，， ∴. ∵， ∴是二面角的平面角. ∵二面角的大小為， ∴. ……………6分 可得，. 則，且平面的法向量n. ∴. ∴與平面所成角的大小為. ………………………………………9分 （Ⅲ）設，則.同（Ⅱ）可求得. 在等腰直角三角形中，， ∴. ∴. …………11分 設，， 則，由得. 當時，單調遞增；當時，單調遞減. ∴當時，四棱錐體積取最大值為.…………14分 （2009海淀二模）19．在棱長均為2的正四棱錐中，點為的中點，則下列命題正確的是 （ ） A．∥平面，且到平面的距離為 B．∥平面，且到平面的距離為 C．與平面不平行，且與平面所成的角大于 D．與平面不平行，且與平面所成的角小于 （2009西城二模）20．如圖，在直三棱柱中，，D是AA1的中點. (Ⅰ) 求異面直線與所成角的大?。? (Ⅱ) 求二面角C-B1D-B的大??； C B C1 B1 A A1 D (Ⅲ) 在B1C上是否存在一點E，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 方法一：（Ⅰ）解：如圖，設F為BB1的中點，連接AF，CF， C G B C1 B1 A A1 D E F 直三棱柱，且D是AA1的中點， ， 為異面直線與所成的角或其補角. -----------2分 在Rt中，，AB=1，BF=1， ，同理， 在中，， 在中，，， 異面直線與所成的角為. ----------------------------4分 （Ⅱ）解：直三棱柱，， 又， 平面. ---------------------------5分 如圖，連接BD， 在中，， ，即， 是CD在平面內的射影， ， 為二面角C-B1D-B的平面角. ---------------------------7分 在中, , BC=1, ， , 二面角C-B1D-B的大小為. ---------------------------9分 （Ⅲ）答：在B1C上存在一點E，使得平面，此時.----------------------10分 以下給出證明過程. 證明：如圖，設E為B1C的中點，G為BC的中點，連接EG，AG，ED， 在中，， ，且， 又，且， ， 四邊形為平行四邊形， ， ---------------------------12分 又平面ABC，平面ABC， 平面. ---------------------------14分 方法二：（Ⅰ）如圖，以B為原點，BC、BA、BB1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系O-xyz， 則， , ---------------------------2分 ， 異面直線與所成的角為. ---------------------------4分 C B C1 B1 A A1 D x y z E G （Ⅱ）解：直三棱柱，， 又， 平面. ---------------------------5分 如圖，連接BD， 在中，， ，即， 是CD在平面內的射影， ， 為二面角C-B1D-B的平面角. ---------------------------7分 ， ， 二面角C-B1D-B的大小為. -----------------------------9分 （Ⅲ）同方法一. ---------------------------14分 （2010西城一模）21．如圖，平面平面，直線，是內不同的兩點,是內不同的兩點，且直線, 分別是線段的中點. 下列判斷正確的是 A．當 l B A C D M N · · 時，兩點不可能重合 B．兩點可能重合，但此時直線與直線不可能相交 C．當與相交，直線平行于時，直線可以與相交 D．當是異面直線時，可能與平行 A B C D E P （2010西城一模）22．在四棱錐中，側面底面，，為中點，底面是直角梯形，，，，. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求證：平面； （Ⅲ）設為側棱上一點，，試確定的值，使得二面角為. 解：（Ⅰ）取的中點，連結， 因為為中點，所以，且， 在梯形中，，， 所以，，四邊形為平行四邊形， 所以， …………………2分 平面，平面， 所以平面. …………………4分 （Ⅱ）平面底面，，所以平面， 所以.…………………5分 A B C D E P y x z Q F 如圖，以為原點建立空間直角坐標系. 則 …………………6分 ，， 所以，，……………8分 又由平面，可得， 所以平面.…………………9分 （Ⅲ）平面的法向量為，…………………10分 ，， 所以，…………………11分 設平面的法向量為， ，， 由，，得 所以，， 所以，…………………12分 所以，…………………13分 注意到，得. …………………14分 （2012海淀高三期末）23．在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，，平面平面. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大??； （Ⅲ）在棱上是否存在點使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. （Ⅰ）證明：因為 ， 所以 . ………………………………………1分 因為 平面平面，平面平面， 平面， 所以 平面. ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取的中點，連接. 因為， 所以 . 因為 平面平面，平面平面，平面， 所以 平面. ………………………………………4分 如圖，以為原點，所在的直線為軸，在平面內過垂直于的直 線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系．不妨設.由 直角梯形中可得，， . 所以 ，. 設平面的法向量. 因為 所以 即 令，則. 所以 . ………………………………………7分 取平面的一個法向量n. 所以 . 所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小為. ………………………………………9分 （Ⅲ）解：在棱上存在點使得∥平面，此時. 理由如 下： ………………………………………10分 取的中點，連接，，. 則 ∥，. 因為 ， 所以 . 因為 ∥， 所以 四邊形是平行四邊形. 所以 ∥. 因為 ， 所以 平面∥平面. ………………………………………13分 因為 平面， 所以 ∥平面. ………………………………………14分 1．D 2．C 3．D 4．B 12．D 13．D 15．C 19．D 21．B （2012西城高三期末）24．如圖，在直三棱柱中，，，是的中點． （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）試問線段上是否存在點，使與成 角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由． （Ⅰ）證明：連結，交于點，連結. 由 是直三棱柱， 得 四邊形為矩形，為的中點. 又為中點，所以為中位線， 所以 ∥， ………………2分 因為 平面，平面， 所以 ∥平面. ………………4分 （Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直. 如圖建立空間直角坐標系. ………………5分 設，則. 所以 ， 設平面的法向量為，則有 所以 取，得. ………………7分 易知平面的法向量為. ………………8分 由二面角是銳角，得 . ………………9分 所以二面角的余弦值為. （Ⅲ）解：假設存在滿足條件的點. 因為在線段上，，，故可設，其中. 所以 ，. ………………11分 因為與成角，所以. ………………12分 即，解得，舍去. ………………13分 所以當點為線段中點時，與成角. ………………14分 第 27頁，共27頁