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1、第4章 連續(xù)系統(tǒng),振 動 理 論 及 其 應(yīng) 用,4.1 引言,4.2 弦振動,4.3 桿的縱向振動,4.4 桿的扭轉(zhuǎn)振動,4.5 梁的橫向振動,4.6 薄板的橫向振動,4.7 展開定理,4.8 瑞利商,4.9 響應(yīng)分析,4.10 有限元法簡介,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 1 引言,力學(xué)模型的組成,連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型由具由分布質(zhì)量、分布彈性和分布阻尼元件組成。,連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的關(guān)系,連續(xù)系統(tǒng),離散系統(tǒng),,,簡化、離散化,自由度n 趨向于無窮,連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別,連續(xù)系統(tǒng),離散系統(tǒng),自由度,連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)是同一物理系統(tǒng)的兩個數(shù)學(xué)模型。,描述系統(tǒng)的變量,有限個,無窮多個,時間,時間和空

2、間位置,微分方程,二階常微分方程組,偏微分方程組,方程消去時間變量后,代數(shù)方程組,微分方程的邊值問題,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動,振動微分方程 由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出,將連續(xù)的弦作離散系統(tǒng)考慮，即由無質(zhì)量的弦聯(lián)接n個離散的質(zhì)量m i 。每個質(zhì)量上所受的力為F i,質(zhì)量m i的受力分析如圖。,對質(zhì)量m i在y方向的受力和加速度運用牛頓第二定律：,或,由于弦兩端固定，因此有,設(shè),或,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動,振動微分方程 由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出,或,或兩邊除以D xi,當(dāng)質(zhì)量數(shù)無窮多時，D xi趨近于零，方程可寫成,其中，,由于用x替換了變量xi ，因此對時間的全導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成偏導(dǎo)數(shù)，而增量

3、比用對x的偏導(dǎo)數(shù)表示。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動,振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出,設(shè)長度為L 、兩端固定的弦上受均布載荷f (x, t) ，弦上x處的張力與單位長度質(zhì)量密度分別為T (x)和r (x)。,根據(jù)牛頓定律，任一瞬時作用在微弦段上y 方向的力與微弦段的加速度有如下關(guān)系,質(zhì)量為r A dx的微段dx，隔離體受力分析圖,展開、消去相關(guān)的項、略去dx的二次項，然后兩邊除以dx 得,或,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動,自由振動 特征值問題,方程,邊界條件,用分離變量法，設(shè)：,代入方程：,兩邊同除以Y (x) r (x) F (t),上述方程兩邊分別依賴于變量x 和 t ，因此

4、兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w 2：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動,自由振動 特征值問題,從關(guān)于時間的方程,從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀Y (x) ，它必須在區(qū)間0

5、對應(yīng)， w i 2稱為特征值（即系統(tǒng)的固有圓頻率平方），而Y i (x)稱為特征函數(shù)（ 主振型）。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動,自由振動 特征值問題,同樣地，與離散系統(tǒng)對應(yīng)，若特征函數(shù)Y i (x) 經(jīng)正則化處理，則它們關(guān)于質(zhì)量密度和張力正交：,對初始擾動的響應(yīng),與離散系統(tǒng)類似，利用正交的正則化特征函數(shù)集Y i (x) （i = 1, 2, ）的線性組合，可以表示連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動下的響應(yīng)。,代入方程，兩邊左乘Y i (x)，并對整個區(qū)間 0, L 積分，利用特征函數(shù)的正交性：,解為,常數(shù)C i 和j i 由初始條件得到。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動,自由振動,例 4.1 圖示

6、均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗證正交性。,解 由題意，系統(tǒng)的T 和r 為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,且有,從方程可知Y (x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫,由邊界條件Y (0) 0 可得B = 0, 則,由邊界條件Y (L) 0 可得,由于A 不為零，必有,特征方程,特征值為,或,特征函數(shù)為,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動,自由振動,例 4.1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗證正交性。,特征函數(shù)為,正交性驗證,由正則化要求,正則化的特征函數(shù),第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振

7、動,自由振動,例 4.1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗證正交性。,正交性驗證,三角函數(shù)積化和差,積分,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動,自由振動,例 4.1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗證正交性。,正交性驗證,三角函數(shù)積化和差,積分,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.3 桿的縱向振動,振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出,設(shè)長度為L 、兩端固定的桿上受均布軸向力f (x, t) ，桿上x處的軸向剛度與單位長度質(zhì)量分別為E A (x) 和m (x) 。,根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時作用在桿微段兩

8、端的軸向內(nèi)力與軸的應(yīng)變成正比,取桿的微段dx，隔離體受力分析圖,或,根據(jù)牛頓定律，任一瞬時作用在桿微段上的軸向力與桿微段的加速度有如下關(guān)系,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.3 桿的縱向振動,自由振動 特征值問題,方程,邊界條件,用分離變量法，設(shè)：,代入方程：,兩邊同除以U (x) m (x) F (t),上述方程兩邊分別依賴于變量x 和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w 2：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動,自由振動 特征值問題,從關(guān)于時間的方程,從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀U (x) ，它必須在區(qū)間0

