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1、第四章 圖形的認識 4.3 等腰三角形與直角三角形,中考數(shù)學 (福建專用),1.(2018福建,5,4分)如圖,等邊三角形ABC中,ADBC,垂足為D,點E在線段AD上,EBC=45,則ACE等于() A.15B.30C.45D.60,A組 2014-2018年福建中考題組,五年中考,答案A由等邊三角形ABC中,ADBC,垂足為點D,可得ACB=60,且點D是BC的中點,所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根據(jù)等邊對等角, 得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,答案C過A作AEBC于點E,AB=AC, EC=BE=BC=4,AE==3, D是線段BC上的動點

2、(不含端點B、C), 3AD<5,AD=3或4, 線段AD長為正整數(shù),點D的個數(shù)共有3個.,3.(2014福州,9,4分)如圖,在正方形ABCD的外側作等邊三角形ADE,AC,BE相交于點F,則BFC為() A.45B.55C.60D.75,答案C由已知得AB=AE,BAE=150,ABF=15,BFC=ABF+BAF=15+45=60.,評析本題考查正方形、等邊三角形、等腰三角形的性質,屬中等難度題.,4.(2018福建,13,4分)如圖,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中點,則CD=.,答案3,解析依題意可知CD是直角三角形ABC斜邊上的中線,由“直角三角形斜邊上的中線等于

3、斜邊的一半”可得CD=AB=3.,5.(2018福建,15,4分)把兩個同樣大小的含45角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A,且另三個銳角頂點B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD=.,答案-1,解析由題意知ABC,ADE均為等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=,由勾股定理得BC =AD=2.過A作AFBC于F,則FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD=,故CD=FD-FC= -1.,6.(2016莆田,16,4分)魏朝時期,劉徽利用下圖通過“以盈補虛,出入相補”的方法,即“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類”證明

4、了勾股定理.若圖中BF=1,CF=2,則AE的長為.,答案3,解析由已知得四邊形ABCD是正方形,BF=1,CF=2, AD=AB=DC=BC=BF+CF=3.在RtABF中,AF===,BCAD, EFCEAD,=,即=,解得AE=3AF=3.,B組20142018年全國中考題組 考點一等腰三角形,1.(2018河北,8,3分)已知:如圖,點P在線段AB外,且PA=PB.求證:點P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結論時,需添加輔助線,則作法不正確的是() A.作APB的平分線PC交AB于點C B.過點P作PCAB于點C且AC=BC C.取AB中點C,連接PC D.過點P作PCAB,垂足為C

5、,答案B無論作APB的平分線PC交AB于點C,還是取AB中點C,連接PC或過點P作PCAB,垂足為C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結論,選項A,C,D的作法正確.故選B.,2.(2017內蒙古包頭,6,3分)若等腰三角形的周長為10 cm,其中一邊長為2 cm,則該等腰三角形的底邊長為() A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm,答案A當腰長為2 cm時,底邊長為6 cm,但是2+2=4<6,即兩邊之和小于第三邊,不合題意;當?shù)走呴L為2 cm時,腰長為4 cm,符合題意,故選A.,3.(2016湖北武漢,10,3分)平面直角坐標系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐標軸上取

6、點C,使ABC為等腰三角形,則滿足條件的點C的個數(shù)是() A.5B.6C.7D.8,答案A如圖,當AB=AC時,以點A為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標軸有兩個交點(點B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中點C0與A、B兩點共線,不符合題意;當AB=BC時,以點B為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標軸有兩個交點,均符合題意;當AC=BC時,作AB的垂直平分線,與坐標軸有兩個交點,均符合題意.所以滿足條件的點C有5個,故選A.,4.(2015陜西,6,3分)如圖,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平分線.若在邊AB上截取BE=BC,連接DE,則圖中等腰三角形共有() A.2個B

7、.3個C.4個D.5個,答案D依題意可知,題圖中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB為等腰三角形,則共有5個等腰三角形.故選D.,5.(2018吉林,11,3分)如圖,在平面直角坐標系中,A(4,0),B(0,3),以點A為圓心,AB長為半徑畫弧,交x軸的負半軸于點C,則點C坐標為.,答案(-1,0),解析A(4,0),B(0,3),AB==5,AC=AB,OC=AC-AO=AB-AO=5-4=1,C(-1,0).,6.(2018天津,17,3分)如圖,在邊長為4的等邊ABC中,D,E分別為AB,BC的中點,EFAC于點F,G為EF的中點,連接DG,則DG的長為.,答案,解析連接DE,在等

