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1、第四章 圖形的認識 4.3 等腰三角形與直角三角形,中考數(shù)學 (廣東專用),考點一等腰三角形,A組 2014-2018年廣東中考題組,五年中考,1.(2017深圳,8,3分)如圖,已知線段AB,分別以A,B為圓心,大于AB為半徑作弧,連接弧的交點得 到直線l,在直線l上取一點C,使得CAB=25,延長AC至M,則BCM的度數(shù)為() A.40B.50C.60D.70,答案B由作法知直線l是線段AB的垂直平分線,C在l上,AC=BC,B=CAB=25, BCM=50,故選B.,2.(2015廣州,10,3分)已知2是關于x的方程x2-2mx+3m=0的一個根,并且這個方程的兩個根恰好是等腰三角形A

2、BC的兩條邊長,則三角形ABC的周長為() A.10B.14 C.10或14D.8或10,答案B 把x=2代入方程得m=4,解方程x2-8x+12=0得x1=2,x2=6.當6是腰長,2是底邊長時,周長是6+6+2=14;當2是腰長,6是底邊長時,2+2<6,不能構成三角形, ABC的周長是14,故選B.,思路分析先利用方程的根x=2求m的值,再解方程求另一根,最后分類討論求三角形的周長.,易錯警示不考慮三角形的三邊關系,錯選C.,3.(2014廣東,9,3分)一個等腰三角形的兩邊長分別為3和7,則它的周長為() A.17B.15C.13D.13或17,答案A三角形為等腰三角形,且三角形任意兩

3、邊之和大于第三邊,三角形的三邊長分別為3,7,7,周長為17.故選A.,4.(2014廣州,8,3分)將四根長度相等的細木條首尾相接,用釘子釘成四邊形ABCD,轉(zhuǎn)動這個四邊形,使它形狀改變,當B=90時,如圖1,測得AC=2,當B=60時,如圖2,AC=() A.B.2C.D.2,答案A如圖1,AB=BC=CD=DA,B=90,四邊形ABCD是正方形, 連接AC,則AB2+BC2=AC2, AB=BC===. 如圖2,B=60,連接AC, ABC為等邊三角形, AC=AB=BC=.故選A.,5.(2018廣東,19,6分)如圖,BD是菱形ABCD的對角線,CBD=75. (1)請用尺規(guī)作圖法,

4、作AB的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F;(不要求寫作法,保留作圖痕跡) (2)在(1)的條件下,連接BF,求DBF的度數(shù).,解析(1)如圖所示,直線EF即為所求. (2)BD是菱形ABCD的對角線, ABD=CBD=75,A=30, 由(1)知EF是線段AB的垂直平分線, FBA=A=30, DBF=DBA-FBA=75-30=45.,解題反思本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖,菱形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用.,6.(2018廣州,23,12分)如圖,在四邊形ABCD中,B=C=90,ABCD,AD=AB+CD. (1)利用尺規(guī)作ADC的平分線DE,交BC于點E

5、,連接AE(保留作圖痕跡,不寫作法); (2)在(1)的條件下, 證明:AEDE; 若CD=2,AB=4,點M,N分別是AE,AB上的動點,求BM+MN的最小值.,解析(1)如圖所示. (2)證明:如圖,延長DE、AB相交于點F. ABC=C=90,ABC+C=180.ABCD.CDE=F.DE平分ADC, ADE=CDE.ADE=F.AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,AB+BF=AB+CD. BF=CD.,在CED和BEF中, CEDBEF.DE=EF.又AD=AF,AEDE. 如圖,作DHAB于H,作點N關于AE的對稱點N,連接MN,BM,則MN=MN. BM+MN=BM+MN.

6、由可得AD=AF,DE=EF, AE平分DAB. 點N在AD上.當點B,M,N共線且BNAD時,BM+MN有最小值,即BM+MN有最小值. 在RtADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH===4. DHA=BNA=90,DAH=BAN,DAHBAN. =. =.BN=,BM+MN的最小值為.,,思路分析(1)利用基本作圖“作已知角的平分線”,按照題目的作圖要求作圖; (2)延長DE、AB相交于點F,由“角平分線、平行線”可以得出“等腰三角形ADF”,再結合“AD=AB+CD”,利用全等證得DE=EF,然后由“等腰三角形三線合一”證得AEDE;利用軸對稱轉(zhuǎn)化BM

7、+MN,再利用垂線段最短分析得出BN的長即為所求,利用相似三角形求出BN的長.,方法總結合理作出輔助線是解決本題的關鍵,條件AD=AB+CD是解決問題的突破口,綜合運用三角形全等及等腰三角形的判定,再結合等腰三角形的三線合一就可證得AEDE.求最小值問題是又一難題,找到M、N兩點的位置使BM+MN的值最小,可以利用軸對稱及垂線段最短來解決這一問題.,7.(2017廣東,20,7分)如圖,在ABC中,AB. (1)作邊AB的垂直平分線DE,與AB、BC分別相交于點D、E(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法); (2)在(1)的條件下,連接AE,若B=50,求AEC的度數(shù).,解析(1)如圖所示

