《小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)例題精講《數(shù)陣圖（二）》教師版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)例題精講《數(shù)陣圖（二）》教師版（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1 1.了解數(shù)陣圖的種類2.學(xué)會(huì)一些解決數(shù)陣圖的解題方法3.能夠解決和數(shù)論相關(guān)的數(shù)陣圖問(wèn)題.一、數(shù)陣圖定義及分類：1.定義：把一些數(shù)字按照一定的要求,排成各種各樣的圖形,這類問(wèn)題叫數(shù)陣圖.2.數(shù)陣是一種由幻方演變而來(lái)的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多,這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.3.二、解題方法：解決數(shù)陣類問(wèn)題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn)(或方格)和關(guān)鍵點(diǎn)(或方格);第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)(一般是交叉點(diǎn))上設(shè)置未知數(shù),計(jì)算這些關(guān)鍵點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系,得到關(guān)鍵點(diǎn)上所填數(shù)的范圍;第三步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試這

2、個(gè)步驟并不是對(duì)所有數(shù)陣題都適用,很多數(shù)陣題更需要對(duì)數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用復(fù)合型數(shù)陣圖【例例 1 1】由數(shù)字 1、2、3 組成的不同的兩位數(shù)共有 9 個(gè),老師將這 9 個(gè)數(shù)寫在一個(gè)九宮格上,讓同學(xué)選數(shù),每個(gè)同學(xué)可以從中選 5 個(gè)數(shù)來(lái)求和小剛選的 5 個(gè)數(shù)的和是 120,小明選的 5 個(gè)數(shù)的和是 111如果兩人選的數(shù)中只有一個(gè)是相同的,那么這個(gè)數(shù)是_313233212223131211【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,中年級(jí),決賽,3 題【分析】這 9 個(gè)數(shù)的和：11 1213212223313233【分析】10203031233198（）（）【分析】由小剛和小明選的

3、數(shù)中只有一個(gè)是相同的,可知他們正好把這 9 個(gè)數(shù)全部都取到了,且有一個(gè)數(shù)取了兩遍所以他們?nèi)〉臄?shù)的總和比這 9 個(gè)數(shù)的和多出來(lái)的部分就是所求的數(shù)那么,這個(gè)數(shù)是120111 19833例題精講例題精講知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)撥教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)5-1-3-2.5-1-3-2.數(shù)陣圖數(shù)陣圖2【答案】33【例例 2 2】如圖 1,圓圈內(nèi)分別填有 1,2,7 這 7 個(gè)數(shù).如果 6 個(gè)三角形的頂點(diǎn)處圓圈內(nèi)的數(shù)字的和是 64,那么,中間圓圈內(nèi)填入的數(shù)是 .【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級(jí),復(fù)賽,第 5 題,5 分【解析】2【答案】2【例例 3 3】如下圖（1）所示,在每個(gè)小圓

4、圈內(nèi)填上一個(gè)數(shù),使得每一條直線上的三個(gè)數(shù)的和都等于大圓圈上三個(gè)數(shù)的和.117894【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】3 星 【題型】填空 【解析解析解析】為敘述方便,先在每個(gè)圓圈內(nèi)標(biāo)上字母,如圖（2）,2acb49817則有 a+4+9=a+b+c（1）b+8+9=a+b+c（2）c+17+9=a+b+c（3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c）+56=3（a+b+c）,a+b+c=28,則 a=28（4+9）=15,b=28（8+9）=11,c=28-（17+9）=2 解：見(jiàn)圖.1789411215【答案】1789411215【例例 4 4】請(qǐng)你將數(shù)字 1、2、3、4、5、6、7 填在下面圖（

5、1）所示的圓圈內(nèi),使得每個(gè)圓圈上的三個(gè)數(shù)之和與每條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等.應(yīng)怎樣填?3【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】3 星 【題型】填空 【解析解析解析】為了敘述方便,將各圓圈內(nèi)先填上字母,如圖（2）所示.設(shè)A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k,3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k,2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k,2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k,56+A=5k.,因?yàn)?56+A 為 5 的倍數(shù),得 A=4,進(jìn)而推出 k=12,因?yàn)樵?1、2、3、5、6