8、邊ABC中, D、E分別是AB、BC的中點, DEAC,DE=EC=AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF=. DEG=180-60-30=90. G是EF的中點,EG=. 在RtDEG中,DG===.,疑難突破本題主要依據(jù)等邊三角形的性質,勾股定理以及三角形中位線的性質定理求線段DG的長,DG與圖中的線段無直接的關系,所以應根據(jù)條件連接DE,構造直角三角形,運用勾股定理求出DG的長.,思路分析連接DE,根據(jù)題意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度數(shù),判斷出DEG是直角三角形,再根據(jù)勾股定理即可求解DG的長.,7.(2018遼寧沈陽,16,3分)如圖

9、,ABC是等邊三角形,AB=,點D是邊BC上一點,點H是線段AD 上一點,連接BH、CH,當BHD=60,AHC=90時,DH=.,答案,解析延長AD至點E,使得HE=BH,連接BE、CE, BHD=60,BHE是等邊三角形,BH=BE=HE,BEH=60, ABC是等邊三角形,AB=BC,ABC=60,ABH=CBE,ABHCBE,BEC=BHA=120,HEC=60, CHAD,CHE=90,設BH=x(x0),則HE=x,CH=x, 過點B作BGHE于G,則BG=x,EG=,BGD=CHD=90,又BDG=CDH,BDG CDH,===, BC=,CD= ,又DH=GH=HE=,由勾股定

10、理得,DH2+CH2=CD2,即+(x)2 =,解得x=1, DH=.,疑難突破此類題型中,可根據(jù)等邊三角形、60這些條件,通過補全小等邊三角形,構造全等三角形,從而實現(xiàn)線段的轉化.,8.(2016湖南長沙,17,3分)如圖,ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線DE交AB于點D,交邊AC于點E,則BCE的周長為.,答案13,解析DE垂直平分AB,AE=BE, BCE的周長為BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.,評析本題考查了線段垂直平分線的性質定理,即線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.,9.(2014內蒙古呼和浩特,13,3分)等腰三角形一腰

11、上的高與另一腰的夾角為36,則該等腰三角形的底角的度數(shù)為.,答案63或27,解析在三角形ABC中,設AB=AC,BDAC于D. 若三角形是銳角三角形,則A=90-36=54, 此時,底角=(180-54)2=63; 若三角形是鈍角三角形,則BAC=36+90=126, 此時,底角=(180-126)2=27. 綜上,該等腰三角形底角的度數(shù)是63或27.,評析本題考查等腰三角形的性質和三角形內角和定理,屬容易題.,10.(2017北京,19,5分)如圖,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于點D. 求證:AD=BC.,證明AB=AC,A=36, ABC=C=72. BD平分AB

12、C, ABD=36,ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72, BDC=C, BD=BC,AD=BC.,11.(2016寧夏,21,6分)在等邊ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上,若CD=2,過點D作DEAB,過點E作EFDE,交BC的延長線于點F.求EF的長.,解析ABC為等邊三角形,A=B=ACB=60, DEAB,EDF=B=60,DEC=A=60, CDE為等邊三角形,DE=CD=2.(4分) EFDE,DEF=90, 在RtDEF中,EF=DEtan 60=2.(6分),12.(2015重慶,25,12分)如圖1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.點E是BAC角

13、平分線上一點.過點E作AE的垂線,過點A作AB的垂線,兩垂線交于點D,連接DB,點F是BD的中點.DHAC,垂足為H,連接EF,HF. (1)如圖1,若點H是AC的中點,AC=2,求AB,BD的長; (2)如圖1,求證:HF=EF; (3)如圖2,連接CF,CE.猜想:CEF是不是等邊三角形?若是,請證明;若不是,請說明理由. 圖1,圖2,解析(1)點H是AC的中點,AC=2, AH=AC=.(1分) ACB=90,BAC=60,ABC=30, AB=2AC=4.(2分) DAAB,DHAC,DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2.(3分) 在RtADB中,DAB=90,

14、BD2=AD2+AB2. BD==2.(4分) (2)證明:連接AF,如圖.,F是BD的中點,DAB=90,AF=DF, FDA=FAD.(5分) DEAE,DEA=90. DHA=90,DAH=30, DH=AD. AE平分BAC,CAE=BAC=30. DAE=60,ADE=30. AE=AD,AE=DH.(6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD. FDH=FAE.(7分) FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分) (3)CEF是等邊三角形.(9分) 理由如下:取AB的中點G,連接FG,CG.如圖.,F是BD的中點,FGDA,FG=DA. FGA

15、=180-DAG=90, 又AE=AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90, 點G為AB的中點, CG=AG. 又CAB=60,,GAC為等邊三角形.(10分) AC=CG,ACG=AGC=60. FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS).(11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60. CEF是等邊三角形.(12分),答案A由題意得ABC與ABC全等且均為等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3, AB=3,在ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC==3.,答案BPAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+