8、,直線ED即為所求. (2)直線ED是線段AB的垂直平分線, AE=BE,EAB=B. B=50,EAB=50. AEC=EAB+B, AEC=100.,考點二直角三角形,1.(2014深圳,14,3分)在RtABC中,C=90,AD平分CAB,AC=6,BC=8,CD=.,答案3,解析C=90,AC=6,BC=8, AB==10. 過D點作DEAB,則DE=CD,AC=AE,在RtDEB中,設DE=x,則BD=8-x,BE=AB-AE=4, 由勾股定理得(8-x)2=x2+42,解得x=3,即CD=3.,2.(2014珠海,10,3分)如圖,在等腰RtOAA1中,OAA1=90,OA=1,以

9、OA1為直角邊作等腰 RtOA1A2,以OA2為直角邊作等腰RtOA2A3,,則OA6的長度為.,答案8,解析等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍, OA1=OA=()1,OA2=OA1=()2, OA3=OA2=()3,,OA6=()6=8.,3.(2017廣州,20,10分)如圖,在RtABC中,B=90,A=30,AC=2. (1)利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線DE,垂足為E,交AB于點D;(保留作圖痕跡,不寫作法) (2)若ADE的周長為a,先化簡T=(a+1)2-a(a-1),再求T的值.,解析(1)如圖. (2)T=(a+1)2-a(a-1)=a2+2a+1-a2+a=3a+1, AE

10、=AC=2=, AD===2, DE=ADsin A=2=1, a=+1+2=3+, T=3(3+)+1=3+10.,4.(2016廣東,21,7分)如圖,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD為較短的直角邊向CDB的同側作RtDEC,滿足E=30,DCE=90,再用同樣的方法作RtFGC, FCG=90,繼續(xù)用同樣的方法作RtHIC,HCI=90.若AC=a,求CI的長.,解析RtABC中,B=30,ACB=90, A=60.(1分) CDAB,ADC=90,ACD=30.(2分) AC=a, RtADC中,AD=AC=, CD=AD=a.(4分) 同理可得,RtD

11、FC中,DF=CD=a, CF=DF=a.(5分) RtFHC中,FH=CF=a, CH=FH=a,(6分) RtCHI中,CI=CH=a.(7分),評析本題考查直角三角形的基本性質(zhì)與運算.,5.(2014珠海,15,6分)如圖,在RtABC中,ACB=90. (1)用尺規(guī)在邊BC上求作一點P,使PA=PB(不寫作法,保留作圖痕跡); (2)連接AP,當B為度時,AP平分CAB.,解析(1) (2)30.,6.(2016梅州,15,3分)如圖,在平面直角坐標系中,將ABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到AB1C1的位置,點B、O分別落在點B1、C1處,點B1在x軸上,再將AB1C1繞點B1順時針旋轉(zhuǎn)到A1B

12、1C2的位置,點C2在x軸上,將A1B1C2繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)到A2B2C2的位置,點A2在x軸上,依次進行下去. 若點A,B(0,2),則點B2 016的坐標為.,答案(6 048,2),解析AO=,BO=2, AB==, OA+AB1+B1C2=6, B2的橫坐標為6,且B2C2=2, B4的橫坐標為26=12, 點B2 016的橫坐標為2 01626=6 048,點B2 016的縱坐標為2. 點B2 016的坐標為(6 048,2).,思路分析首先根據(jù)已知求出三角形三邊的長度,然后通過旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn),B、B2、B4、的縱坐標相等,即可得每個相鄰的偶數(shù)之間的橫坐標相差6個單位長度,根據(jù)這個規(guī)律可

13、以求得B2 016的坐標.,考點一等腰三角形,B組 2014-2018年全國中考題組,1.(2018河北,8,3分)已知:如圖,點P在線段AB外,且PA=PB.求證:點P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結論時,需添加輔助線,則作法不正確的是() A.作APB的平分線PC交AB于點C B.過點P作PCAB于點C且AC=BC C.取AB中點C,連接PC D.過點P作PCAB,垂足為C,答案B無論作APB的平分線PC交AB于點C,還是取AB中點C,連接PC或過點P作PCAB,垂足為C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結論,選項A,C,D的作法正確.故選B.,2.(2017天津,11,3分)如圖,在

14、ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的兩條中線,P是AD上的一個動點,則下列線段的長等于BP+EP最小值的是() A.BCB.CEC.ADD.AC,答案B如圖,連接PC,AB=AC,BD=CD,ADBC, PB=PC, PB+PE=PC+PE,PE+PCCE, 當P、C、E三點共線時,PB+PE的值最小,最小值為CE,故選B.,思路分析先證PB=PC,從而可得當P、C、E三點共線時,PB+PE的值最小,最小值為CE.,3.(2015廣西南寧,7,3分)如圖,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,則C的度數(shù)為() A.35B.40C.45D.50,答案AAB=AD,ADB=B=70,AD=

15、DC,C=DAC.ADB是ADC的外角,C=ADB=35.故選A.,4.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一個底角為50,則它的頂角的度數(shù)為.,答案80,解析等腰三角形的兩底角相等,180-502=80,頂角為80.,5.(2015福建龍巖,16,3分)我們把平面內(nèi)與四邊形各邊端點構成的三角形都是等腰三角形的點叫做這個四邊形的腰點(如矩形的對角線交點是矩形的一個腰點),則正方形的腰點共有個.,答案9,解析如圖,(1)連接兩條對角線,對角線的交點是正方形的一個腰點;(2)分別以四個頂點為圓心,以正方形的邊長為半徑畫圓,除頂點外,共有8個交點,這8個點也是腰點.綜上,正方形共有9個腰點.