9、F (t),與弦振動的特征值問題作比較,結(jié)論,只要把弦振動特征值問題中的Y (x) 、T (x)和r (x)換作U (x) 、EA (x) 和m (x) 就得到桿作縱向振動的特征值問題表達式。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動,自由振動 特征值問題,例 4.2 圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。,解 由題意，系統(tǒng)的EA 和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,且有,從方程可知U (x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫,由邊界條件U (0) 0 可得b = 0, 則,由邊界條件U (L) 0 可得,由于a 不為零，必有,特征方程,特征值為,或,特征函數(shù)為,第4章

10、 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動,自由振動 特征值問題,例 4. 3 圖示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。,解 由題意，系統(tǒng)的EA 和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,且有,從方程可知U (x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫,由 x = 0 處的邊界條件可得a = 0, 則,由x = L 處的邊界條件可得,由于b 不為零，必有,特征方程,特征值為,或,特征函數(shù)為,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動,自由振動 特征值問題,例 4.4 圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。,解 由題意，系統(tǒng)的EA 和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下

11、方程：,其中：,且有,從方程可知U (x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫,由邊界條件U (0) 0 可得b = 0, 則,由于a 不為零，必有,特征方程,特征值為,或,特征函數(shù)為,由x = L 處的邊界條件可得,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動,自由振動 特征值問題,討論 作縱向振動桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數(shù),邊界狀況,頻率,振型函數(shù),兩端固定,兩端自由,一端固定一端自由,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動,自由振動 特征值問題,例 4.5 設(shè)圖示推進軸系由長度為L、單位長度質(zhì)量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為M 的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸

12、系作縱向振動時系統(tǒng)的特征值問題。,解 由題意，系統(tǒng)的EA 和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,或,固定端的邊界條件不變， U (0) 0 ，而自由端有：,代入,整理得,,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動,自由振動 特征值問題,例 4.5 設(shè)圖示推進軸系由長度為L、單位長度質(zhì)量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為M 的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動時系統(tǒng)的特征值問題。,對于上述超越方程，只要給定系統(tǒng)參數(shù)，就能得到系統(tǒng)的特征值w i 。,特征方程,由邊界條件U (0) 0 可得b = 0, 則,從方程可知U (x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫,邊

13、界條件,由x L 處的邊界條件得,或,特征函數(shù)為U i 為,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動,自由振動 特征值問題,討論 作縱向振動桿邊界條件的討論,邊界狀況,左端,右端,固定,自由,帶有彈簧k,帶有集中質(zhì)量M,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.4 桿的扭轉(zhuǎn)振動,振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出,設(shè)長度為L 、一端固定一端自由的桿上受均布外扭矩M (x, t)與軸的轉(zhuǎn)角q 同向，桿的扭轉(zhuǎn)剛度與單位長度轉(zhuǎn)動慣量分別為G IP (x) 和J (x) 。,根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時作用在桿微段兩端的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力矩之與軸的剪應(yīng)變成正比,取桿的微段dx，隔離體受力分析圖,或,根據(jù)動量矩定律，任一瞬時作用在桿微段

14、上的內(nèi)外力矩與桿微段的角加速度有如下關(guān)系,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動,自由振動 特征值問題,方程,邊界條件,用分離變量法，設(shè)：,代入方程：,兩邊同除以Q (x) J (x) F (t),上述方程兩邊分別依賴于變量x 和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w 2：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動,自由振動 特征值問題,從關(guān)于時間的方程,從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀Q (x) ，它必須在區(qū)間0

15、IP (x) 和J (x) 就得到桿作縱向振動的特征值問題表達式。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動,自由振動 特征值問題,例 4.6 圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉(zhuǎn)剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。,解 由題意，系統(tǒng)的GIP和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,且有,從方程可知Q (x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫,由邊界條件Q (0) 0 可得b = 0, 則,由于a 不為零，必有,特征方程,特征值為,或,特征函數(shù)為,由x = L 處的邊界條件可得,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動,自由振動 特征值問題,例 4.7 設(shè)圖示軸系由長度為L、單位長度轉(zhuǎn)動慣量為J、扭

16、轉(zhuǎn)剛度為GIP的均勻桿和轉(zhuǎn)動慣量為J1和J1的剛性薄圓盤組成，整個軸系在扭轉(zhuǎn)角方向無約束。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動時系統(tǒng)的特征值問題。,解 由題意，系統(tǒng)的GIP和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,或,兩邊的邊界條件為：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動,自由振動 特征值問題,代入,整理得,,例 4.7,邊界條件,利用,,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動,自由振動 特征值問題,例 4.7,分離變量后的方程,從方程可知Q (x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫,整理：,或：,頻率方程：,設(shè)：,頻率為：,振型為：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動,自由振動 特征值問題,例 4