16、ABP=90,P=90.設AB的中點為O,則P在以AB為直徑的圓上.當點O,P,C三點共線時,線段CP最短,OB=AB=3,BC=4, OC==5,又OP=AB=3,線段CP長的最小值為5-3=2,故選B.,3.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB=,AC=5,若BC邊上的高等于3,則BC邊的長為.,答案1或9,解析分兩種情況討論: BC邊上的高在ABC內時,如圖,過A作ADBC于點D. 在RtABD中,AB=,AD=3,BD==5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD==4.BC=BD+CD=9. BC邊上的高位于ABC外時,如圖,同可求得BD=5,CD=4, BC=1. 綜上,

17、BC的長為1或9.,思路分析根據(jù)題意畫圖,要考慮全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易錯警示本題容易只考慮BC邊上的高在ABC內的情況而導致漏解.,4.(2018河南,15,3分)如圖,MAN=90,點C在邊AM上,AC=4,點B為邊AN上一動點,連接BC,ABC與ABC關于BC所在直線對稱.點D,E分別為AC,BC的中點,連接DE并延長交AB所在直線于點F,連接AE.當AEF為直角三角形時,AB的長為.,答案4或4,解析(1)當點A在直線DE下方時,如圖1,CAF=90,EAFCAF,AEF為鈍角三角形,不符合;(2)當點A在直線DE上方時,如圖2.當AFE=90時, DEAB,EDA=9

18、0,ABAC.由對稱知四邊形ABAC為正方形,AB=AC=4;當點A在直線DE上方時,如圖3.當AEF=90時,AEAC,所以AEC=ACE=ACE, AC=AE.AE=EC,ACE為等邊三角形,ACB=ACB=60,在RtACB中,AB=ACtan 60=4;當點A在直線DE上方時,EAF

19、AF<90,可以排除.,方法總結解對稱(折疊)型問題,當對稱軸過定點時,一般要找出對稱中的定長線段,以定點為圓心,定長為半徑作輔助圓來確定對稱點的軌跡是較為有效的方法.再根據(jù)題目中所要求的條件,結合全等、相似或勾股定理等計算得出結果.,5.(2015江西南昌,14,3分)如圖,在ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個動點,AOC=60,則當PAB為直角三角形時,AP的長為.,答案2或2或2,解析由題意知,滿足條件的點P有三個位置.如圖,APB=90,因為OA=OB=2,所以OP=OA=2,又因為AOC=60,所以POA為等邊三角形,所以AP=2. 如圖,APB=90,因為O

20、A=OB=2,所以OP=OA=OB=2,又AOC=BOP=60,所以OBP為等邊三角形,所以OBP=60,所以OAP=30,所以AP=ABcosOAP=4=2. 如圖,ABP=90,因為BOP=AOC=60, 所以BP=OBtan 60=2. 在RtABP中,AP====2. 綜上所述,AP的長為2或2或2.,,評析本題是以等腰三角形中的動點為背景的分類討論型問題,考查了含特殊角的直角三角形的邊角關系,勾股定理等知識,本題易漏掉某種情況,屬易錯題.,5.(2014湖北武漢,16,3分)如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,則BD的長為.,答案,解析作ADA

21、D,且使AD=AD,連接CD,DD,如圖. 由已知條件可得BAC+CAD=DAD+CAD,即BAD=CAD. 在BAD與CAD中, BADCAD(SAS), BD=CD.又DAD=90,在RtDAD中,由勾股定理得DD= ==4,易知 DDA+ADC=90,在RtCDD中,由勾股定理得CD===,BD= CD=.,評析本題考查了等腰直角三角形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質,屬難題.,6.(2017北京,28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是線段BC上一動點(與點B,C不重合),連接AP,延長BC至點Q,使得CQ=CP,過點Q作QHAP于點H,延長交AB于點M. (1)若P

22、AC=,求AMQ的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關系,并證明.,解題關鍵解決本題第(2)問的關鍵是要通過添加輔助線構造全等三角形,從而找出邊與邊之間的數(shù)量關系.,7.(2016內蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如圖,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=ECD=90,D為AB邊上一點. (1)求證:ACEBCD; (2)求證:2CD2=AD2+DB2.,證明(1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90,ECD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB.(1分) 在ACE與BCD中,(3分) ACEBCD.(4分

