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1、處理平衡問(wèn)題的常用方法 【專(zhuān)題概述】 1 處理平衡問(wèn)題的常用方法 方法 內(nèi)容 合成法 物體受三個(gè)共點(diǎn)力的作用而平衡，則任意兩個(gè)力的合力一定與第三個(gè)力大小相等，方向相反 分解法 物體受三個(gè)共點(diǎn)力的作用而平衡，將某一個(gè)力按力的效果分解，則其分力和其他兩個(gè)力滿(mǎn)足平衡條件 正交分解法 物體受到三個(gè)或三個(gè)以上力的作用時(shí)，將物體所受的力分解為相互垂直的兩組，每組力都滿(mǎn)足平衡條件 力的三角形法 對(duì)受三力作用而平衡的物體，將力的矢量圖平移使三力組成一個(gè)首尾依次相接的矢量三角形，根據(jù)正弦定理、余弦定理或相似三角形等數(shù)學(xué)知識(shí)求解未知力 2．一般解題步驟 (1)選取研究對(duì)象：根據(jù)題目要求

2、，選取一個(gè)平衡體(單個(gè)物體或系統(tǒng)，也可以是結(jié)點(diǎn))作為研究對(duì)象． (2)畫(huà)受力示意圖：對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，畫(huà)出受力示意圖． (3)正交分解：選取合適的方向建立直角坐標(biāo)系，將所受各力正交分解． (4)列方程求解：根據(jù)平衡條件列出平衡方程，解平衡方程，對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論． 3．應(yīng)注意的兩個(gè)問(wèn)題 (1)物體受三個(gè)力平衡時(shí)，利用力的分解法或合成法比較簡(jiǎn)單． (2)解平衡問(wèn)題建立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)使盡可能多的力與坐標(biāo)軸重合，需要分解的力盡可能少．物體受四個(gè)以上的力作用時(shí)一般要采用正交分解法 【典例精講】 方法1：直角三角形法 用直角三角法解答平衡問(wèn)題是常用的數(shù)學(xué)方法，在直

3、角三角形中可以利用勾股定理、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)求解某一個(gè)力，若力的合成的平行四邊形為菱形，可利用菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的特點(diǎn)進(jìn)行求解． 【典例1】如圖所示，石拱橋的正中央有一質(zhì)量為m的對(duì)稱(chēng)楔形石塊，側(cè)面與豎直方向的夾角為α，重力加速度為g，若接觸面間的摩擦力忽略不計(jì)，則石塊側(cè)面所受彈力的大小為 A. B. C. D. 方法2：相似三角形法 物體受到三個(gè)共點(diǎn)力的作用而處于平衡狀態(tài)，畫(huà)出其中任意兩個(gè)力的合力與第三個(gè)力等值反向的平行四邊形中，可能有力三角形與題設(shè)圖中的幾何三角形相似，進(jìn)而得到力三角形與幾何三角形對(duì)應(yīng)邊成比

4、例，根據(jù)比值便可計(jì)算出未知力的大小與方向． 【典例2】 如圖所示，一個(gè)重為G的小球套在豎直放置的半徑為R的光滑圓環(huán)上，一個(gè)勁度系數(shù)為k，自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L<2R)的輕質(zhì)彈簧，一端與小球相連，另一端固定在圓環(huán)的最高點(diǎn)，求小球處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，彈簧與豎直方向的夾角. 方法3：正弦定理法 三力平衡時(shí)，三力合力為零．三個(gè)力可構(gòu)成一個(gè)封閉三角形，若由題設(shè)條件尋找到角度關(guān)系，則可由正弦定理列式求解． 【典例3】一盞電燈重力為G，懸于天花板上A點(diǎn)，在電線(xiàn)O處系一細(xì)線(xiàn)OB，使電線(xiàn)OA與豎直方向的夾角為β＝30°，如圖所示． 現(xiàn)保持β角不變，緩慢調(diào)整OB方向至OB線(xiàn)上拉力最小為止，此時(shí)OB

5、與水平方向的夾角α等于多少？最小拉力是多少？ 【典例4】如圖所示，質(zhì)量為m的小球置于傾角為30°的光滑斜面上，勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端系在小球上，另一端固定在墻上的P點(diǎn)，小球靜止時(shí)，彈簧與豎直方向的夾角為30°，則彈簧的伸長(zhǎng)量為( ) A. B. C. D. 【典例5】 如圖所示，重為G的均勻鏈條掛在等高的兩鉤上，鏈條懸掛處與水平方向成θ角，試求： (1) 鏈條兩端的張力大小； (2) 鏈條最低處的張力大小． 方法5：圖解法 【典例6】如圖所示，用一根長(zhǎng)為

6、l的細(xì)繩一端固定在O點(diǎn)，另一端懸掛質(zhì)量為m的小球A，為使細(xì)繩與豎直方向成30°角且繃緊，小球A處于靜止，對(duì)小球施加的最小的力是 ( )． A．mg B． C． D． 【總結(jié)提升】 1直角三角形分析物體動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題時(shí),一般物體只受三個(gè)力作用,且其中三個(gè)力的方向都沒(méi)有發(fā)生變化，并且所構(gòu)成的三角形是一個(gè)直角三角形，此時(shí)就可以用直角三角形解平衡了。 2 圖解法的適用情況 圖解法分析物體動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題時(shí),一般物體只受三個(gè)力作用,且其中一個(gè)力大小、方向均不變,另一個(gè)力的方向不變,第三個(gè)力大小、