6、、7 中,1+5+6=7+3+2=12,不妨設(shè) B=1,F=5,D=6,則 C=12-（4+1）=7,G=12-（4+5）=3,E=12-（4+6）=2.,解：得到一個(gè)基本解為：（見(jiàn)圖）7654321【答案】7654321【例例 5 5】在左下圖的每個(gè)圓圈中填上一個(gè)數(shù),各數(shù)互不相等,每個(gè)圓圈有 3 個(gè)相鄰(即有線段相連的圓圈)的圓圈.將左下圖中每個(gè)圓圈中的數(shù)改為 3 個(gè)相鄰圓圈所填數(shù)的平均值,便得到右下圖.如果左下圖中已有一個(gè)數(shù) 1,請(qǐng)?zhí)畛鲎笙聢D中的其它數(shù),使得右下圖中的數(shù)都是自然數(shù).【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】4 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,6 年級(jí),決賽,第 10 題,10 分【解

7、析】答案不唯一.要求四個(gè)灰色圓圈中所填的數(shù)除以 3 的余數(shù)相同,另外四個(gè)圓圈中所填的數(shù)除以 3 的余數(shù)也相同.注：題中左、右兩圖是兩個(gè)不同的圖,左圖要求各數(shù)互不相同(見(jiàn)答案),右圖中各數(shù)是根據(jù)左圖改的,只要求是自然數(shù),可以相同.【答案】【例例 6 6】將 1 至 8 這八個(gè)自然數(shù)分別填入圖中的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)處的:內(nèi),并使每個(gè)面上的四個(gè):內(nèi)的數(shù)字之和都相等.求與填入數(shù)字 1 的:有線段相連的三個(gè):內(nèi)的數(shù)的和的最大值.4【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】4 星 【題型】填空 【考點(diǎn)】【難度】星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,六年級(jí),二試,第 13 題,15 分【解析】因?yàn)?1 到 8 的和為 36,

8、而上面四個(gè)數(shù)的和等于下面四個(gè)數(shù)的和,所以都為 18.因?yàn)槊總€(gè)面的數(shù)字和相等,所以一個(gè)面上應(yīng)當(dāng)大小數(shù)搭配,也就是說(shuō),和最小的數(shù)字 1 在同一個(gè)面上的應(yīng)該有較大的數(shù).嘗試最大的三個(gè)數(shù) 8,7,6,則和 1,8,7 在同一個(gè)面上的數(shù)應(yīng)該是 18-1-8-7=2,和 1,8,6 在同一個(gè)面上的數(shù)應(yīng)該是 18-1-8-6=3,和 1,7,6 在同一個(gè)面上的數(shù)應(yīng)該是在同一個(gè)面上的數(shù)應(yīng)該是 18-1-7-6=4,剩下一個(gè) 5 填在剩下的中,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意,那么與 1 相連的三個(gè)的和是6782161827453【答案】21【例例 7 7】將自然數(shù)1到11分別填在右圖的圓圈內(nèi),使得圖中每條直線上的三個(gè)圓圈內(nèi)的

9、數(shù)的和相等18-c-d18-b-cc+d-6b+c-612-d12-c12-bdcb61110987543216【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空 【解析解析解析】設(shè)左下角的數(shù)為a,每條直線上的三個(gè)數(shù)的和為S由于這 11 個(gè)數(shù)的和為121166從左下角引出的5條直線的總和為5S,其中左下角的數(shù)多計(jì)算了 4 次,則5664Sa;又由三條橫線及左下角引出的一條斜線上的數(shù)的總和可得466Sa從而結(jié)合上面的兩個(gè)式子可得18S,6a,即左下角的數(shù)為 6,每條線上的數(shù)之和為 18再設(shè)大正方形其他三個(gè)圓圈上的數(shù)分別為b,c,d,于是可得各個(gè)圓圈中的數(shù)如圖所示除 6 以外的 10 個(gè)數(shù)分別為：