23、) (2)ACEBCD, AE=BD.(5分) EAC=BAC=45,EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2, ED2=AD2+BD2.(6分) 又ED2=EC2+CD2=2CD2, 2CD2=AD2+DB2.(7分),C組教師專用題組 考點一等腰三角形,1.(2018湖北黃岡,4,3分)如圖,在ABC中,直線DE是AC的垂直平分線,且分別交BC,AC于點D和E,B=60,C=25,則BAD為() A.50B.70C.75D.80,答案B因為直線DE是AC的垂直平分線,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+25)=130.因為ADC=B+BAD,所以

24、BAD=ADC-B=130-60=70,故選B.,2.(2017湖北武漢,10,3分)如圖,在RtABC中,C=90,以ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個頂點在ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為( ) A.4B.5C.6D.7,答案D如圖1,以B為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于點D,則BCD就是等腰三角形; 如圖2,以A為圓心,AC長為半徑畫弧,交AB于點E,則ACE就是等腰三角形; 如圖3,以C為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于M,交AC于點F,則BCM、BCF是等腰三角形; 如圖4,作AC的垂直平分線交AB于點H,則ACH就是等腰三角形; 如圖5,作AB

25、的垂直平分線交AC于點G,則AGB就是等腰三角形; 如圖6,作BC的垂直平分線交AB于I,則BCI就是等腰三角形. 故選D.,3.(2015廣西南寧,7,3分)如圖,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,則C的度數(shù)為() A.35B.40 C.45D.50,答案AAB=AD,ADB=B=70, AD=DC,C=DAC. ADB是ADC的外角, C=ADB=35,故選A.,4.(2015江蘇蘇州,7,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,D為BC中點,BAD=35,則C的度數(shù)為 () A.35B.45 C.55D.60,答案CAB=AC,D為BC中點, CAD=BAD=35,ADDC, 在ADC

26、中,C=90-DAC=55,故選C.,5.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一個底角為50,則它的頂角的度數(shù)為.,答案80,解析等腰三角形的兩底角相等,180-502=80, 頂角為80.,6.(2016北京,16,3分)下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程. 已知:直線l和l外一點P. 求作:直線l的垂線,使它經(jīng)過點P. 作法:如圖, (1)在直線l上任取兩點A,B; (2)分別以點A,B為圓心,AP,BP長為半徑作弧,兩弧相交于點Q; (3)作直線PQ. 所以直線PQ就是所求作的垂線.,請回答:該作圖的依據(jù)是.,答案三邊分別相等的兩個三角形全等;全等三角形的

27、對應角相等;等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合;兩點確定一條直線,解析連接PA、QA、PB、QB.由題意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB, PABQAB(三邊分別相等的兩個三角形全等), PAB=QAB(全等三角形的對應角相等). 由兩點確定一條直線作直線PQ. PA=QA, ABPQ(等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合).,7.(2015北京,16,3分)閱讀下面材料: 在數(shù)學課上,老師提出如下問題: 尺規(guī)作圖:作一條線段的垂直平分線. 已知:線段AB. 求作:線段AB的垂直平分線. 小蕓的作法如下:,如圖, (1)分別以點A和點B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于

28、C,D兩點; (2)作直線CD. 所以直線CD就是所求作的垂直平分線. 老師說:“小蕓的作法正確.” 請回答:小蕓的作圖依據(jù)是.,答案到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上,兩點確定一條直線,解析由小蕓的作法可知,AC=BC,AD=BD,所以由“到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”可知點C、D在線段AB的垂直平分線上,再由“兩點確定一條直線”可知直線CD就是所求作的垂直平分線.,8.(2014山西,16,3分)如圖,在ABC中,BAC=30,AB=AC,AD是BC邊上的中線,ACE= BAC,CE交AB于點E,交AD于點F,若BC=2,則EF的長為.,答案-1,AC

29、E=BAC,ACE=CAD, AF=CF. ACE=BAC=15,DCG=45, ACB==75, FCG=75-15-45=15, BAD=FCG. 又AFE=CFG,AF=CF, AFECFG(ASA), EF=FG. AB=AC,AD為BC邊上的中線, CD=BC=1. DCF=75-15=60,DF=DC=. 又DG=DC=1,EF=FG=DF-DG=-1.,9.(2015廣東廣州,15,3分)如圖,ABC中,DE是BC的垂直平分線,DE交AC于點E,連接BE,若BE=9,BC=12,則cos C=.,答案,解析因為DE是BC的垂直平分線,所以CE=BE=9,CD=BD=6,在RtCD