16、,6.(2014內(nèi)蒙古呼和浩特,13,3分)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36,則該等腰三角形的底角的度數(shù)為.,答案63或27,解析在三角形ABC中,設AB=AC,BDAC于D. 若三角形是銳角三角形,則A=90-36=54, 此時,底角=(180-54)2=63; 若三角形是鈍角三角形,則BAC=36+90=126, 此時,底角=(180-126)2=27. 綜上,該等腰三角形底角的度數(shù)是63或27.,7.(2017北京,19,5分)如圖,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于點D. 求證:AD=BC.,證明AB=AC,A=36, ABC=C=72. BD平分ABC,

17、 ABD=36,ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72, BDC=C, BD=BC,AD=BC.,考點二直角三角形,1.(2018內(nèi)蒙古包頭,8,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,ADE的頂點D,E分別在BC,AC上,且 DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,則EDC的度數(shù)為() A.17.5B.12.5C.12D.10,答案DAB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE,AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故選D.,2.(2017陜西,6,3分)如圖,將兩個大小、形狀完全相同的ABC和ABC拼在一起

18、,其中點A與點A重合,點C落在邊AB上,連接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,則BC的長為() A.3B.6C.3D.,答案A由題意得ABC與ABC全等且均為等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3, AB=3,在ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC==3.,3.(2017內(nèi)蒙古包頭,12,3分)如圖,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D,AF平分CAB,交CD于點E,交CB于點F.若AC=3,AB=5,則CE的長為() A.B.C.D.,答案A過F作FGAB于點G, AF平分CAB,ACB=90,FC=FG. 易證ACFAGF,AC=AG. 5+6=9

19、0,B+6=90,5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 在RtBFG中,設CF=x(x0), 則FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.,由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=,CE=CF=.選A.,4.(2015北京,6,3分)如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點M與點C被湖隔開,若測得AM的長為1.2 km,則M,C兩點間的距離為() A.0.5 kmB.0.6 kmC.0.9 kmD.1.2 km,答案DACBC,M是AB的中點,MC=AB=AM=1.2 km.故選D.,5.(201

20、7吉林長春,13,3分)如圖1,這個圖案是我國漢代的趙爽在注解周髀算經(jīng)時給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”.此圖案的示意圖如圖2,其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形,ABF、BCG、CDH、DAE是四個全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,則AB的長為.,答案10,解析依題意知,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,BF=BG-FG=6, 在RtABF中,利用勾股定理得,AB==10.,6.(2017河南,15,3分)如圖,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,點M,N分別是邊BC,AB上 的動點,沿MN所在的直線折疊B,使點B的對應點B落在邊AC上.若MBC為直角三角 形

21、,則BM的長為.,答案或1,解析在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45. (1)當MBC=90時,BMC=C=45. 設BM=x,則BM=BC=x, 在RtMBC中,由勾股定理得MC=x, x+x=+1,解得x=1, BM=1. (2)如圖,當BMC=90時,點B與點A重合, 此時BM=BM=BC=. 綜上所述,BM的長為1或.,7.(2015貴州遵義,16,4分)我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖(1)),圖(2)由弦圖變化得到,它是由八個全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S

22、1、S2、S3.若正方形EFGH的邊長為2,則S1+S2+S3=.,答案12,解析設AH=a,AE=b,EH=c,則c=2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12.,8.(2016北京,23,5分)如圖,在四邊形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點,連接BM,MN,BN. (1)求證:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的長.,解析(1)證明:在ABC中,ABC=90,M為AC的中點, BM=AC. N為CD的中點,MN=AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=6

23、0,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. AC=AD=2, BM=MN=1. 在RtBMN中,BN==.,考點一等腰三角形,C組 教師專用題組,1.(2015福建龍巖,8,4分)如圖,在邊長為的等邊三角形ABC中,過點C垂直于BC的直線交 ABC的平分線于點P,則點P到邊AB所在直線的距離為() A.B.C.D.1,答案D由題意可得,PBC=30,在RtPBC中,PC=BCtan 30=1,因為BP是ABC的平分線,所以點P到AB的距離等于點P到BC的距離,即為1,故選D.,

24、2.(2015江蘇蘇州,7,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,D為BC中點,BAD=35,則C的度數(shù)為 () A.35B.45C.55D.60,答案CAB=AC,D為BC中點,CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90- DAC=55,故選C.,3.(2018天津,17,3分)如圖,在邊長為4的等邊ABC中,D,E分別為AB,BC的中點,EFAC于點F,G為EF的中點,連接DG,則DG的長為.,答案,解析連接DE,在等邊ABC中, D、E分別是AB、BC的中點, DEAC,DE=EC=AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF=. DEG=180-

25、60-30=90. G是EF的中點,EG=.,在RtDEG中,DG===.,思路分析連接DE,根據(jù)題意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度數(shù),判斷出DEG是直角三角形,再根據(jù)勾股定理即可求解DG的長.,疑難突破本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì),勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段DG的長,DG與圖中的線段無直接的關系,所以應根據(jù)條件連接DE,構造直角三角形,運用勾股定理求出DG的長.,4.(2016黑龍江哈爾濱,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,點P為邊BC的三等分點,連接AP,則AP的長為.,答案或,解析當CP=1時,根據(jù)勾股定理得AP==;當CP=2時,根

