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1、泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案 數(shù)值分析 教研室 課程名稱 高等數(shù)學(xué)研究 授課對(duì)象 授課題目 第十四講　曲面積分與高斯公式 課時(shí)數(shù) 4 教學(xué) 目的 通過(guò)教學(xué)使學(xué)生掌握兩類曲面積分的來(lái)源、定義、性質(zhì)和計(jì)算方法，重點(diǎn)掌握高斯公式及曲面積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 重 點(diǎn) 難 點(diǎn) 1．重點(diǎn)兩類曲面積分的計(jì)算方法； 2．難點(diǎn)高斯公式及補(bǔ)面法。 教 學(xué) 提 綱 第十四講　曲面積分與高斯公式 1.第一類曲面積分 (1)問(wèn)題的提出， 第一類曲面積分與曲面的方向(側(cè))無(wú)關(guān) (2)第一類曲面積分

2、的計(jì)算--------代入法 2. 第二類曲面積分 (1)問(wèn)題的提出:第二類曲面積分與方向(側(cè))有關(guān)，改變方向，積分變號(hào) (2)計(jì)算--------代入法 (3)高斯公式 補(bǔ)面法 (4)曲面積分與積分路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題 (5)奇點(diǎn)的處理方法。 教學(xué)過(guò)程與內(nèi)容 教學(xué) 后記 第十四講　曲面積分與高斯公式 一、.第一類曲面積分 1．問(wèn)題的提出 設(shè)有一塊光滑的金屬曲面S 。它的密度是不

3、均勻的。在其點(diǎn)(x,y,z)處密度為 f（x,y,z），并設(shè)f在S上連續(xù),則金屬曲面S的質(zhì)量M 說(shuō)明: 第一類曲面積分與曲面的方向(側(cè))無(wú)關(guān) 2．第一類曲面積分的計(jì)算(代入法) 設(shè)S 是一個(gè)光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) , 當(dāng) f1時(shí)可得空間曲面面積的計(jì)算公式，即 例1：I=,S是半球面（）。 【解】　,　　　 , = 例2：為橢球面S:的動(dòng)點(diǎn)，若S在處的切平面與面垂直。 （１） 求點(diǎn)Ｐ的軌跡Ｃ； （２） 計(jì)算，其中為橢球面位于Ｃ上方的部分。 二、 第二類曲面積分 1．問(wèn)題的提出 磁通量問(wèn)題。表示 【說(shuō)明】第二類曲面積分與方向(

4、側(cè))有關(guān)，改變方向，積分變號(hào) 2．第二類曲面積分計(jì)算(代入法) 用代入法計(jì)算時(shí),一般應(yīng)分成三個(gè)計(jì)算: ①（如果曲面積分取的上側(cè)取號(hào)，如果曲面積分取的下側(cè)取-號(hào)）. 類似有 ②（如果曲面積分取的前側(cè)取號(hào)，如果曲面積分取的后側(cè)取-號(hào)）。 ③（如果曲面積分取的右側(cè)取號(hào)，如果曲面積分取的左側(cè)取-號(hào)）. 例3:計(jì)算曲面積分，其中是圓面 下側(cè)。 【分析】 由于在上， ，所以 【點(diǎn)評(píng)】本題展示的化簡(jiǎn)積分的方法是非常重要的。 例4:計(jì)算曲面積分，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面及之間的下側(cè) 【分析】 可

5、直接代公式計(jì)算, 而需要分成前后兩部分分別計(jì)算. 【解】（略） 3．高斯公式 設(shè) D 是R內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)域，其邊界由光滑曲面或逐片光滑曲面組成，方向是外側(cè)（相對(duì)于區(qū)域D而言）。又設(shè)函數(shù)P，Q，R都在D內(nèi)關(guān)于 x,y,z有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列高斯公式成立： 由Gauss公式可計(jì)算某些空間立體積分 V= 例5： 計(jì)算, 式中S為球面的內(nèi)側(cè) 【解】 由高斯公式 知 = 例6：計(jì)算曲面積分 其中為曲面的上側(cè)。 【分析】（補(bǔ)面法）本

6、題曲面不封閉，可考慮先添加一平面域使其封閉，在封閉曲面所圍成的區(qū)域內(nèi)用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。 【解】 補(bǔ)充曲面：，取下側(cè). 則 = 其中為與所為成的空間區(qū)域，D為平面區(qū)域. 由于區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，因此. 又 = 其中. 【評(píng)注】 （1）注意在計(jì)算過(guò)程中盡量利用對(duì)稱性進(jìn)行簡(jiǎn)化。本題也可通過(guò)直接投影進(jìn)行計(jì)算，但計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜。 （2）本題中的三重積分計(jì)算用“先二后一”法，若用“先一后二”法計(jì)算量是大的 例7：計(jì)算外側(cè)。 【分析】該題，它們?cè)赟所包圍的區(qū)域內(nèi)不連續(xù)(在原點(diǎn)沒(méi)定義，偏導(dǎo)數(shù)不存在)，所以不能用高斯公式。

7、 【解】 由積分表達(dá)式及S的對(duì)稱性知 所以 記上半球（上側(cè)）為S上，記下半球（下側(cè)）為S下 =2 所以 4.曲面積分與積分路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題 設(shè)是空間二維單連通區(qū)域，函數(shù)、、在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲面積分 在內(nèi)與所取曲面無(wú)關(guān)而只取決于的邊界曲面(或沿內(nèi)任一閉曲面的曲面積分為零)的充分必要條件是等式在內(nèi)恒在成立。 例8：設(shè)對(duì)于半空間x>0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S，都有 ＝０，其中在（０，＋∞）內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且＝１，求． 【解】 由于對(duì)于半空間x>0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S，都有 ＝０， 所以 即 解得 5.奇點(diǎn)的處理方法 定理：設(shè)函數(shù)、、在在空間坐標(biāo)系上除了點(diǎn)Ｐ外都有，則對(duì)任意分段光滑閉曲面， 是一個(gè)定值。 例9：計(jì)算曲面積分其中是曲面的外側(cè)。 【解】 在在空間坐標(biāo)系上除了點(diǎn)原點(diǎn)外都有 則對(duì)任意分段光滑閉曲面，是一個(gè)定值。 把曲面換成 = 6.對(duì)稱性與輪換法 例10：設(shè)曲面，求. 【解】 由于曲面關(guān)于平面x=0對(duì)稱，因此=0. 又曲面具有輪換對(duì)稱性，于是 ==== == 例11：設(shè)求。 【解】 == 所以 = = 7