30、E中,cos C==.,10.(2017內蒙古呼和浩特,18,6分)如圖,等腰三角形ABC中,BD,CE分別是兩腰上的中線. (1)求證:BD=CE; (2)設BD與CE相交于點O,點M,N分別為線段BO和CO的中點.當ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時,判斷四邊形DEMN的形狀,無需說明理由.,解析(1)證明:AB,AC是等腰ABC的兩腰, AB=AC, BD,CE是中線,AD=AC,AE=AB, AD=AE, 又A=A,ABDACE, BD=CE. (2)四邊形DEMN為正方形. 提示:由MN、DE分別是OBC、ABC的中位線可得四邊形DEMN是平行四邊形,由(1)知BD=CE,故可

31、證OE=OD,從而四邊形DEMN是矩形,再由ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等可知四邊形DEMN為正方形.,11.(2016安徽,23,14分)如圖1,A,B分別在射線OM,ON上,且MON為鈍角.現(xiàn)以線段OA,OB為斜邊向MON的外側作等腰直角三角形,分別是OAP,OBQ,點C,D,E分別是OA,OB,AB的中點. (1)求證:PCEEDQ; (2)延長PC,QD交于點R. 如圖2,若MON=150,求證:ABR為等邊三角形; 如圖3,若ARBPEQ,求MON的大小和的值.,解析(1)證明:點C,D,E分別是OA,OB,AB的中點, DEOC,CEOD.四邊形ODEC為平行四邊形. OC

32、E=ODE. 又OAP,OBQ都是等腰直角三角形, PCO=QDO=90. PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ. 又PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ, PCEEDQ.(5分) (2)證明:如圖,連接OR.,PR與QR分別為線段OA與OB的中垂線, AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD. 在四邊形OCRD中,OCR=ODR=90,MON=150,CRD=30. ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60. ABR為等邊三角形.(9分),12.(2015北京,20,5分)如圖,在ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,BEAC于點E. 求證

33、:CBE=BAD.,證明AB=AC,AD是BC邊上的中線, ADBC,BAD=CAD. BEAC, BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,13.(2014浙江寧波,25,12分)課本的作業(yè)題中有這樣一道題:把一張頂角為36的等腰三角形紙片剪兩刀,分成3張小紙片,使每張小紙片都是等腰三角形.你能辦到嗎?請畫示意圖說明剪法. 我們有多種剪法,圖1是其中的一種方法: 定義:如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形,我們把這叫做這個三角形 的三分線. (1)請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45的等腰三角形的三分線,并標注每個等腰三角形

34、頂角的度數(shù);(若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形,則視為同一種) (2)ABC中,B=30,AD和DE是ABC的三分線,點D在BC邊上,點E在AC邊上,且AD=BD,DE=,CE.設C=x,試畫出示意圖,并求出x所有可能的值; (3)如圖3,ABC中,AC=2,BC=3,C=2B,請畫出ABC的三分線,并求出三分線的長.,解析(1)畫圖如下(任畫其中兩個即可). (2)如圖,,當AD=AE時,2x+x=30+30,x=20. 當AD=DE時,30+30+2x+x=180,x=40. 當AE=DE時,不存在.(不寫不扣分) C的度數(shù)是20或40.(結論不寫不扣分) (3)如圖,CD,AE就

35、是所求的三分線, 設B=,那么DCB=DCA=EAC=,ADE=AED=2,設AE=AD=a,BD=CD=y, AECBDC,ay=23.,又ACDABC,2a=(a+y)2, 解得a=,y=, 即三分線長分別是和.,評析本題考查了學生的理解能力及動手、創(chuàng)新能力,知識方面重點考查三角形內角、外角間的關系及等腰三角形知識,是一道綜合性比較強的題目.,考點二直角三角形,1.(2018陜西,6,3分)如圖,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足為D,ABC的平分線交AD于點E,則AE的長為() A.2B.3C. D.,答案DAC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=

36、4,過點E作EFAB于點F,BE是 ABC的平分線,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又 AD=4,DE=EF,AE=AD= ,故選D.,思路分析首先利用AC的長及C的正弦求出AD的長,進而通過角平分線的性質及直角三角形中30度角的性質確定DE和AE的數(shù)量關系,最后求出AE的長.,2.(2018黑龍江齊齊哈爾,16,3分)四邊形ABCD中,BD是對角線,ABC=90,tanABD=,AB=20, BC=10,AD=13,則線段CD=.,答案或17,解析如圖1,作AE直線BD于點E,CF直線BD于點F, 圖1 ABD+DBC=90, BCF+DBC=9