26、據(jù)勾股定理得AP= ==,故AP的長為或.,5.(2014山西,16,3分)如圖,在ABC中,BAC=30,AB=AC,AD是BC邊上的中線,ACE= BAC,CE交AB于點E,交AD于點F,若BC=2,則EF的長為.,答案-1,解析在DF上取點G,使DG=DC,連接CG. AB=AC,AD為BC邊上的中線, ADBC,CAD=BAD=BAC=15, CDG為等腰直角三角形,DCG=45. ACE=BAC,ACE=CAD,AF=CF. ACE=BAC=15,DCG=45, ACB==75, FCG=75-15-45=15, BAD=FCG. 又AFE=CFG,AF=CF,,AFECFG(AS

27、A),EF=FG. AB=AC,AD為BC邊上的中線, CD=BC=1. DCF=75-15=60,DF=DC=. 又DG=DC=1,EF=FG=DF-DG=-1.,6.(2014江蘇蘇州,15,3分)如圖,在ABC中,AB=AC=5,BC=8.若BPC=BAC,則tanBPC= .,答案,解析過A作等腰ABC底邊BC上的高AD,垂足為D,則AD 平分BAC,且D為BC的中點,所以BD=4,根據(jù)勾股定理可求出AD=3,又因為BPC=BAC,所以BPC=BAD,所以tanBPC =tanBAD==.,7.(2014河南,11,3分)如圖,在ABC中,按以下步驟作圖:分別以點B、C為圓心,以大于B

28、C的 長為半徑作弧,兩弧相交于M、N兩點;作直線MN交AB于點D,連接CD.若CD=AC,B=25,則ACB的度數(shù)為.,答案105,解析由題意知MN垂直平分BC,CD=BD, 又CD=AC,AC=CD=BD,DCB=B=25, A=CDA=50,ACB=180-A-B=105.,8.(2017湖北武漢,15,3分)如圖,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,點D,E都在邊BC上, DAE=60.若BD=2CE,則DE的長為.,答案3-3,解析如圖,將ABD沿AD翻折得AFD,連接EF, AB=AF=AC,BD=DF,AFD=B=30, BAC=120,DAE=60,BAD+CAE=60,

29、 又BAD=FAD,FAD+CAE=60,CAE=FAE, ACEAFE(SAS),CE=EF,AFE=C=30, DFE=60. 過點E作EHDF,交DF于點H,過點A作AMBC,交BC于點M. 設CE=2x, 則BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,DH=3x, 又BC=2BM=2ABcos 30=6,DE=6-6x, 在RtDEH中,DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去). DE=6-6x=3-3.,,一題多解將ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120得ACF,連接EF,CF=BD.可證ADEAFE,DE=EF. ACD

30、=B=30,FCE=60. 過點E作EHCF,交CF于點H,設CE=2x, 則BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=x. 過點A作AMBC,交BC于點M, 則BC=2CM=2ACcos 30=22=6, FE=DE=6-6x, 在RtEFH中,FE2=FH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去). DE=6-6x=3-3.,9.(2017北京,28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是線段BC上一動點(與點B,C不重合),連接AP,延長BC至點Q,使得CQ=CP,過點Q作QHAP于點H,延長交AB于點M. (1)若PAC=,求AMQ

31、的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關系,并證明.,解析(1)ACB是等腰直角三角形, CAB=45,PAB=45-. QHAP,AMQ=90-PAB=45+. (2)線段MB與PQ之間的數(shù)量關系為PQ=MB. 證明:連接AQ,過點M作MNBQ于點N,如圖. 則MNB為等腰直角三角形,MB=MN. ACBQ,CQ=CP,AP=AQ,QAC=PAC. QAM=BAC+QAC=45+QAC=45+PAC=AMQ, QA=QM. MQN+APQ=PAC+APQ=90,,MQN=PAC,MQN=QAC, RtQACRtMQN, QC=MN,PQ=2QC=2MN=MB.,

32、解題關鍵解決本題第(2)問的關鍵是要通過添加輔助線構造全等三角形,從而找出邊與邊之間的數(shù)量關系.,10.(2015北京,20,5分)如圖,在ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,BEAC于點E. 求證:CBE=BAD.,證明AB=AC,AD是BC邊上的中線, ADBC,BAD=CAD. BEAC,BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,11.(2015福建龍巖,24,13分)如圖,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,點D以每秒1個單位長度的速度由點A向點B勻速運動,到達B點即停止運動.M,N分別是AD,CD的中點,連

33、接MN.設點D運動的時間為t. (1)判斷MN與AC的位置關系; (2)求點D由點A向點B勻速運動的過程中,線段MN所掃過區(qū)域的面積; (3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析(1)在ADC中,M是AD的中點,N是DC的中點, MNAC.(3分),(2)如圖,分別取ABC三邊中點E,F,G,并連接EG,FG. 根據(jù)題意可知線段MN掃過區(qū)域的面積就是AFGE的面積. AC=6,BC=8,AE=3,GC=4, ACB=90,SAFGE=AEGC=12, 線段MN掃過區(qū)域的面積為12.(7分),(3)解法一:依題意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3. (i)當MD=MN=3時,DMN為