10、b,c,d,12b,12c,12d,18bc,18cd,6bc,6cd由于18121818bcccd,得到330bcd,即303bdc所以,只要選取適當(dāng)?shù)腷,c,d的值,使得上面的 10 個(gè)數(shù)各不相同即可比如,選擇9c,1b,2d,則可得到如右上圖所示的一種填法本題答案不唯一,下面再給出兩種填法.3105279486111 5498371021116【答案】3105279486111 54983710211165【例例 8 8】在下圖中,在每個(gè)圓圈中填入一個(gè)數(shù),使每條直線上所有圓圈中數(shù)的和都是 234,那么標(biāo)有的圓圈中所填的數(shù)是_ fedcba【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空

11、【關(guān)鍵詞】迎春杯,中年級(jí),決賽,11 題【分析】為表述方便,將圓圈中數(shù)用字母替代（如右圖）【分析】根據(jù)題意,有【分析】234af 【分析】234bc 【分析】234ed 【分析】234abe 【分析】234cdf 【分析】,有3234,即234378【答案】78【例例 9 9】請(qǐng)將 1,2,3,10 這 10 個(gè)自然數(shù)填入圖中的 10 個(gè)小圓圈內(nèi),使得圖中的 10 條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等那么乘積ABC?CBA【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】迎春杯,高年級(jí),決賽,10 題【解析解析解析】對(duì)于本題,可以通過(guò)“10 條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等”(實(shí)際上是 11

12、條)這一等量關(guān)系,將每一個(gè)小圓圈中的數(shù)表示出來(lái)由于每一條直線上的數(shù)之和都為ABC,可得圖中每一個(gè)小圓圈中的數(shù)如下圖.2CA-C3CA+2CB-2CB-CA+CABC由于中間豎直方向的線段以及從左下角A出發(fā)的只有兩個(gè)數(shù)字的那條線段,它們的數(shù)字和都是ABC,可以得到,332ABCBCAC,可得2ABC,代入得2333BCBC,即6BC,只能是1C,6B,28ABC,則86 148ABC 【答案】86 148ABC 【例例 10 10】下圖中有 11 條直線請(qǐng)將 1 至 11 這 11 個(gè)數(shù)分別填在 11 個(gè)圓圈里,使每一條直線上所有數(shù)的和相等求這個(gè)相等的和以及標(biāo)有*的圓圈中所填的數(shù)6【考點(diǎn)】復(fù)合型

13、數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空 【解析解析解析】設(shè)每行的和為S,在左下圖中,除了a出現(xiàn) 2 次,其他數(shù)字均只出現(xiàn)了 1 次,并且每個(gè)數(shù)字都出現(xiàn)了,于是有4(12311)66Saa;a a在右上圖中除了a出現(xiàn) 5 次,其他數(shù)字均只出現(xiàn)了 1 次,并且每個(gè)數(shù)字都出現(xiàn)了,于是有5(12311)4664Saa綜合以上兩式,4665664SaSa,解得6a,18S 考慮到含有*的五條線,有4(12311)18 590t,即424t 可見(jiàn)t是 4 的倍數(shù),在 111 間可能為 4 和 8,但t為 8 時(shí)也為 8,重復(fù)所以4t,7即每行相等的和為 18,標(biāo)有*的圓圈中所填的數(shù)為 7最終的填法如右下圖t

14、 1110987654321【答案】1110987654321【例例 11 11】“美妙的數(shù)學(xué)花園”這 7 個(gè)字各代表 17 中的一個(gè)數(shù),并且每個(gè)圓中 4 個(gè)數(shù)的和都是 15.如果學(xué)比美大,美比園大,那么,園表示 .【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】（走美杯 3 年級(jí)決賽第 11 題,12 分）【解析】首先找出從1到7中四個(gè)數(shù)之和為15的有以下四組：1、2、5、7;2、3、4、6;1、3、74、7;1、3、5、6需要從其中選出3組,其中每?jī)蓚€(gè)組間都有兩個(gè)相等的數(shù),且這三組都含有同一個(gè)數(shù),分析發(fā)現(xiàn)這三組可為、或、,當(dāng)這三組數(shù)為、時(shí)即1,2,5,7;1,3,4,7;1,3