37、0, ABD=BCF, tanABD=,tanBCF=. 在RtAEB中,設AE=3x,BE=4x,則(3x)2+(4x)2=202, 解得x=4, AE=12,BE=16, 在RtBCF中,設BF=3y,CF=4y,,則(3y)2+(4y)2=102, 解得y=2, BF=6,CF=8, 在RtADE中,DE==5, BD=BE-DE=11,FD=BD-BF=5, 在RtDCF中,CD==. 如圖2,同理,BE=16,ED=5,BF=6,CF=8.BD=BE+ED=21,FD=BD-BF=15, 圖2 在RtDCF中,CD==17. 綜上所述,線段CD的長為或17.,解題關鍵考慮問題要全面,

38、正確畫出圖形,通過作垂線,構造直角三角形,然后利用勾股定理求出線段BD、FD的長度是關鍵.,3.(2017內蒙古包頭,12,3分)如圖,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D,AF平分CAB,交CD于點E,交CB于點F.若AC=3,AB=5,則CE的長為() A.B. C.D.,答案A過F作FGAB于點G, AF平分CAB,ACB=90,FC=FG. 易證ACFAGF,AC=AG. 5+6=90,B+6=90,5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 在RtBFG中,設CF=x(x0), 則FG=x,BF=4-x.BG=AB-A

39、G=5-3=2. 由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=, CE=CF=.選A.,4.(2015北京,6,3分)如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點M與點C被湖隔開,若測得AM的長為1.2 km,則M,C兩點間的距離為() A.0.5 kmB.0.6 kmC.0.9 kmD.1.2 km,答案DACBC,M是AB的中點,MC=AB=AM=1.2 ke2m.故選D.,5.(2017山西,15,3分)一副三角板按如圖方式擺放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60,CBD=45.E為AB的中點,過點E作EFCD于點F.若AD=4 cm,則EF的長為c

40、m.,答案(+),解析如圖,連接DE,過點E作EMBD于點M,設EF交BD于點N,AD=4 cm,A=60,AB=8 cm,DB=4 cm,點E為AB的中點,EMBD,DE=AB=4 cm,EM=AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性質可知ENM=FND=45,在RtENM中,EN=EM=2 cm,MN=EM=2 cm, DN=DM-MN=DB-MN=(2-2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm,EF=EN+FN=2 +-=(+)cm.,一題多解過點A作AGCD的延長線于點G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG==2 cm,ABD=30,BD=AD=4 cm,CB

41、D=45,BC==2 cm,AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中點,點F為CG的中點,EF=(AG+BC)=(2+2)=(+)cm.,6.(2016寧夏,14,3分)如圖,RtAOB中,AOB=90,OA在x軸上,OB在y軸上,點A,B的坐標分別為(,0),(0,1).把RtAOB沿著AB對折得到AOB,則點O的坐標為.,答案,解析如圖,作OCOA,垂足為C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=, BAO=30,由題意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中, AC=AOcos 60=,OC=AOsin 60=.OC=A

42、O-AC=.O.,7.(2016黑龍江哈爾濱,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,點P為邊BC的三等分點,連接AP,則AP的長為.,答案或,解析當CP=1時,根據(jù)勾股定理得AP==;當CP=2時,根據(jù)勾股定理得AP= ==,故AP的長為或.,8.(2015上海,18,4分)已知在ABC中,AB=AC=8,BAC=30.將ABC繞點A旋轉,使點B落在原ABC的點C處,此時點C落在點D處.延長線段AD,交原ABC的邊BC的延長線于點E,那么線段DE的長等于.,答案4-4,解析如圖,作BFAE交AE于點F,在RtABF中,BAF=60,AB=8,可得AF=4,BF=4,所以

43、 DF=AD-AF=8-4=4. 易證BFE是等腰直角三角形,所以EF=BF=4,所以DE=EF-DF=4-4.,評析本題考查解含特殊角的直角三角形,畫出圖形,通過作出適當?shù)妮o助線,把一般的三角形化為直角三角形是關鍵,屬于中等難度題.,9.(2016廣東,21,7分)如圖,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD為較短的直角邊向CDB的同側作RtDEC,滿足E=30,DCE=90,再用同樣的方法作RtFGC,FCG=90,繼續(xù)用同樣的方法作RtHIC,HCI=90.若AC=a,求CI的長.,解析RtABC中,B=30,ACB=90, A=60.(1分) CDAB,ADC

44、=90,ACD=30.(2分) AC=a,RtADC中,AD=AC=,CD=AD=a.(4分) 同理可得,RtDFC中,DF=CD=a,CF=DF=a.(5分) RtFHC中,FH=CF=a,CH=FH=a,(6分) RtCHI中,CI=CH=a.(7分),評析本題考查直角三角形的基本性質與運算.,解析(1)證明:在ABC中,ABC=90,M為AC的中點,BM=AC. N為CD的中點, MN=AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=