17、.7 討論 1,頻率為：,頻率方程為：,即：,相當(dāng)于兩端自由的圓軸作自由振動。,振型為：,討論 2 J 1和J2 很大,相當(dāng)于忽略軸質(zhì)量的兩自由度系統(tǒng)的非零頻率。,41 設(shè)圖示軸系由長度為L、單位長度轉(zhuǎn)動慣量為J、扭轉(zhuǎn)剛度為GIP的均勻桿和轉(zhuǎn)動慣量為J2的剛性薄圓盤組成，軸系一端固定。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動時系統(tǒng)的特征值問題。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 習(xí)題,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出,設(shè)長度為L 的細長梁（梁的長度與截面高度比大于10）上受y方向的均布載荷f (x, t) ，梁的彎曲剛度與單位長度質(zhì)量分別為E I (x) 和m (x) 。,取梁的微段d

18、x，作隔離體受力分析圖,根據(jù)牛頓第二定律，任一瞬時作用在梁微段上的剪力和外力與梁微段的加速度有如下關(guān)系,根據(jù)梁微段的力矩平衡，有如下關(guān)系,當(dāng)梁的截面尺寸與長度相比較小時，根據(jù)材料力學(xué)，梁的彎矩與變形的關(guān)系為,忽略dx的二次項：,代入上述力平衡方程，得,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出,把彎矩M與位移y 的關(guān)系代入方程，得,梁的橫向振動在0至L的區(qū)間應(yīng)滿足上述Euler-Bernoulli梁方程（包含對位置的四階導(dǎo)數(shù)），在邊界應(yīng)滿足一定的邊界條件。,常見的邊界條件有：,固支,鉸支,自由,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,振動微分方程 旋轉(zhuǎn)慣量

19、與剪切變形的影響,設(shè)長度為L 的等截面梁上受y方向的均布載荷f (x, t) ，梁的彎曲剛度、剪切模量、截面積和質(zhì)量密度分別為E I 、G、A和r 。,當(dāng)梁被橫截面細分成較短的部分時，旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形對高頻振型的影響必須考慮。取梁的微段dx，作隔離體受力分析圖。,根據(jù)DAlembert原理，忽略dx的二次項有如下關(guān)系：,撓度曲線的斜率是剪力與彎矩共同作用的結(jié)果，即：,式中：,y為與截面形狀有關(guān)的因子。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,振動微分方程 旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形的影響,將上述關(guān)系綜合并整理得：,忽略剪切變形，得到僅考慮旋轉(zhuǎn)慣量的方程：,系統(tǒng)作自由振動時：,Timoshenko

20、梁振動方程,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,自由振動 特征值問題,對細長梁，方程為：,設(shè)：,兩邊同除以Y (x) m (x) F (t),上述方程兩邊分別依賴于變量x 和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w 2：,特征值問題為：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,自由振動 特征值問題,解：由題意特征值問題為：,例 4.8 圖示均勻細長梁兩端固定，其彎曲剛度EI為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。,其中，,方程的解有以下形式：,對固支的梁，邊界條件有：,由四個邊界條件得：,消去a、 b、c、 d、 ，可得：,特征方程,特征值由數(shù)值解獲得,其中,特征函數(shù)為,第4章 連續(xù)系統(tǒng)

21、 4. 5 梁的橫向振動,自由振動 特征值問題,解：由題意特征值問題為：,例 4.9 圖示均勻細長懸臂梁一端固定、一端自由，其彎曲剛度EI為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。,其中，,方程的解有以下形式：,對懸臂梁，邊界條件有：,由x=0處的邊界條件得：,則Y(x )可改寫為：,由x=L處的邊界條件得：,a和b有非零解的充要條件為：,整理得特征方程：,從數(shù)值解得到特征值：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,自由振動 特征值問題,例 4.9 圖示均勻懸臂梁一端固定、一端自由，其彎曲剛度EI為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。,特征向量為：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,自由振動 特征

22、值問題,解：由題意特征值問題為：,例 4.10 圖示均勻細長梁兩端鉸支，其彎曲剛度EI為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。,其中，,方程的解有以下形式：,對鉸支的梁，邊界條件有：,由x=0處的邊界條件得：,特征方程：,則,特征值為,正則化的特征函數(shù)為,由x=L處的邊界條件得：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,自由振動 特征值問題,均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值,邊界條件,頻率方程、特征函數(shù),第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,自由振動 特征值問題,均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值,邊界條件,頻率方程、特征函數(shù),第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,自由振動 特征值問題

23、,均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值,邊界條件,頻率方程、特征函數(shù),第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,連續(xù)梁的振動,圖示任意相鄰兩跨連續(xù)梁，假定每跨都有均布質(zhì)量與剛度。對任意跨 i, 可利用均勻鉸支梁的解寫出其振型函數(shù)：,其對位置的一階和二階導(dǎo)數(shù)為：,邊界條件為：,由上述邊界條件得：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,連續(xù)梁的振動,得：,將其中如下的兩式相加減并代入式,或,則,其中,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,將式 的下標(biāo)增加1：,連續(xù)梁的振動,代入,得,或,由邊界條件 和 得,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動,連續(xù)梁的振動,將式 的下標(biāo)減1或加1，代入下式：,得到動力三彎矩方程：,當(dāng)構(gòu)件由相同的材料制成，且各跨截面積相等，則動力三彎矩方程可簡化成：,