7、方向均變化。 3相似三角形分析動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題時(shí),一般物體只受三個(gè)力作用,且其中一個(gè)力大小、方向均不變,另外兩個(gè)力的方向都在發(fā)生變化，此時(shí)就適合選擇形式三角形來(lái)解題 了 4 正弦定理分析物體的平衡時(shí)，基本上會(huì)出現(xiàn)物體旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題這時(shí)候就可以用正弦定理來(lái)解題了 【專(zhuān)練提升】 1．如圖所示，水平地面上處于伸直狀態(tài)的輕繩一端拴在質(zhì)量為m的物塊上，另一端拴在固定于B點(diǎn)的木樁上．用彈簧測(cè)力計(jì)的光滑掛鉤緩慢拉繩，彈簧測(cè)力計(jì)始終與地面平行．物塊在水平拉力作用下緩慢滑動(dòng)．當(dāng)物塊滑動(dòng)至A位置，∠AOB＝120°時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為F.則 ( )． A．物塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 B．木樁受到繩的

8、拉力始終大于F C．彈簧測(cè)力計(jì)的拉力保持不變 D．彈簧測(cè)力計(jì)的拉力一直增大 2、如圖所示，兩球A、B用勁度系數(shù)為k1的輕彈簧相連，球B用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩懸于O點(diǎn)，球A固定在O點(diǎn)正下方，且OA之間的距離恰為L(zhǎng)，系統(tǒng)平衡時(shí)繩子所受的拉力為F1.現(xiàn)把A、B間的彈簧換成勁度系數(shù)為k2的輕彈簧，仍使系統(tǒng)平衡，此時(shí)繩子所受的拉力為F2，則F1與F2的大小之間的關(guān)系為( ) A．F1>F2 B．F1＝F2 C．F1

9、m的薄空心塑料球用細(xì)線(xiàn)懸于桿頂端O，當(dāng)水平風(fēng)吹來(lái)時(shí)，球在水平風(fēng)力的作用下飄起來(lái)．已知風(fēng)力大小正比于風(fēng)速，當(dāng)風(fēng)速v0＝3m/s時(shí)，測(cè)得球平衡時(shí)細(xì)線(xiàn)與豎直方向的夾角θ＝30°.則( ) A． 細(xì)線(xiàn)拉力的大小為 B． 若風(fēng)速增大到某一值時(shí)，θ可能等于90° C． 細(xì)線(xiàn)拉力與風(fēng)力的合力大于mg D． θ＝30°時(shí)，風(fēng)力的大小F＝mgtan 30° 4. 如圖所示，小圓環(huán)A吊著一個(gè)質(zhì)量為m2的物塊并套在另一個(gè)豎直放置的大圓環(huán)上，有一細(xì)線(xiàn)，一端拴在小圓環(huán)A上，另一端跨過(guò)固定在大圓環(huán)最高點(diǎn)B的一個(gè)小滑輪后吊著一個(gè)質(zhì)量為m1的物塊．如果小圓環(huán)、滑輪、細(xì)線(xiàn)的大小和質(zhì)量以

10、及相互之間的摩擦都可以忽略不計(jì)，細(xì)線(xiàn)又不可伸長(zhǎng)，若平衡時(shí)弦AB所對(duì)應(yīng)的圓心角為α，則兩物塊的質(zhì)量之比應(yīng)為 A. cos B．sin C．2sin D．2sin α 處理平衡問(wèn)題的常用方法 【典例精講】 【典例1】【答案】 A 直角三角形，且∠OCD為α，則由2(1)mg＝FNsin α可得FN＝2sin α(mg)，故A正確． 【典例2】【答案】arccos kR－G(kL) 【解析】對(duì)小球B受力分析如圖所示，由幾何關(guān)系有△AOB∽△CDB， 【典例3】【答案】30° 【

11、解析】對(duì)電燈受力分析如圖所示，據(jù)三力平衡特點(diǎn)可知：OA、OB對(duì)O點(diǎn)的作用力TA、TB的合力T與G等大反向，即T＝G① 【名師點(diǎn)評(píng)】 相似三角形法和正弦定理法都屬于數(shù)學(xué)解斜三角形法，只是已知條件不同而已．若已知三角形的邊關(guān)系選用相似三角形法，已知三角形的角關(guān)系，選用正弦定理法． 【典例4】【答案】 C 【典例5】【答案】(1) (2) 【解析】(1)整個(gè)鏈條受三個(gè)力作用而處于靜止，這三個(gè)力必為共點(diǎn)力，由對(duì)稱(chēng)性可知，鏈條兩端受力必大小相等，受力分析如圖甲． 由平衡條件得：2Fsin θ＝G F＝ (2)在求鏈條最低處張力時(shí)，可將鏈條一分為二，取一半鏈

12、條為研究對(duì)象．受力分析如圖乙所示，由平衡條件得水平方向所受力為 F′＝Fcos θ＝cos θ＝. 【典例6】【答案】C 【專(zhuān)練提升】 1、【答案】AD 2、【答案】 A 【解析】由圖知棒受重力G，上端繩拉力T，水平繩拉力F三力作用而平衡，知此三力為共點(diǎn)力，則將T和F反向延長(zhǎng)與重力G交于O′點(diǎn)，因棒的重心在棒的中點(diǎn)，則由幾何關(guān)系知l1＝l2，tan α＝l1(h)，tan β＝l1＋l2(h)，聯(lián)立解得：tan α＝2tan β，所以A項(xiàng)正確 3、【答案】AD 4、【答案】C 【解析】因小圓環(huán)A受拉力m2g，細(xì)線(xiàn)BA的拉力FT及大圓環(huán)的彈力FN作用而處于平衡狀態(tài)，則此三個(gè)力一定可以組成一封閉的矢量三角形，此力的三角形一定與幾何三角形OAB相似，即有＝，而FT＝m1g，AB＝2Rsin，所以＝＝2sin 9