34、等腰三角形,此時AD=AC=6,t=6.(9分),(ii)當MD=DN時,AD=DC, 過D作DHAC交AC于H, 則AH=AC=3, cos A==, AD=t=5.(11分),(iii)當DN=MN=3時,AC=DC.連接MC,則CMAD. cos A==,即=, AM=,AD=t=2AM=. 綜上所述,當t=5或6或時,DMN為等腰三角形.(13分) 解法二:依題意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3. (i)當MD=MN=3時,DMN為等腰三角形,此時AD=AC=6, t=6.(9分) (ii)當MD=DN時,AD=DC,DAC=ACD, ACB=90,BCD+ACD=90,B

35、+BAC=90,,B=BCD,BD=CD=AD, 在RtABC中,AB==10, t=AD=AB=5.(11分) (iii)當DN=MN=3時,AC=DC,連接MC,則CMAB. SACB=BCAC=ABMC,CM=. 在RtAMC中,AM==.t=AD=2AM=. 綜上所述,當t=5或6或時,DMN為等腰三角形.(13分),12.(2015重慶,25,12分)如圖1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.點E是BAC角平分線上一點.過點E作AE的垂線,過點A作AB的垂線,兩垂線交于點D,連接DB,點F是BD的中點.DHAC,垂足為H,連接EF,HF. (1)如圖1,若點H是AC的中點,AC

36、=2,求AB,BD的長; (2)如圖1,求證:HF=EF; (3)如圖2,連接CF,CE.猜想:CEF是否是等邊三角形.若是,請證明;若不是,請說明理由. 圖1,圖2,解析(1)點H是AC的中點,AC=2, AH=AC=.(1分) ACB=90,BAC=60,ABC=30,AB=2AC=4.(2分) DAAB,DHAC,DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2.(3分) 在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2. BD==2.(4分) (2)證明:連接AF,如圖.,F是BD的中點,DAB=90,AF=DF,FDA=FAD.(5分) DEAE,DEA=90. DHA=90,DA

37、H=30,DH=AD. AE平分BAC,CAE=BAC=30. DAE=60,ADE=30. AE=AD,AE=DH.(6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD, FDH=FAE.(7分) FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分) (3)CEF是等邊三角形.(9分) 理由如下:取AB的中點G,連接FG,CG.如圖.,F是BD的中點,FGDA,FG=DA. FGA=180-DAG=90, 又AE=AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90, 點G為AB的中點,CG=AG. 又CAB=60,GAC為等邊三角形.(10分) AC=CG,ACG=AGC=

38、60.,FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS).(11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60, CEF是等邊三角形.(12分),13.(2014浙江溫州,20,10分)如圖,在等邊三角形ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上,且DEAB,過點E作EFDE,交BC的延長線于點F. (1)求F的度數(shù); (2)若CD=2,求DF的長.,解析(1)ABC是等邊三角形, B=60. DEAB,EDC=B=60. EFDE,DEF=90. F=90-EDC=30. (2)ACB=60,EDC=60, EDC是等邊三角形. ED=DC=2.

39、DEF=90,F=30, DF=2DE=4.,14.(2014黑龍江哈爾濱,28,10分)如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點E,且ACBD,ADB=CAD+ABD,BAD=3CBD. (1)求證:ABC為等腰三角形; (2)M是線段BD上一點,BMAB=34,點F在BA的延長線上,連接FM,BFM的平分線FN交BD于點N,交AD于點G,點H為BF中點,連接MH,當GN=GD時,探究線段CD、FM、MH之間的數(shù)量關系,并證明你的結論.,解析(1)證明:如圖1,作BAP=DAE,AP交BD于P, 圖1 設CBD=,CAD=, ADB=CAD+ABD,APE=BAP+ABD, APE

40、=ADB,AP=AD,(1分) ACBD,PAE=DAE=,(2分) PAD=2,BAD=3, BAD=3CBD, 3=3,=,(3分),ACBD,ACB=90-=90-, ABC=180-BAC-ACB=90-, ACB=ABC,(4分) AB=AC, ABC為等腰三角形.(5分) (2)2MH=FM+CD.(6分) 證明:如圖2,由(1)知,AP=AD,AB=AC,BAP=CAD=, ABPACD,ABE=ACD,(7分) ACBD,GDN=90-, GN=GD, GND=GDN=90-,AGF=NGD=2, AFG=BAD-AGF=3-2=, FN平分BFM,NFM=,FMN=90,(8

41、分) H為BF中點,BF=2MH,,在FB上截取FR=FM,連接RM, 圖2 FRM=FMR=90-, ABC=90-, FRM=ABC,RMBC, CBD=RMB, CAD=CBD=, RMB=CAD.(9分) 又RBM=ACD,RMBDAC,,===,FB-FM=BR=CD. 2MH=FM+CD.(10分),考點二直角三角形,1.(2014江蘇揚州,7,3分)如圖,已知AOB=60,點P在邊OA上,OP=12,點M、N在邊OB上,PM=PN,若MN=2,則OM=() A.3B.4C.5D.6,答案C如圖,過點P作PHMN,因為PM=PN,MN=2,所以MH=MN=1,在RtPOH中,OP=

