數(shù)學(xué)：高三名校大題 1.（滿分10分）某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰。已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問(wèn)題的概率分別為，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響。 （1）求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率； （2）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率。 2. （滿分12分）已知函數(shù)； （1）求函數(shù)的最小正周期及最值； （2）令 ，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由。 3．（滿分12分）如圖, 在直三棱柱中，，,，，點(diǎn)是的中點(diǎn)， （1）求證：； （2）求證：； 4.（滿分12分）設(shè)函數(shù) （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）討論的極值。 5．（滿分12分）設(shè)使等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且。 （1）求，的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。 6．（滿分12分）在中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足 （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡； （2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于，且與直線交于點(diǎn)，試在軸上確定一點(diǎn)，使得； （3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求的值。 A B C D E A1 B1 C1 D1 7．（本小題滿分12分）如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的大?。? 8.（本小題滿分12分）如果有窮數(shù)列（為正整數(shù)）滿足條件，，…，，即（），我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列”． 例如，數(shù)列與數(shù)列都是“對(duì)稱數(shù)列”． （1）設(shè)是7項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，．依次寫出的每一項(xiàng)； （2）設(shè)是項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求 各項(xiàng)的和； （3）設(shè)是項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．求前項(xiàng)的和． 9．（本小題滿分13分）點(diǎn) 是函數(shù)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線. （Ⅰ）用表示； （Ⅱ）若函數(shù)在（－1，3）上單調(diào)遞減，求的取值范圍. 10.( 本小題滿分14分) 已知數(shù)列，中，，且 是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn). （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2） 已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）（，若直線始終與平行（ 為原點(diǎn)），求證：當(dāng) 時(shí)，不等式對(duì)任意都成立. 1、（滿分10分） （1） （2） 2、（滿分12分） 解：（1） ∴的最小正周期． 當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值2． （2）由（Ⅰ）知．又． ∴． ． ∴函數(shù)是偶函數(shù)． 3．（滿分12分） 證明：（1）在直三棱柱， ∵底面三邊長(zhǎng)，， ∴ ， 又直三棱柱中 ， 且 ， ∴ 而 ∴； （2）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)， 4.5.（滿分12分） 解：（1）列方程組解得公差，公比， 所以 （2） 6. (滿分12分) （1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 （2） （3） 7. 解法一： 依題設(shè)知，． （Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則． A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 由三垂線定理知，． 3分 在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，由于， 故，， 與互余．于是． 與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直， 所以平面． 6分 （Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知， 故是二面角的平面角． 8分 ，，． ，． 又，．． A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 所以二面角的大小為． 12分 解法二： 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸， 建立如圖所示直角坐標(biāo)系． 依題設(shè)，． ，． 3分 （Ⅰ）因?yàn)?，，故，? 又，所以平面． 6分 （Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則 ，．故，． 令，則，，． 9分 等于二面角的平面角， ． 所以二面角的大小為． 12分 8．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得 ， 數(shù)列為． 3分 （2） 8分 （3）． 由題意得 是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列． 當(dāng)時(shí)， ． 當(dāng)時(shí)， ． 綜上所述， 12分 9．（I）因?yàn)楹瘮?shù)，的圖象都過(guò)點(diǎn)（，0），所以， 即.因?yàn)樗? w.w. 又因?yàn)?，在點(diǎn)（，0）處有相同的切線，所以 而 將代入上式得 因此故，， 6分 （II）解法一. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減. 由，若；若 由題意，函數(shù)在（－1，3）上單調(diào)遞減，則 所以 又當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（－1，3）上單調(diào)遞減. 所以的取值范圍為 12分 10 .解：（1）由 是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 當(dāng)時(shí)，，, 所以 . 6分 （2）由已知得：. (作差證明) k+s- 綜上所述當(dāng) 時(shí)，不等式對(duì)任意都成立. 14分 用心 愛心 專心