1.3.1 推出與充分條件、必要條件,第一章 常用邏輯用語(yǔ),復(fù)習(xí)引入,1.充分條件與必要條件的概念,,,充分條件,必要條件,必要條件,2.充要條件 一般地,如果既有pq,又有q___p,就記作p___q, 此時(shí), p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱(chēng)_________. 顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.,,,充要條件,自主練習(xí),判斷:(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”) (1)若p是q的必要條件,則q是p的充分條件.() (2)若p是q的充分條件,則p是q的充分條件.() (3)“兩角不相等”是“兩角不是對(duì)頂角”的必要條件.(),【解析】(1)正確. 若p是q的必要條件,即pq,所以q是p的充分條件. (2)錯(cuò)誤. 若p是q的充分條件,即pq,其逆否命題為qp, 所以p是q的必要條件. (3)錯(cuò)誤. “兩角不是對(duì)頂角” “兩角不相等”. 【答案】(1) (2) (3),自主練習(xí),核心歸納,類(lèi)型一 充分條件與必要條件的判斷 1.命題“已知nZ,若a=4n,則a是偶數(shù)”中, “a是偶數(shù)”是“a=4n”的條件, “a=4n”是“a是偶數(shù)”的條件.,,核心歸納,【解題探究】 1.判斷充分條件與必要條件的依據(jù)是什么? 2.判斷充分條件與必要條件的實(shí)質(zhì)是什么? 探究提示: 1.判斷充分條件與必要條件的依據(jù)是定義. 2.判斷充分條件與必要條件的實(shí)質(zhì)是判斷命題的真假.,核心歸納,1. 【解析】 命題“已知nZ,若a=4n,則a是偶數(shù)”是真命題, 所以“a是偶數(shù)”是“a=4n”的必要條件, “a=4n”是“a是偶數(shù)”的充分條件. 【答案】必要充分,核心歸納,,核心歸納,1.下列所給的p,q中,q是p的必要條件的個(gè)數(shù)是() p:x1,q:lgx0; p:x1,q:x-1cosx; a，b為平面內(nèi)的兩條直線(xiàn).p:直線(xiàn)a,b不相交,q:ab. A.1 B.2 C.3 D.4,變式訓(xùn)練,【解析】由于p:x1q:lgx0, 所以q是p的必要條件; 由于p:x1q:x-1cosx,所以q是p的必要條件; 由于p:直線(xiàn)a,b不相交q:ab,所以q不是p的必要條件. 【答案】C,變式訓(xùn)練,2.“x2=2x”是“x=0”的條件,“x=0”是“x2=2x”的條件(用充分、必要填空). 【解題指南】解答本題關(guān)鍵是弄清充分條件與必要條件與集合間的關(guān)系. 【解析】由于x=0 x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要條件,“x=0”是“x2=2x”的充分條件. 【答案】必要充分,變式訓(xùn)練,必要性:設(shè)兩個(gè)方程有公共根,則 2+(a+c)=0. 若=0, 代入任一方程得b=0, 這與已知a,b,c為ABC的三邊相矛盾. =-a-c. 代入上面方程組中任何一個(gè)式子, 均可得a2=b2+c2, A=90.,設(shè)a,b,c為ABC中A,B,C所對(duì)邊, 求證:方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的 充要條件是A=90.,類(lèi)型二 充要條件的證明,證明：,,2+2a+b2=0，,2+2c-b2=0，,核心歸納,充分性: A=90,a2=b2+c2,x2+2ax+b2=0可化為 x2+2ax+a2-c2=0, 即(x+a)2-c2=0(x+a+c)(x+a-c)=0, x1=-a-c, x2=-a+c. 同理x2+2cx-b2=0可化為x2+2cx+c2-a2=0, 即(x+c)2-a2=0(x+a+c)(x+c-a)=0, x3=-a-c, x4=a-c. 所以?xún)蓚€(gè)方程有公共根-a-c. 綜上所述,方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的 充要條件是A=90.,核心歸納,變式訓(xùn)練,求證:關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)數(shù)根的充要條件是m2.,證明： 必要性: 設(shè)關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)數(shù)根為x1, x2,,解得m2.,即,則,,0， x1+x20， x1x20，,m2-40， -m0， 10，,,變式訓(xùn)練,充分性: m2,=m2-40,且x1+x2=-m-20, 關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)數(shù)根.,類(lèi)型三 充分條件與必要條件的應(yīng)用 1.若“x1”是“xa”的充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍 是() A.a1 B.a1 C.a<1 D.a1 2.若“x=2”是“x2-2x+c=0”的充分條件,則c=.,核心歸納,【解題探究】1.p是q的充分條件對(duì)應(yīng)的真命題是什么? 2.題2中對(duì)應(yīng)的真命題的條件和結(jié)論分別是什么? 探究提示: 1.p是q的充分條件對(duì)應(yīng)若p,則q為真命題. 2.對(duì)應(yīng)的真命題是“若x=2,則x2-2x+c=0”,其中“x=2”是條件,“x2-2x+c=0”是結(jié)論.,核心歸納,1. 【解析】若“x1”是“xa”的充分條件, 則x1xa,于是x|x1x|xa,得a1. 【答案】D 2. 【解析】若“x=2”是“x2-2x+c=0”的充分條件, 則“x=2”是方程“x2-2x+c=0”的根,代入,解得c=0. 【答案】0,核心歸納,若題1中的“充分條件”改為“必要條件”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍如何? 解：若“x1”是“xa”的必要條件,即xax1, a1.所以a的取值范圍是1,+).,變式訓(xùn)練,1.從集合的包含關(guān)系看充分條件、必要條件 若不等式p,q對(duì)應(yīng)的集合分別為P,Q,利用集合間的 包含關(guān)系來(lái)判斷充分條件、必要條件為: 若PQ,則p是q的充分條件,q是p的必要條件. 若p是q的充分條件,即pq,相當(dāng)于PQ, 即:要使xQ成立,只要xP就足夠了有它就行; 為使xP成立,必須要使xQ缺它不可.,歸納小結(jié),2.充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧 (1)應(yīng)用:可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的求解, 特別是求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題. (2)求解步驟:首先根據(jù)條件的充分性和必要性找到條件 構(gòu)成的集合之間的關(guān)系,然后構(gòu)建滿(mǎn)足條件的不等式(組), 再進(jìn)行求解.,歸納小結(jié),