42、12, POH=60,所以OH=6,所以OM=OH-MH=6-1=5.故選C.,2.(2016寧夏,14,3分)如圖,RtAOB中,AOB=90,OA在x軸上,OB在y軸上,點A,B的坐標分別為(,0),(0,1).把RtAOB沿著AB對折得到AOB,則點O的坐標為.,答案,解析如圖,作OCOA,垂足為C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=, BAO=30,由題意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中, AC=AOcos 60=,OC=AOsin 60=.OC=AO-AC=.O.,3.(2015江西南昌,14,3分)如圖,在ABC中,A

43、B=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個動點, AOC=60,則當PAB為直角三角形時,AP的長為.,答案2或2或2(每答對1個得1分,每答錯一個扣1分,扣完為止),解析由題意知,滿足條件的點P有三個位置.如圖,APB=90,因為OA=OB=2,所以OP=OA=2,又因為AOC=60,所以POA為等邊三角形,所以AP=2. 如圖,APB=90,因為OA=OB=2,所以OP=OA=OB=2,又AOC=BOP=60,所以OBP為等邊三角形,所以OBP=60,所以OAP=30,所以AP=ABcosOAP=4=2. 如圖,ABP=90,因為BOP=AOC=60, 所以BP=OBtan 60=2.

44、 在RtABP中,AP====2. 綜上所述,AP的長為2或2或2.,,4.(2017湖南常德,14,3分)如圖,已知RtABE中A=90,B=60,BE=10,D是線段AE上一動點,過D作CD交BE于C,并使得CDE=30,則CD長度的取值范圍是.,答案0CD5,解析當點D與點E重合時,CD=0,當點D與點A重合時,A=90,B=60,E=30,CDE =E,CDB=B,CE=CD,CD=CB,CD=BE=5,0CD5.,5.(2014貴州貴陽,15,4分)如圖,在RtABC中,BAC=90,AB=AC=16 cm,AD為BC邊上的高,動點P從點A出發(fā),沿AD方向以 cm/s的速度向點D運動

45、.設ABP的面積為S1,矩形PDFE的面 積為S2,運動時間為t秒(0

46、CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如圖2,若DAECEM,點N為CM的中點.求證:ANEM.,圖1圖2,解析(1)證明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M為斜邊BD的中點, CM=BD. 又DEAB,同理,EM=BD, CM=EM.(4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100.(9分) (3)證明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等邊三角形,

47、MEF=DEF-DEM=30. 證法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,,又NM=CM=EM=AE, FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF. ==. 又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF, ANEM.(14分) 證法二:連接AM,則EAM=EMA=MEF=15,,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM=(180-30)=75. 由可知AC=AM,又N為CM的中點, ANCM,又EMCF,ANEM.(14分),思路分析(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證;(2)由直角三角形中兩銳角互余求出CBA

48、,由等腰三角形的性質(zhì)可得MEB=MBE,MCB=MBC,從而可得CME=DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由補角性質(zhì)求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM為等邊三角形,從而可得MEF=30,下面證ANEM有兩個思路:一是根據(jù)直角三角形30角所對直角邊等于斜邊的一半可得=,又點N是CM的中點,可推出=,從而可證 AFNEFM,進一步即可證明ANEM;二是連接AM,計算可得AMC=ACM,而N是CM的中點,從而ANCM,進一步即可證明ANEM.,7.(2017重慶A卷,24,10分)在ABM中,ABM=45,AMBM,垂足為M,點C是BM延長線上一點,連接AC. (1)如圖1,若AB

49、=3,BC=5,求AC的長; (2)如圖2,點D是線段AM上一點,MD=MC,點E是ABC外一點,EC=AC,連接ED并延長交BC于點F,且點F是線段BC的中點.求證:BDF=CEF.,解析(1)AMBM,點C是BM延長線上一點, AMB=AMC=90, AMB和AMC是直角三角形, ABM=45,AB=3,BM=AM=3, BC=5,CM=2, 在RtAMC中,AC===.(4分) (2)證明:ABM=45,AMBM,點C是BM延長線上一點, BM=AM,BMD=AMC=90. 在BMD和AMC中, BM=AM,BMD=AMC,MD=MC, BMDAMC,(6分) BD=AC. EC=AC,

50、BD=EC. 延長DF到點G,使FG=FD,連接CG,,點F是線段BC的中點, CF=BF. CFG=BFD,FG=FD, CFGBFD, CG=BD,G=BDF. BD=EC,CG=EC, G=E. G=BDF, BDF=CEF.(10分),8.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如圖,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB= ECD=90,D為AB邊上一點. (1)求證:ACEBCD; (2)求證:2CD2=AD2+DB2.,證明(1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90, ECD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB.(1分)

51、在ACE與BCD中,(3分) ACEBCD.(4分) (2)ACEBCD, AE=BD.(5分) EAC=BAC=45,EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2, ED2=AD2+BD2.(6分) 又ED2=EC2+CD2=2CD2,2CD2=AD2+DB2.(7分),考點一等腰三角形,三年模擬,A組 20162018年模擬基礎題組,1.(2018陽江江城模擬,3)已知等腰三角形的兩條邊長分別是7和3,則下列四個數(shù)中,第三條邊的長是() A.8B.7C.4D.3,答案B分兩種情況討論: 當7為腰長,3為底邊長時,三邊為7、7、3,能組成三角形,故第三邊的長為7; 當3為腰長,7為