15、,5,6其中、公有的是1,7;、公有是1,5;、公有1,3,即“妙,花,數(shù)”應(yīng)為3,7,5其中之一則剩下數(shù)字2,4,6應(yīng)為美、學(xué)、園其中之一又因?yàn)閷W(xué)美園,所以學(xué)6,美4,園2當(dāng)這三組數(shù)為、時(shí)同樣的方法可分析出園2 5 4 1 7 3 6 2【答案】2【例例 12 12】圖 2 中的五個(gè)問(wèn)號(hào)分別表示五個(gè)連續(xù)的自然數(shù),它們的和等于 130,三角形內(nèi)兩個(gè)數(shù)的和等于 53,圓內(nèi)三個(gè)數(shù)的和等于 79,正方形內(nèi)兩個(gè)數(shù)的和等于 50.那么,從左向右,這五個(gè)問(wèn)號(hào)依次是 【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,四年級(jí),復(fù)賽,第 5 題,5 分【解析】根據(jù)題意答案為：25,28,27,

16、24,26【答案】25,28,27,24,26【例例 13 13】右圖是大家都熟悉的奧林匹克五環(huán)標(biāo)志請(qǐng)將19:分別填入五個(gè)圓相互分割的九個(gè)部分,并且使每個(gè)圓環(huán)內(nèi)的數(shù)字之和都相等【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空 【解析解析解析】設(shè)每個(gè)圓內(nèi)的數(shù)字之和為k,則五個(gè)圓內(nèi)的數(shù)字之和是5k,它等于19:的和45再加上兩兩重疊處的四個(gè)數(shù)之和而兩兩重疊處的四個(gè)數(shù)之和最小是123410,最大是678930,所以,5453075k,5451055k,即1115k當(dāng)11k,13,14時(shí)可得四種填法(見(jiàn)右下圖)dcba987654321123456789123456789987654321當(dāng)15k

17、時(shí),如右上圖,設(shè)兩兩重疊處的四個(gè)數(shù)分別為a,b,c,d,由上面的分析可知,a,b,c,d分別為6,7,8,9,由于6915,7815,那么,不論a為多少,最左邊的數(shù)總是會(huì)與b,c,d中的某一個(gè)相同,矛盾所以當(dāng)15k 時(shí)沒(méi)有符合題意的填法當(dāng)12k 時(shí),1254515abcd如果a,b,c,d中有一個(gè)數(shù)為3,比如3a,那么12bcd,這樣與b,c在同一個(gè)圓內(nèi)的那個(gè)數(shù)將與d相同可見(jiàn)a,b,c,d都不能為3如果a,b,c,d中至少有3個(gè)數(shù)大于3,那么它們至少為4,5,6,另一個(gè)數(shù)至少為1,它們的和將不小于145616,矛盾所以a,b,c,d中至少有2個(gè)數(shù)小于3,這2個(gè)數(shù)只能為1和2,那么另兩個(gè)數(shù)之和為

18、12如果這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)為a或者d,那么最左邊或者最右邊的數(shù)將與a,b,c,d中的某一個(gè)相同,矛盾;如果這兩個(gè)數(shù)為b和c,那么與b,c在同一個(gè)圓內(nèi)的那個(gè)數(shù)將只能為0,這也不可能出現(xiàn)所以當(dāng)12k 時(shí)也沒(méi)有符合題意的填法8【答案】當(dāng)11k,13,14時(shí)可得四種填法987654321123456789123456789987654321【例例 14 14】2008 年奧運(yùn)會(huì)在北京舉行.“奧”、“運(yùn)”、“會(huì)”、“北”、“京”這五個(gè)漢字代表五個(gè)連續(xù)的自然數(shù),將其分別填在五環(huán)圖案的五個(gè)環(huán)內(nèi),滿足“奧”+“運(yùn)”+“會(huì)”=“北”+“京”.這五個(gè)自然數(shù)的和最大是 .【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】

19、填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,四年級(jí),初賽,第 2 題）【解析解析解析】不妨設(shè)最小一個(gè)數(shù)是 x,那么這 5 個(gè)數(shù)是 x,x+1,x+2,x+3,x+4.但無(wú)法將它們對(duì)應(yīng),但無(wú)論怎么樣,列出的方程一定是這個(gè)形式的：（x+a）+（x+b）+（x+c）=（x+d）+（x+e）,其中 a、b、c、d、e 分別是 0、1、2、3、4.方程解得：x=（d+e）-（a+b+c）,如果連續(xù) 5 個(gè)自然數(shù)最大,那么最小的那個(gè)自然數(shù)也必須取得最大,顯然減號(hào)前是 3、4,減號(hào)后 0、1、2 時(shí),x 取得最大值 4,所以這 5 個(gè)數(shù)是4、5、6、7、8,和為 30【答案】30【例例 15 15】如圖,A,B,C,D,E,F,