45、90. AC=AD=2,BM=MN=1. 在RtBMN中,BN==.,又S五邊形ACBED=, . a2+b2=c2.,證明連接BD,過點B作DE邊上的高BF,則BF=b-a, S五邊形ACBED=SACB+SABE+SADE =ab+b2+ab, 又S五邊形ACBED=SACB+SABD+SBDE =ab+c2+a(b-a), ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a), a2+b2=c2.,評析本題主要考查勾股定理的證明,表示出五邊形面積是解題關鍵.,三年模擬,答案B由作圖可知MN是AC的垂直平分線, DA=DC,AE=EC,故A正確, ADE=CDE=DCB,故C正確, DA=DC,A=

46、DCA,故D正確.故選B.,答案B根據(jù)勾股定理的逆定理知,ABC是直角三角形,A正確;F是BC的中點,所以AF是ABC的中線,而不是中位線,B錯誤;點E,F分別是AB,BC的中點,所以EF是ABC的中位線,C正確;AB=5,BC=3,AC=4,點E,F分別是AB,BC的中點,BE=AB=2.5,BF=BC=1.5,EF=AC=2, BEF的周長為6,D正確.,二、填空題(每小題3分,共9分) 3.(2018莆田質檢,14)如圖,ABC中,AB=3,AC=4,點F在AC上,AE平分BAC,AEBF于 點E.若點D為BC的中點,則DE的長為.,答案,解析由AE平分BAC,AEBF可證得ABEAFE

47、, BE=EF,AF=AB=3.AC=4,CF=.點D為BC的中點,DE為BCF的中位線, DE=CF=.,4.(2017廈門質檢,14)如圖,在RtACB中,C=90,BC=4,DEF是等腰直角三角形,DEF=90,A,E分別是DE,AC的中點,點F在AB邊上,則AB=.,答案2,解析DEF是等腰直角三角形,DEF=90,C=90, EFBC,又BC=4,E為AC中點, EF=BC=2,AB=2AF,DE=EF=2,A為DE中點,AE=1,由勾股定理得AF==, 故AB=2AF=2.,5.(2016龍巖質檢,15)如圖,ABC是等邊三角形,BD平分ABC,點E在BC的延長線上,且CE=1,E

48、=30,則BC=.,答案2,解析ABC是等邊三角形,ABC=ACB=60,BA=BC,BD平分ABC,DBC=E=30,BDAC,BDC=90,BC=2DC, ACB=E+CDE,CDE=E=30,CD=CE=1, BC=2CD=2.,三、解答題(共40分),6.(2018漳州質檢,18)如圖,在ABC中,A=80,B=40. (1)求作線段BC的垂直平分線DE,垂足為E,交AB于點D; (要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法) (2)在(1)的條件下,連接CD,求證:AC=CD.,解析(1)如圖,直線DE即為所求. (2)證法一:DE垂直平分BC,BD=CD, 1=B=40.2=B+1=8

49、0. A=80,2=A.AC=CD. 證法二:DE垂直平分BC,BD=CD,1=B=40. A=80,ACB=180-A-B=60. ACD=60-40=20.2=180-A-ACD=80=A.AC=CD.,7.(2018泉州質檢,19)如圖,在銳角ABC中,AB=2 cm,AC=3 cm. (1)尺規(guī)作圖:作BC邊的垂直平分線分別交AC,BC于點D、E(保留作圖痕跡,不要求寫作法); (2)在(1)的條件下,連接BD,求ABD的周長.,8.(2017福州質檢,18)求證:等腰三角形的底邊中點到兩腰距離相等.,9.(2017泉州質檢,19)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=3,DC=4,A

50、=60,D=150,試求BC的長度.,解析如圖,連接DB,,AB=AD,A=60,ABD是等邊三角形, BD=AD=3,ADB=60, 又ADC=150, CDB=ADC-ADB=150-60=90, DC=4,BC===5.,10.(2017福州質檢,20)如圖,在RtABC中,C=90,BC=1,AC=2.以點B為圓心,BC長為半徑畫弧交AB于點D,以點A為圓心,AD長為半徑畫弧,交AC于點E,保留作圖痕跡,并求的值.,解析如圖所示. 在RtABC中,BC=1,AC=2, AB==. 由作圖知BD=BC,AE=AD. BC=1,AE=AD=-1.=.,答案C如圖,將CE繞點C沿順時針方向旋

