第6節(jié)正弦定理和余弦定理,最新考綱掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.,知 識 梳 理,1.正、余弦定理,在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin Bsin C,3.在ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：,一解,兩解,一解,一解,無解,微點提醒,1.三角形中的三角函數(shù)關系,(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；,2.三角形中的射影定理 在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B. 3.在ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，ABabsin A sin Bcos A<cos B.,基 礎 自 測,1.判斷下列結論正誤(在括號內打“”或“”),(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比.() (2)在ABC中，若sin Asin B，則AB.() (3)在ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.() (4)當b2c2a20時，ABC為銳角三角形；當b2c2a20時，ABC為直角三角形；當b2c2a2<0時，ABC為鈍角三角形.(),解析(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角的正弦值之比. (3)已知三角時，不可求三邊. (4)當b2c2a20時，三角形ABC不一定為銳角三角形. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修5P10A4改編)在ABC中，AB5，AC3，BC7，則BAC(),答案C,3.(必修5P10B2改編)在ABC中，acos Abcos B，則這個三角形的形狀為________.,解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B， 即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，,所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形. 答案等腰三角形或直角三角形,答案D,答案A,由a2b2c22bccos A，可得84c2c23c2， 解得c2(舍負)，則b4.,考點一利用正、余弦定理解三角形,結合b<c得B45，則A180BC75. (2)(ab)(sin Asin B)(cb)sin C， 由正弦定理得(ab)(ab)c(cb)，即b2c2a2bc.,答案(1)75(2)B(3)C,規(guī)律方法1.三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷. 2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理時，需判斷其解的個數(shù)，用余弦定理時，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個數(shù).,解析(1)由題意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0， sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，,則有cos 2Ccos C0，即2cos2Ccos C10，,由4sin B3sin A，得4b3a， 又ab1， 聯(lián)立，得a4，b3，,滿足條件的三角形有2個. 答案(1)B(2)A(3)B,考點二判斷三角形的形狀,A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等邊三角形 (2)設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為() A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定,又B(0，)，所以sin B0， 所以sin C0，所以cos B<0， 即B為鈍角，所以ABC為鈍角三角形.,(2)由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A， sin(BC)sin2A，即sin Asin2A.,答案(1)A(2)B,規(guī)律方法1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁. 2.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制.,【訓練2】 若將本例(2)中條件變?yōu)椤癱acos B(2ab)cos A”，判斷ABC的形狀.,解cacos B(2ab)cos A，C(AB)， 由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A， sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A， cos A(sin Bsin A)0， cos A0或sin Bsin A，,ABC為等腰或直角三角形.,考點三和三角形面積、周長有關的問題 多維探究 角度1與三角形面積有關的問題,(1)求c； (2)設D為BC邊上一點，且ADAC，求ABD的面積.,即c22c240，解得c6(舍去)，c4.,角度2與三角形周長有關的問題,則(bc)264，即bc8(當且僅當bc4時等號成立)， ABC周長abc4bc12，即最大值為12. 答案12,【訓練3】 (2019濰坊一模)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(a2c)cos Bbcos A0. (1)求B；,(2)由余弦定理，得9a2c22accos B. a2c2ac9，則(ac)2ac9.,解(1)由已知及正弦定理得 (sin A2sin C)cos Bsin Bcos A0， (sin Acos Bsin Bcos A)2sin Ccos B0， sin(AB)2sin Ccos B0， 又sin(AB)sin C，且C(0，)，sin C0，,思維升華 1.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關系轉化為角的關系或邊的關系. 2.在已知關系式中，既含有邊又含有角，通常的解題思路是：先將角都化成邊或邊都化成角，再結合正弦定理、余弦定理即可求解.,易錯防范 1.在利用正弦定理解有關已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形時，有時出現(xiàn)一解、兩解，所以要進行分類討論. 另外三角形內角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號，防止出現(xiàn)增解等擴大范圍的現(xiàn)象. 2.在判斷三角形的形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解.,