52、底邊長時,三邊為7、3、3,3+3=6<7,所以不能組成三角形. 綜上,第三邊的長為7.,2.(2017深圳羅湖模擬,9)如圖,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,點M為BC的中點,MNAC于點N,則MN等于() A.B.C.D.,答案C連接AM,AB=AC,M為BC的中點, AMBC,AM===4, SAMC=MCAM=34=6, SAMC=ACMN,5MN=6,MN=,故選C.,3.(2016深圳羅湖二模,7)某等腰三角形的兩條邊長分別為3 cm和6 cm,則它的周長為() A.9 cmB.12 cm C.15 cmD.12 cm或15 cm,答案C3+3=6,該等腰三角形的邊長只能為3

53、 cm,6 cm,6 cm,周長為15 cm,故選C.,4.(2017梅州模擬,12)若等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半,則這個等腰三角形的底角為.,答案15或75,解析(1)當?shù)妊切螢殇J角三角形時,如圖,BD=AB,則頂角A為30,底角為75; (2)當?shù)妊切螢殁g角三角形時,如圖,BD=AB,則BAD=30,頂角BAC為150, 底角為15. 綜上,底角為75或15.,5.(2017清遠三模,14)如圖,在ABC中,BC=5 cm,BP、CP分別是ABC和ACB的平分線,且PDAB,PEAC,則PDE的周長是cm.,答案5,解析PDAB,ABP=DPB, BP平分ABC,ABP=D

54、BP, DBP=DPB,BD=DP.同理,PE=CE,PDE的周長等于BC=5 cm.,6.(2016揭陽二模,13)如圖,在ABC中,點D是BC上一點,BAD=80,AB=AD=DC,則C=.,答案25,解析AB=AD,B=ADB, BAD=80,ADB=50. AD=CD,DAC=C, ADB=DAC+C,C=25.,7.(2017廣州天河,24)如圖1,正方形ABCD的邊AB、AD分別在等腰直角AEF的腰AE、AF上,點C在AEF內(nèi),則有DF=BE(不必證明).將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度(0<<90) 后,連接BE、DF,如圖2,這時DF=BE還成立嗎?請說明理由.,解析D

55、F=BE成立. 理由:四邊形ABCD是正方形,AEF是等腰直角三角形, AD=AB,AF=AE,FAE=DAB=90. FAD=EAB. 在ADF和ABE中, ADFABE(SAS),DF=BE.,8.(2016中山二模,22)已知:如圖,在ABC中,ADBC,垂足為點D,BEAC,垂足為點E,M為AB邊的中點,連接ME、MD、ED. (1)求證:MED為等腰三角形; (2)求證:EMD=2DAC.,證明(1)ADBC,ADB為直角三角形, M為AB的中點,MD=AB, 同理,ME=AB,MD=ME, MED為等腰三角形. (2)M為AB的中點,MA=AB, MD=AB, MA=MD, BMD

56、=2MAD, 同理,BMD+EDM=2(MAD+DAC), EMD=2DAC.,考點二直角三角形,1.(2017珠海模擬,7)如果將長為6 cm,寬為5 cm的長方形紙片折疊一次,那么這條折痕的長不可能是() A.8 cmB.5 cmC.5.5 cmD.1 cm,答案A長方形的對角線長為= cm<8 cm,而折痕的長小于對角線的長,折痕 不可能是8 cm,故選A.,2.(2017汕頭模擬,7)如圖,ABC的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上,BDAC于點D,則CD的長為() A.B.C.D.,答案C AC==,SABC=22=2, BDAC,SABC=ACBD, BD=2,BD=,C

57、D2+BD2=BC2, CD2+=4,CD=,故選C.,3.(2016湛江三模,5)以下各組數(shù)據(jù)為三角形的三邊長,能構成直角三角形的是() A.5 cm,6 cm,7 cmB.2 cm,3 cm,4 cm C.2 cm,2 cm,1 cmD.5 cm,12 cm,13 cm,答案D52+62=6172,22+32=1342,22+12=522, 52+122=169=132,能構成直角三角形的是D,故選D.,4.(2018東莞五校一模,16)如圖,把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開,折痕為MN,再過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,折痕為BE.若AB的長為2,則FM的長為

58、.,答案,解析由翻折的性質(zhì)可知,BM=MC=1,AB=BF=2. 在RtBFM中,由勾股定理可知,MF==.,5.(2016韶關二模,13)若a,b,c表示ABC的三邊,且滿足+|a-12|+(b-13)2=0,則此三角形的形 狀為.,答案直角三角形,解析0,|a-12|0,(b-13)20, 且+|a-12|+(b-13)2=0, =0,|a-12|=0,(b-13)2=0, c=5,a=12,b=13. a2+c2=b2,此三角形為直角三角形.,6.(2018珠海一模,22)如圖,在RtABC中,ACB=90,M是斜邊AB的中點,AM=AN,N+CAN=180.求證:MN=AC.,證明AC

59、B=90,M是斜邊AB的中點, CM=AM,MCA=MAC, AM=AN,AMN=ANM, N+CAN=180,ACMN, AMN=MAC,AMC=NAM, ANMC,又ACMN, 四邊形ACMN是平行四邊形, MN=AC.,一、選擇題(每小題3分,共15分),B組20162018年模擬提升題組 (時間:30分鐘分值:40分),1.(2017韶關模擬,9)如圖,DAC和EBC均是等邊三角形,AE與CD交于點M,BD與CE交于點N,有如下結論:ACEDCB;CM=CN;AC=DN.其中,正確結論的個數(shù)是() A.3B.2C.1D.0,答案BDAC和EBC均是等邊三角形, ACD=BCE=60,A