20、G,H,I代表九個(gè)各不相同的正整數(shù),且每個(gè)圓中所填數(shù)的和都等于2008.這九個(gè)數(shù)總和最小為 .【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,5 年級(jí),決賽,第 12 題,15 分【解析】假設(shè)9個(gè)數(shù)總和是M,則MABCDEFGHI,上面三個(gè)環(huán)的總和為：32008MCG,所以當(dāng)12CG 時(shí),總和最小為2008336027.【答案】6027【例例 16 16】如圖,A,B,C,D,E,F,G,H,I代表九個(gè)各不相同的正整數(shù),A,B,C,D,E,F,G,H,I的總和是2008,并且每個(gè)圓中所填的數(shù)和都等于M.(1)M最大為多少?(2)M最小為多少?【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】6

21、 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,6 年級(jí),決賽,第 11 題,15 分【解析】上面三個(gè)環(huán)里數(shù)的和為3M,32008MCG,32008MCG,所以M最大可以取668,此時(shí)C,G分別為1,3.五環(huán)的和是52008MBDFH,要使M最小,只要取BDFH最小為12,此時(shí)404M.9【答案】最大668,最小12【例例 17 17】將數(shù)字 19 分別填在下圖空白的正六邊形格子中,使得箭頭所指直線方向上空格中所填的數(shù)字和等于該箭頭所在格中的給定數(shù)（每個(gè)方向上所填的數(shù)互不相同,且到寫有另一個(gè)給定數(shù)字的格為止）.例如：20,22,19ABCDEFGHCIJKMN。當(dāng)填寫完后,字母 C 處所寫的數(shù)字是_.DC

22、AHEGMFIBKN102720282269192410202026J23A.4 B.5 C.7 D.9【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】6 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,中年級(jí),復(fù)試,7 題【解析解析解析】3l4lC,提示：在下圖中,直線1l上的6個(gè)數(shù)之和是,只有12345722,直線2l上的5個(gè)數(shù)之和是35,只有5678935,所以G等于5或7;直線3l上的4個(gè)數(shù)之和是12,只有：123612或124512,再考慮到G等于5或7,得到5,1GM或2或4.直線4l上的3個(gè)數(shù)之和是20,并且1M 或2或4,只有47920,所以4M,再考慮到1l上的數(shù)不大于7,所以7C.下圖是一種填法（填法不唯

23、一）.31254173484595917178213129212352392620201024199622282027106【答案】C=7.【例例 18 18】用數(shù)字1至9填滿空格,一個(gè)格子只能填入一個(gè)數(shù)字,每個(gè)數(shù)字在每一行,每一列（相連或不相連）及每個(gè)粗線圍成的區(qū)域中至多出現(xiàn)一次.【考點(diǎn)】數(shù)陣圖與數(shù)論 【難度】5 星 【題型】填空10【關(guān)鍵詞】走美杯,3 年級(jí),決賽,第 11 題,12 分【解析】如圖1,因?yàn)閍、b、c、d所在列已經(jīng)出現(xiàn)8,所以a、b、c、d不等于8,在這四個(gè)數(shù)所在的粗黑線圍成的區(qū)域中可知8e,那么g、f不等于8,而在h、i所在的列中出現(xiàn)了數(shù)字8,所以h、i不等于8,那么8j,之后用同樣的方法可以得出結(jié)果如圖2.hgifjedcba661287383719954 1732458194139278593645716254187623 245991738378216646258【答案】【例例 19 19】用 l9 填滿三角形空格,一個(gè)格子只能填入一個(gè)數(shù)字,使每個(gè)數(shù)字在每一行,每一列(包括不相連的行,列)及每個(gè)粗黑線圍成的區(qū)域中至多出現(xiàn)一次【考點(diǎn)】數(shù)陣圖與數(shù)論 【難度】6 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,初賽,六年級(jí),第 10 題【解析】解題順序如第二附圖,依照 A、B、C、D的順序.