51、轉90,點E旋轉到點E的位置,連接AE,DE, 則CE=CE,ECE=90. ACB=90,AC=BC,,CAB=B=45,ECE=ACB, ECE-ACE=ACB-ACE, 即ECA=ECB, ECAECB, EAC=B=45,AE=BE=4, EAD=EAC+CAB=90, DE===5.,DCE=45, ECD=ECE-DCE=90-45=45, ECD=DCE. 又EC=EC,DC=DC, ECDECD, ED=ED=5, AB=AD+ED+BE=3+5+4=12. AC2+BC2=AB2, 2BC2=AB2, BC===6. 故選C.,2.(2017寧德質檢,10)如圖,在ABC中,

52、AB=AC,點D,E分別在邊BC和AC上,若AD=AE,則下列結論錯誤的是() A.ADB=ACB+CAD B.ADE=AED C.CDE=BAD D.AED=2ECD,答案D由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和,可知A正確;由AD=AE可得ADE=AED,可知B正確;設B=C=,CDE=,則AED=+,CAD=180-2(+),又BAC=180-2,BAD=BAC-CAD=2=2CDE,即CDE=BAD,C正確; AED的度數(shù)隨AE長度的變化而變化,與不一定相等,從而AED不一定等于2ECD,D錯誤.,3.(2016福州質檢,12)如圖,RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,AD

53、平分BAC,則點B到AD的距離是() A.3 B.4 C.2D.,答案C過點D作DEAB于E,設CD=x,AD平分BAC,C=90,DE=CD=x,AC=6,BC=8,AB=10,AE=AC=6,BD=8-x,BE=4,由勾股定理可得DE2+BE2=BD2,可列方程x2+42=(8-x)2,解得x=3,即DE=3,DC=3,AD==3.設點B到AD的距離為h,則SABD=ABDE=AD h,103=3h,h=2.,二、填空題(共3分),4.(2017福州質檢,16)如圖,四邊形ABCD中,ABC=ADC=90,BD平分ABC,DCB=60,AB+BC=8,則AC的長是.,答案,解析設點O是AC

54、中點,以O為圓心,OA為半徑作圓, ABC=ADC=90,點D與點B在圓O上,BD平分ABC,AD=CD,DCA=45.又DCB=60,ACB=DCB-DCA=15. 連接OB,過點B作BEAC于E, AOB=2ACB=30, OB=2BE,AC=2OB=4BE, 設AB=x,則BC=8-x.ABBC=BEAC,x(8-x)=4BE2,AC2=16BE2=4x(8-x). 由勾股定理得AC2=x2+(8-x)2, 4x(8-x)=x2+(8-x)2,解得x=4,AC=.,三、解答題(共28分) 5.(2018寧德質檢,24)如圖1,在ABC中,BAC=90,AB=AC=4,D是BC上一個動點,

55、連接AD,以AD為邊向右側作等腰直角ADE,其中ADE=90. (1)如圖2,G,H分別是邊AB,BC的中點,連接DG,AH,EH,求證:AGDAHE; (2)如圖3,連接BE,直接寫出當BD為何值時,ABE是等腰三角形; (3)在點D從點B向點C運動過程中,求ABE周長的最小值.,解析(1)證明:由題意知ABC和ADE都是等腰直角三角形,B=DAE=45. H為BC中點,AHBC. BAH=45=DAE. GAD=HAE. 在等腰直角BAH和等腰直角DAE中, AH=AB=AG,AE=AD. =.AGDAHE. (2)當BD=0或或2時,ABE是等腰三角形. (3)當點D與點B重合時,點E的

56、位置記為點M. 此時,ABM=BAC=90,AMB=BAM=45,BM=AB=AC. 四邊形ABMC是正方形. BMC=90,AMC=45, BAM=DAE=45, BAD=MAE,,在等腰直角BAM和等腰直角DAE中, AM=AB,AE=AD. =. ABDAME. AME=ABD=45, 點E在射線MC上.,作點B關于直線MC的對稱點N,連接AN交MC于點E,連接BE,EN,,BE+AE=NE+AEAN=NE+AE=BE+AE, ABE的周長就是所求的周長的最小值. 在RtABN中, AB=4,BN=2BM=2AB=8, AN==4. ABE周長的最小值為AB+AN=4+4.,6.(2016福州質檢,26)如圖所示,矩形ABCD中,AB=3,BC=2,點M在BC邊上,連接AM,作AMN=AMB,點N在直線AD上,MN交CD邊于點E. (1)求證:AMN是等腰三角形; (2)求BMAN的最大值; (3)當M為BC的中點時,試求ME的長.,解析(1)證明:四邊形ABCD是矩形, ADBC,NAM=AMB. 又AMN=AMB,AMN=NAM. AN=MN,即AMN是等腰三角形. (2)如圖,過N作NHAM,垂足為H. AN=MN,NHAM,AH=AM. NHA=ABM=90,MAN=AMB, NAHAMB, =,,