60、C=DC,BC=EC, ACE=DCB,ACEDCB. 由ACEDCB得CAM=CDN, 又AC=DC,ACM=DCE=60, ACMDCN,CM=CN,AM=DN, MAC60,ACAM,ACDN, 綜上,正確結論的個數(shù)是2.故選B.,2.(2017汕尾二模,10)如圖,在ABC中,B=C=36,AB的垂直平分線交BC于點D,交AB于點H,AC的垂直平分線交BC于點E,交AC于點G,連接AD,AE.則下列結論錯誤的是() A.=B.AD,AE將BAC三等分 C.ABEACDD.SADH=SCEG,答案AB=C=36,AB=AC,BAC=108, DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,DB=DA

61、,EA=EC, B=DAB=C=CAE=36, BDABAC,=. ADC=B+BAD=72,DAC=BAC-BAD=72, ADC=DAC,CD=CA=BA,BD=BC-CD=BC-BA, 則==,易求得==,故A錯誤; BAC=108,DAB=CAE=36, DAE=BAC-DAB-CAE=36, DAB=DAE=CAE=36, AD,AE將BAC三等分,故B正確; BAE=BAD+DAE=72, CAD=CAE+DAE=72, BAE=CAD,又B=C,AB=AC,ABEACD,故C正確;,由ABEACD,可得SABE=SACD, 即SBAD+SADE=SCAE+SADE, SBAD=S

62、CAE,又DH垂直平分AB,EG垂直平分AC, SADH=SBAD,SCEG=SCAE. SADH=SCEG,故D正確.故選A.,3.(2016陸豐二模,9)如圖,在ABC中,C=90,AC=2,點D在BC上,ADC=2B,AD=,則BC 的長為() A.-1B.+1C.-1D.+1,答案DC=90,AC=2,AD=,DC=1,ADC=2B,ADC=B+BAD,B= BAD,BD=AD=, BC=BD+DC=+1,故選D.,思路分析由勾股定理可得DC的長,易證BD=AD=,從而可知BC的長.,4.(2016茂名二模,9)如圖,在ABC中,AB=AC,A=30,DE垂直平分AC,則BCD的度數(shù)為

63、 () A.80B.75C.65D.45,答案DDE垂直平分AC,AD=CD,DCE=A=30,AB=AC,ACB=B=(180 -30)=75, BCD=75-30=45,故選D.,5.(2016湛江二模,10)如圖,從等邊ABC內(nèi)一點P向三邊作垂線,PQ=6,PR=8,PS=10,則ABC的面積是() A.190B.192C.194D.196,答案B連接AP、BP、CP,則SABC=SAPB+SBPC+SAPC=ABPQ+BCPS+ACPR,AB=BC =AC, SABC=BC(PQ+PS+PR)=12BC, 設ABC的高為x,則BCx=12BC,x=24, ABsin B=x,AB=24

64、sin 60=16, BC=16,SABC=1216=192,故選B.,思路分析利用三角形的面積相等,求出ABC的高,然后求ABC的邊長,進而求出ABC的面積.,解題關鍵求出ABC的邊長和高.,二、填空題(每小題4分,共18分),6.(2017湛江模擬,15)如圖1,分別以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形,面積分別為S1、S2、S3;如圖2,分別以直角三角形的三個頂點為圓心,三邊長為半徑向外作圓心角都相等的扇形,面積分別為S4、S5、S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,則S3+S4=.,答案54,解析設面積為S1、S2、S3的三個等邊三角形的邊長分別為a1、a2、a3

65、,面積為S4、S5、S6的扇形的半徑分別為r4、r5、r6,每個扇形的圓心角為x. S1=,S2=,S3=,且+=, S1+S3=S2,S3=S2-S1=45-16=29, S4=,S5=,S6=,且+=, S5+S6=S4, S4=S5+S6=11+14=25, S3+S4=29+25=54.,7.(2016佛山二模,15)如圖,A=15,C=90,DE垂直平分AB交AC于E,若BC=4 cm,則AC=.,答案(8+4)cm,解析DE垂直平分AB,交AC于E,AE=BE, EBD=A=15,BEC=30,C=90, BE=2BC=8 cm,EC==4=4 cm, AC=AE+EC=(8+4)

66、cm.,審題技巧由A=15,C=90,聯(lián)想到含30角的直角三角形.,三、解答題(共17分),8.(2018陽江江城模擬,25)已知:把RtABC和RtDEF按如圖1擺放(點C與點E重合),點B,C(E),F在同一條直線上,ACB=EDF=90,DEF=45,AC=8 cm,BC=6 cm,EF=9 cm.如圖2,DEF從圖1的位置出發(fā),以1 cm/s的速度沿CB向ABC勻速移動,在DEF移動的同時,點P從ABC的頂點B出發(fā),以2 cm/s的速度沿BA向點A勻速移動,當DEF的頂點D移動到AC邊上時,DEF停止移動,點P也隨之停止移動,DE與AC交于點Q,連接PQ,設移動時間為t(s)(0